第二型曲面積分

1、第二型曲面積分第1頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日一、曲面的側(cè) 設(shè)連通曲面 S 上到處都有連續(xù)變動的切平面 ( 或法 線 ), 曲面在其上每一點處的法線有兩個方向：當(dāng)取 定其中一個指向為正方向時, 另一個指向就是負(fù)方 向. 又設(shè) 為 S 上任一點, L為 S上任一經(jīng)過點且不超出 S 邊界的閉曲線. 當(dāng) S 上的動點 M 從 出發(fā)沿 L 連續(xù)移動一周而回到 時,如果有如下特征: 出發(fā)時 M 與 取相同的法線方向, 而回來時仍 保持原來的法線方向不變,則稱該曲面 S 是雙側(cè)的. 第2頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日否則, 若 由某一點 出發(fā), 沿 S

2、 上某一封閉曲線 回到 時, 其法線方向與出發(fā)時的方向相反, 則稱 S 是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面. 單側(cè)曲面的 一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶. 它的構(gòu)造方 法如下: 取一矩形長紙條ABCD (如圖22-4(a), 將其 一端扭轉(zhuǎn) 后與另一端粘合在一起 ( 即讓 A 與 C 重合, B 與 D 重合, 如圖22-4(b)所示 ). 第3頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日默比烏斯( Mbius,A.F. 1790-1868, 德國 )第4頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日通常由 所表示的曲面都是雙側(cè)曲面, 其法 線方向與

3、z 軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè), 另一側(cè)稱為下側(cè). 當(dāng) S 為封閉曲面時,法線方向朝外 的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè). 習(xí)慣上把上側(cè) 作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為 正側(cè), 內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).第5頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日二第二型曲面積分的概念先考察一個計算流量的問題. 設(shè)某流體以流速 從曲面 S 的負(fù)側(cè)流向正側(cè) (圖22-5), 其中 P, Q, R 為 所討論范圍上的連續(xù)函 數(shù), 求在單位時間內(nèi)流過 曲面 S 的總流量 E.設(shè)在 S 上任一點處的正向單位法向量為 第6頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日這里 , , 都是

4、 x, y, z 的函數(shù). 則單位時間內(nèi)流經(jīng) 小曲面塊 的流量 其中 是任意取定的一點; 是點 處的單位法向量;分別是 在坐標(biāo)面 第7頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日于是單位時間內(nèi)由 的負(fù)側(cè)流向正 所以, 單位時間內(nèi)由 的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第 側(cè)的流量 也就近似等于 上投影區(qū)域的近似面積, 分別記作 第8頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日的投影區(qū)域的面積, 它們的符號由的方向來確定: 分別表示 在三個坐標(biāo)面上 二型曲面積分.定義1 設(shè) P, Q, R 為定義在雙側(cè)曲面 S 上的函數(shù). 對 S 作分割 T

5、, 它把 S 分為 分割 T 的細(xì)度為 第9頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日若 第10頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日在曲面 所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作 的選取無關(guān), 則稱此極限 I 為向量函數(shù) 中的三個極限都存在, 且與分割 T 和點 的第11頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日據(jù)此定義, 某流體以速度 從曲面 的 負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為 又如, 若空間中的磁場強度為 則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為第12頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日若以表示曲面 S 的另一側(cè), 由定義易知

6、第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質(zhì):1. 若 存在, 則有 第13頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日其中2. 若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面所組成, 則有 第14頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日三第二型曲面積分的計算定理22.2 設(shè) 是定義在光滑曲面 上的連續(xù)函數(shù), 以 S 的上側(cè)為正側(cè)( 這時的法線方 向與 軸正向成銳角), 則有證 由第二型曲面積分的定義, 第15頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日由于 R 在 S 上連續(xù), 上連續(xù)(曲面光滑), 據(jù) 在 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性, 上也連續(xù).由二重積分的定義, 這里 第1

7、6頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日所以 這里 S 是取法線方向與 軸的正向成銳角的那一 類似地,當(dāng) 在光滑曲面 上連續(xù)時,有 第17頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè). 當(dāng) 在光滑曲面 上連續(xù)時, 有這里 S 是取法線方向與 軸的正向成銳角的那一 第18頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日例1 計算 其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分別為 部分并取球面在 第19頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限 部分. 因

8、積分是沿的下側(cè)進(jìn)行, 故 第20頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日其中例2 計算 是由曲面所圍立體表面的外側(cè). 解 曲面 其中 其投影為第21頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日其投影為其投影為第22頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日因此第23頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日如果光滑曲面 S 由參量方程給出: 若在 D 上各點它們的函數(shù)行列式 不同時為零, 則分別有第24頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日注 (5),(6),(7) 三式前的正負(fù)號分別對應(yīng) S 的兩個側(cè), 所選定的正 特

9、別當(dāng) 平面的正方向?qū)?yīng)于曲面 向一側(cè)時, 式前取正號, 否則取負(fù)號. 其中 S 為橢球面 例3 計算 第25頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日的上半部分, 并取外側(cè). 由(5)式有 解 把曲面表示為參量方程: 第26頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日其中積分是在 S 的正側(cè)進(jìn)行. 由上述的注, (8)式右端取正 號, 即 第27頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立 兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè) S 為光滑曲面, 并以上側(cè)為正側(cè), R 為 S 上的連續(xù) 函數(shù), 曲面積分

10、在 S 的正側(cè)進(jìn)行. 因而有 由曲面面積公式（第二十一章6）, 第28頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日其中 是曲面 的法線方向與 z 軸正向的交角, 它 是定義在 上的函數(shù). 因為積分沿曲面正側(cè)進(jìn)行, 所以 是銳角. 又由 S 是光滑的, 所以 使這點的法線方向與 z 軸正向的夾角 滿足等式 上連續(xù). 應(yīng)用中值定理, 在 內(nèi)必存在一點, 第29頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日或與 z 軸正向夾角的余弦, 則由 的連續(xù)性, 可推 于是 現(xiàn)以 的法線方向 時, (10)式右端極限存在. 因此由(9)式 得當(dāng) 得到 第30頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時, 左邊積分改變符號; 右邊積分中角 改為 . 因而 也改變符號, 其中 , 分別是 S 上的法線方向與 x 軸正向和與 y 所以右邊積分也相應(yīng)改變了符號. 同理可證: 第31頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日軸正向的夾角. 一般地有 這樣, 在確定了余弦函數(shù) 之后, 由 (11), (12),(13),(14) 式便建立了兩種不同類型曲面積 分的聯(lián)系. 注 當(dāng)曲面由 表示, 且取上側(cè) 第32頁，共35頁，2022年，5月20日，16點2分，星期日因此 上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影, 從而使計算得到簡化. 時