電磁場課件：第一章 矢量分析與場論

1、1第一章 矢量分析與場論（一）矢量分析（二）場 論一、標量：二、矢量：三、矢量的坐標表示：四、矢量的加法：五、矢量的乘法：2只有大小而沒有方向的量 (長度、時間、電壓、體積、溫度、電量等）EOP首尾既有大小又有方向的量(力、速度、電場強度、磁感應強度等）E 、 E 或 OP?；蚪^對值（|E| 、E、 |E|或 |OP|）矢量的方向： 單位長度矢量： E 0 ，|E 0| =1 E= |E| E0一、標量：二、矢量：矢量的表示：矢量的大?。海ㄒ唬┦噶糠治?三、矢量的坐標表示：直角坐標系：0 xyzAxAyAz4圓柱坐標系：0 xyzA0 A + 0 A 2 - Az +Ax = A cos AA

2、y = A sin AAz = AzA 2 = Ax 2+ Ay 2tg A = Ay / AxAz = AzAz5球坐標系：0 xyzA0 Ar + 0 A 2 0 A Ax = Arsin A cos AAy = Ar sin A sin AAz = Ar cos AAr 2 = Ax2+ Ay2+ Az2tg A = Ay / Axcos A = Az / ArA6四、矢量的加法：三角形法則： 交換律： 結合律： 分配律： 減法：7五、矢量的乘法：（1）標量積（內(nèi)積、點積）： 交換律： 分配律： 與數(shù)量點積： 特殊的點積：同向、反向、正交8 在坐標系內(nèi)計算點積：直角坐標：9（2）矢量積、

3、叉積： 大小：方向：與數(shù)量叉積： 特殊的叉積：平行：右手定則分配律：正交：10 不服從交換律：在坐標系內(nèi)計算叉積：11矢量分析（練習題）例1：矢量函數(shù)，試求（2）（1）12矢量分析（練習題）例2:矢量，求（2）求出兩矢量的夾角（1）解：13矢量分析（練習題）根據(jù)14（二）場 論1.場的三要素1）標量場的梯度2）矢量場的散度3）矢量場的旋度2. 三個度4.亥姆霍茲定理3. 兩個公式空間、按一定規(guī)律連續(xù)分布的物理量、邊界152. 圖示法：u(x,y,z)： 等值面、等值線u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢線切向場量的方向， 疏密程度場量的大小。1

4、. 數(shù)學法：標量場矢量場溫度場T(x,y,z)密度場(x,y,z)速度場16動態(tài)場：場量與時間有關 （時變場）靜態(tài)場：場量與時間無關 （恒定場）172.三個度1)標量場的梯度 方向導數(shù)的定義其中，cos, cos, cos為l方向的方向余弦。 18梯度(gradient)哈密頓算子式中 梯度的定義19 梯度的物理意義1）標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數(shù);3）梯度的方向為該點最大方向導數(shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.2）梯度的大小為該點標量函數(shù)u的最大變化率，即該點最大方向導數(shù);20梯度運算的基本公式21 計算場 f ( r ) = x y2 z (1)在

5、 A=ax+2ay+2az 方向的方向導數(shù)(2)在點(2，1，0)處，在B = 2ax ay + 2az 方向的方向導數(shù)。解：= ax y2 z + ay 2 x y z + az x y2例1(1)(2)222.三個度2)矢量場的散度3)矢量場的旋度23總結前人的成果把電場和流速場類比電磁場的基本方程組榮譽：愛因斯坦把麥克斯韋的電磁場貢獻評價為“自牛頓時代以來物理學所經(jīng)歷的最深刻最有成效的變化”。預言了電磁波的存在24一、積分形式：二、微分形式：電磁場基本方程組區(qū)域場點旋度散度25源（下方）與附近強度較弱的匯（上方）的流場兩個等強度源的流場均勻下瀉流與發(fā)散流（源）之間的作用粒子向負的散度源流

6、動粒子從散度源流出用草籽圖表示的有源流場散度源26兩個循環(huán)中心的流動兩個流呈相反方向流動兩個流同方向流動旋度源散度源+旋度源思考：2728矢量場的通量SA通過某一閉合面 S的通量為：2.三個度2)矢量場的散度設 ，通量 表示通過某一表面 S的矢量線的根數(shù)：29通量的物理意義：每秒有凈流量流出，包面內(nèi)有正源每秒有凈流量流入，包面內(nèi)有負源每秒流入包面和流出包面的凈流量相等，包面內(nèi)無源，或正源與負源相等30散度div 31a. 一個矢量場的散度在空間構成一個標量場。b. 空間有矢量場的凈通量發(fā)出 （有矢量線從該點開始） 空間有矢量場的凈通量匯入 （有矢量線在該點終止） 空間沒有矢量線的發(fā)出或匯入 矢

7、量線僅僅是通過有散場無散場P QM（Q點）（M點）（P點）散度性質矢量場的散度反映了矢量場在空間各點的凈通量狀態(tài)。32該點有正源該點有負源該點無源33 考慮一個氣筒,突然打開氣門,被壓縮的空氣的流速將是越靠近氣門越大。設 ，求 。解：解：表明氣筒內(nèi)各點都存在著密度為k的氣流。表明空間各點都存在著密度為3k的氣流。 vx例2例3 想象一個爆炸的氣球，設某點處氣體的流速同該點與源點的距離成正比，為 ，求 。34矢量場的環(huán)量：LAdl2.三個度3)矢量場的旋度設 ，環(huán)量 表示沿某閉合曲線 L的線積分：35環(huán)量的物理意義：表明c包圍渦旋源表明c不包含渦旋源水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流

8、體做渦旋運動0，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場36旋度rot 、 ：矢量場中某點的旋度為矢量，是點的空間位置的函數(shù)。方向：是使環(huán)量密度取最大值的曲面元S的方向大小：環(huán)量密度的最大值37旋度的性質：a. 一個矢量場的旋度構成一個新的矢量場。b. 旋度不為零的點有產(chǎn)生矢量場環(huán)流的能力 (有旋場)。 旋度等于零的點沒有產(chǎn)生矢量場環(huán)流的能力(無旋場)。c. 旋度具有環(huán)流面密度的量綱。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0說明任一矢量場的旋度一定是無散的。反過來也成立，即若A=0 ，則一定對應著一個矢量場，使B=A。38F做正功，F(xiàn)與c方向大體一致，動能增加F做負功，F(xiàn)與c方向大體相反，

9、動能減小引力場Gc1c2G渦旋場F39 求 沿著xy面上的一個閉合回路c的線積分。如圖所示，再計算 。P(2,)2y2=xOyx解： 回路c在xOy面上，dz = 0 = 0例440P(2,)2y2=xOyx討論： 是輻射狀的場， 可以證明， 這類場必定是無旋的。411）高斯散度定理:2）斯托克斯定理：3. 兩個公式（定理）42計算矢量r 對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分。例443 矢量場和源的關系無旋場：一個矢量場F，對任意閉合路徑都有無散場：一個矢量場F，對任意閉合面都有4、亥姆霍茲定理源是場的因，場同源一起出現(xiàn)。散度源（通量源） 若旋度源（渦旋源） 若44例：判斷矢量場的性質00000045 亥姆霍茲定理的基本內(nèi)容1.一個矢量場只可能有兩種源旋度源和散度源，此外，再無其它類型的源。2.若在給定邊界空間中，一個矢量場的旋度和散度都給定了，則該矢量場的解是唯一確定的。46矢量場的基本方程F = Fl + Fc若已知則微分形式的基本方程積分形式的基本方程Fl 0 , Fl = Fc 0 , Fc =J47三種特殊形式的場1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設為 z軸)的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F