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1、1第一章 矢量分析與場論(一)矢量分析(二)場 論一、標(biāo)量:二、矢量:三、矢量的坐標(biāo)表示:四、矢量的加法:五、矢量的乘法:2只有大小而沒有方向的量 (長度、時間、電壓、體積、溫度、電量等)EOP首尾既有大小又有方向的量(力、速度、電場強度、磁感應(yīng)強度等)E 、 E 或 OP?;蚪^對值(|E| 、E、 |E|或 |OP|)矢量的方向: 單位長度矢量: E 0 ,|E 0| =1 E= |E| E0一、標(biāo)量:二、矢量:矢量的表示:矢量的大小:(一)矢量分析3三、矢量的坐標(biāo)表示:直角坐標(biāo)系:0 xyzAxAyAz4圓柱坐標(biāo)系:0 xyzA0 A + 0 A 2 - Az +Ax = A cos AA

2、y = A sin AAz = AzA 2 = Ax 2+ Ay 2tg A = Ay / AxAz = AzAz5球坐標(biāo)系:0 xyzA0 Ar + 0 A 2 0 A Ax = Arsin A cos AAy = Ar sin A sin AAz = Ar cos AAr 2 = Ax2+ Ay2+ Az2tg A = Ay / Axcos A = Az / ArA6四、矢量的加法:三角形法則: 交換律: 結(jié)合律: 分配律: 減法:7五、矢量的乘法:(1)標(biāo)量積(內(nèi)積、點積): 交換律: 分配律: 與數(shù)量點積: 特殊的點積:同向、反向、正交8 在坐標(biāo)系內(nèi)計算點積:直角坐標(biāo):9(2)矢量積、

3、叉積: 大?。悍较颍号c數(shù)量叉積: 特殊的叉積:平行:右手定則分配律:正交:10 不服從交換律:在坐標(biāo)系內(nèi)計算叉積:11矢量分析(練習(xí)題)例1:矢量函數(shù),試求(2)(1)12矢量分析(練習(xí)題)例2:矢量,求(2)求出兩矢量的夾角(1)解:13矢量分析(練習(xí)題)根據(jù)14(二)場 論1.場的三要素1)標(biāo)量場的梯度2)矢量場的散度3)矢量場的旋度2. 三個度4.亥姆霍茲定理3. 兩個公式空間、按一定規(guī)律連續(xù)分布的物理量、邊界152. 圖示法:u(x,y,z): 等值面、等值線u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z):矢線切向場量的方向, 疏密程度場量的大小。1

4、. 數(shù)學(xué)法:標(biāo)量場矢量場溫度場T(x,y,z)密度場(x,y,z)速度場16動態(tài)場:場量與時間有關(guān) (時變場)靜態(tài)場:場量與時間無關(guān) (恒定場)172.三個度1)標(biāo)量場的梯度 方向?qū)?shù)的定義其中,cos, cos, cos為l方向的方向余弦。 18梯度(gradient)哈密頓算子式中 梯度的定義19 梯度的物理意義1)標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點的函數(shù);3)梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線(面)相垂直的方向,它指向函數(shù)的增加方向.2)梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù)u的最大變化率,即該點最大方向?qū)?shù);20梯度運算的基本公式21 計算場 f ( r ) = x y2 z (1)在

5、 A=ax+2ay+2az 方向的方向?qū)?shù)(2)在點(2,1,0)處,在B = 2ax ay + 2az 方向的方向?qū)?shù)。解:= ax y2 z + ay 2 x y z + az x y2例1(1)(2)222.三個度2)矢量場的散度3)矢量場的旋度23總結(jié)前人的成果把電場和流速場類比電磁場的基本方程組榮譽:愛因斯坦把麥克斯韋的電磁場貢獻評價為“自牛頓時代以來物理學(xué)所經(jīng)歷的最深刻最有成效的變化”。預(yù)言了電磁波的存在24一、積分形式:二、微分形式:電磁場基本方程組區(qū)域場點旋度散度25源(下方)與附近強度較弱的匯(上方)的流場兩個等強度源的流場均勻下瀉流與發(fā)散流(源)之間的作用粒子向負的散度源流

6、動粒子從散度源流出用草籽圖表示的有源流場散度源26兩個循環(huán)中心的流動兩個流呈相反方向流動兩個流同方向流動旋度源散度源+旋度源思考:2728矢量場的通量SA通過某一閉合面 S的通量為:2.三個度2)矢量場的散度設(shè) ,通量 表示通過某一表面 S的矢量線的根數(shù):29通量的物理意義:每秒有凈流量流出,包面內(nèi)有正源每秒有凈流量流入,包面內(nèi)有負源每秒流入包面和流出包面的凈流量相等,包面內(nèi)無源,或正源與負源相等30散度div 31a. 一個矢量場的散度在空間構(gòu)成一個標(biāo)量場。b. 空間有矢量場的凈通量發(fā)出 (有矢量線從該點開始) 空間有矢量場的凈通量匯入 (有矢量線在該點終止) 空間沒有矢量線的發(fā)出或匯入 矢

7、量線僅僅是通過有散場無散場P QM(Q點)(M點)(P點)散度性質(zhì)矢量場的散度反映了矢量場在空間各點的凈通量狀態(tài)。32該點有正源該點有負源該點無源33 考慮一個氣筒,突然打開氣門,被壓縮的空氣的流速將是越靠近氣門越大。設(shè) ,求 。解:解:表明氣筒內(nèi)各點都存在著密度為k的氣流。表明空間各點都存在著密度為3k的氣流。 vx例2例3 想象一個爆炸的氣球,設(shè)某點處氣體的流速同該點與源點的距離成正比,為 ,求 。34矢量場的環(huán)量:LAdl2.三個度3)矢量場的旋度設(shè) ,環(huán)量 表示沿某閉合曲線 L的線積分:35環(huán)量的物理意義:表明c包圍渦旋源表明c不包含渦旋源水流沿平行于水管軸線方向流動=0,無渦旋運動流

8、體做渦旋運動0,有產(chǎn)生渦旋的源例:流速場36旋度rot 、 :矢量場中某點的旋度為矢量,是點的空間位置的函數(shù)。方向:是使環(huán)量密度取最大值的曲面元S的方向大?。涵h(huán)量密度的最大值37旋度的性質(zhì):a. 一個矢量場的旋度構(gòu)成一個新的矢量場。b. 旋度不為零的點有產(chǎn)生矢量場環(huán)流的能力 (有旋場)。 旋度等于零的點沒有產(chǎn)生矢量場環(huán)流的能力(無旋場)。c. 旋度具有環(huán)流面密度的量綱。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0說明任一矢量場的旋度一定是無散的。反過來也成立,即若A=0 ,則一定對應(yīng)著一個矢量場,使B=A。38F做正功,F(xiàn)與c方向大體一致,動能增加F做負功,F(xiàn)與c方向大體相反,

9、動能減小引力場Gc1c2G渦旋場F39 求 沿著xy面上的一個閉合回路c的線積分。如圖所示,再計算 。P(2,)2y2=xOyx解: 回路c在xOy面上,dz = 0 = 0例440P(2,)2y2=xOyx討論: 是輻射狀的場, 可以證明, 這類場必定是無旋的。411)高斯散度定理:2)斯托克斯定理:3. 兩個公式(定理)42計算矢量r 對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分。例443 矢量場和源的關(guān)系無旋場:一個矢量場F,對任意閉合路徑都有無散場:一個矢量場F,對任意閉合面都有4、亥姆霍茲定理源是場的因,場同源一起出現(xiàn)。散度源(通量源) 若旋度源(渦旋源) 若44例:判斷矢量場的性質(zhì)00000045 亥姆霍茲定理的基本內(nèi)容1.一個矢量場只可能有兩種源旋度源和散度源,此外,再無其它類型的源。2.若在給定邊界空間中,一個矢量場的旋度和散度都給定了,則該矢量場的解是唯一確定的。46矢量場的基本方程F = Fl + Fc若已知則微分形式的基本方程積分形式的基本方程Fl 0 , Fl = Fc 0 , Fc =J47三種特殊形式的場1.平行平面場:如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 z軸)的一族平行平面上,場 F 的分布都相同,即 F

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