信息與通信自動控制原理課件大全4-2

1、第二節(jié) 知識要點 掌握繪制根軌跡的八個規(guī)律 掌握0度根軌跡的手工繪制方法 理解0度根軌跡與180度根軌跡的區(qū)別 掌握參數(shù)根軌跡的手工繪制方法一、根軌跡的根本規(guī)律1、根軌跡的起始點與終止點；4、根軌跡的漸近線；2、根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)；3、實軸上的根軌跡；5、根軌跡在實軸上的別離點和別離角；6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點)；7、根軌跡與虛軸的交點；8、根之和。特征方程可寫為：規(guī)律一 根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點。根軌跡終止于開環(huán)零點。根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。1當(dāng)m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均為有限的值。討論：2當(dāng)mn時，即開環(huán)

2、零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(稱為無限極點)。參數(shù)根軌跡 根軌跡起始于開環(huán)極點(K*0)，終止于開環(huán)零點(K*)；如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，那么有n-m條根軌跡終止于s平面的無窮遠(yuǎn)處，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，那么有m-n條根軌跡起始于s平面的無窮遠(yuǎn)處。結(jié)論：規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律) 根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的) 根軌跡總是對稱于實軸。(實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實數(shù)特征根不是實數(shù)

3、就是共軛復(fù)數(shù)) 結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。規(guī)律三 實軸上的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中p1、p2、p3、z1、z2為實極點和實零點，p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點。假設(shè)實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，那么該點在實軸的根軌跡上。只有s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。 p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0151424323S0點符合相角條件：每一對共軛復(fù)數(shù)形式的零極點對應(yīng)的向量的相角之和為2；實軸上的零極點對應(yīng)的向量的相角只有0和兩種情況。規(guī)律四 漸近線 當(dāng)開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)

4、m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，反響n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點(對稱性)。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸正方向的夾角： 證明：思路：研究s值很大時根軌跡近似直線的表達(dá)方式通過列寫直線的方程。多項式除法證明：研究s值很大時根軌跡近似直線的表達(dá)方式通過列寫直線的方程。當(dāng)s值非常大時，開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進(jìn)線方程為：由二項式定理當(dāng)s值非常大時，近似有令實部和虛局部別相等得：點斜式方程漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸正方向的夾角： 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌

5、跡的漸近線。 解 該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點 為它們與實軸正方向的夾角分別是 根軌跡的漸近線swj-4-3-2-10BCAas60-60300as180四種情況下的漸近線規(guī)律五 根軌跡的別離點和別離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的別離點。 常見的根軌跡別離點位于實軸上。實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間或兩個相鄰的開環(huán)零點之間，至少有一個別離點。別離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上。 實軸上的別離點 復(fù)平面上的別離點 swj-4-3-2-10別離點swj4p3p1p2pAB0sd1d2Cs別離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根實軸

6、上的別離點或重共軛復(fù)根復(fù)平面上的別離點。 別離點的坐標(biāo)d是以下方程的解：證明：閉環(huán)特征方程有重根的條件為：變換形式1、當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，應(yīng)取 別離點方程為 。 2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的別離點。別離點確實定需代入特征方程中驗算。3、只有當(dāng)開環(huán)零、極點分布非常對稱時，才會出現(xiàn)復(fù)平面上的別離點。說明例 系統(tǒng)開環(huán)傳函，試求出系統(tǒng)根軌跡別離點。 解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點，所以 d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。 d1=-1.42是實軸根軌跡上的點，根軌跡在實軸上的別離點。比照較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。別離角：根軌跡進(jìn)入別離點的切線方向和離開別離點的切線方向之間

7、的夾角。設(shè)l為進(jìn)入別離點的根軌跡的條數(shù)，那么別離角當(dāng)l=2時，別離角為起始角pi 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角。 規(guī)律六 起始角與終止角 wjs3P2P1P0s1pq2pq終止角zi 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。1z2z所以證明： 設(shè)A為根軌跡上離極點pi很近的一點。A離pi很近A點滿足相角條件同理得：代入：進(jìn)一步具體分析起始角與終止角的表示。例 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中p1和p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點，各零級點在s平面上的分布如以下圖。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點p1的起始角p1。 sswj1z1p2p0解 對于根軌跡上無限靠近p1

8、的點A，由相角條件可得 由于A點無限靠近p1點 sswj1z1p2p3p)(31pp-)(21pp-)(11zp-01pqA角度替換后得：規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點由此可得虛部方程和實部方程為 根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根實部為零。用s=j代入特征方程可得 解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點的坐標(biāo)值；用c代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。例 系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點 及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。令s=j并代入特征方程得其虛部和實部方程分別為解 系統(tǒng)特征方程是解方程

9、組得： 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時，解特征方程將會遇到困難，此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點。規(guī)律八 根之和 當(dāng)n-m2時，閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點之和(常數(shù))。證明：n-m2時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得：將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得：兩式相等當(dāng)一些根隨K*的增加而增加時，必有另一些根隨K*的增加而減小。當(dāng)K*變化時，隨K*變化的n個閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性)結(jié)論根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運動的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運動的方向。要標(biāo)出一

10、些特殊點的K*值，如起點(K*0)，終點(K*)；根軌跡在實軸上的別離點d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(K*=Kr*)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。根軌跡的起點開環(huán)極點pi)用符號“標(biāo)示；根軌跡的終點(開環(huán)零點zj)用符號“o標(biāo)示。手工繪圖時還需注意：第三節(jié) 知識要點了解廣義根軌跡的概念掌握參數(shù)根軌跡和零度根軌跡的繪制方法掌握繪制廣義參數(shù)根軌跡時閉環(huán)傳函的變形方法掌握零度根軌跡和廣義根軌跡的區(qū)別根軌跡的分類常規(guī)根軌跡： 負(fù)反響系統(tǒng)中K*變化時的根軌跡廣義根軌跡 根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡參數(shù)根軌跡零度

11、根軌跡定義：以非根軌跡增益(比方比例微分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) )為可變參數(shù)繪制的根軌跡。閉環(huán)傳函等效閉環(huán)系統(tǒng)其開環(huán)傳函與常規(guī)根軌跡的開環(huán)傳函具有相同形式變形參數(shù)根軌跡繪制思路：解題關(guān)鍵：要將開環(huán)傳函變形，將非開環(huán)增益的參數(shù)變換到開環(huán)增益的地位 而且繪制根軌跡的相角、幅值條件和根本法那么均 是根據(jù)特征方程得到的。2假設(shè)選其它參量為可變參數(shù)，可以利用等效傳遞函數(shù) 構(gòu)造一個新系統(tǒng)，使其特征方程與原系統(tǒng)的特征 方程相同的概念，將系統(tǒng)特征方程也轉(zhuǎn)化為上式 的形式，以所選可變參量a代替K1位置： 1中選K1為可變參量時，特征方程為上一節(jié)的相角、幅值條件和繪制法那么都依然有效。 (1)以比例一微分環(huán)節(jié)的

12、時間常數(shù)為參量例 如以下圖系統(tǒng)，繪出以時間常數(shù)T為參量 的根軌跡。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：分子分母同除以 由閉環(huán)傳函標(biāo)準(zhǔn)形式知等效系統(tǒng)中等效系統(tǒng)為繪制T從0變化時原系統(tǒng)的根軌跡如以以下圖：由開環(huán)傳函原系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的開環(huán)傳函不同，但它們具有相同的閉環(huán)傳函。繪出的根軌跡是參數(shù)T從0到變化時原系統(tǒng)閉環(huán)特征根的變化軌跡，因為等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)的特征根是一樣的。說 明等效變形時要化成閉環(huán)傳函的標(biāo)準(zhǔn)形式(分母中要出現(xiàn)“1+的形式)。繪制步驟(1)列出原系統(tǒng)的特征方程。(2)以特征方程中不含參量的項去除特征方程，得到等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參量為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。(3)繪

13、制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。(2)以慣性環(huán)節(jié)的慣性時間常數(shù)為參量例 如以下圖系統(tǒng)，繪出以時間常數(shù)T 為 參量的根軌跡。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ：分子分母同除以 由閉環(huán)傳函標(biāo)準(zhǔn)形式知等效系統(tǒng)中所以等效系統(tǒng)為原因：閉環(huán)特征式等于開環(huán)傳函的分子多項式和分母多項式的和，開環(huán)傳函為G(s)H(s)和1/G(s)H(s)時，系統(tǒng)的特征多項式相同。作出的根軌跡是相同的特征方程的根隨同一個參數(shù)變化的軌跡，因此，根軌跡的形狀相同。 對于開環(huán)傳函分母的階數(shù)小于分子的階數(shù)，無法用MATLBA繪制根軌跡。解決方法：繪制的根軌跡。開環(huán)傳函：閉環(huán)傳函：進(jìn)一步說明兩系統(tǒng)的開環(huán)傳函，分別繪

14、制系統(tǒng)的根軌跡如下：繪制T從 0變化時原系統(tǒng)的根軌跡如以以下圖：說 明 得到的根軌跡圖和開環(huán)傳函為G(s)H(s)的根軌跡圖相比：形狀上相同；起點和終點相反(零極點相反)；根軌跡增益互為倒數(shù)。定義：如果負(fù)反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分 母中s最高次冪系數(shù)不同號，或者正反響系 統(tǒng)開環(huán)傳函的分子、分母中s最高次冪同 號，系統(tǒng)根軌跡為零度根軌跡。零度根軌跡m個零點n個極點nm幅值條件“+“-“1幅角條件（k =0, 1, 2, ） “2k”正反響系統(tǒng)的根軌跡由根軌跡方程1-G(s)H(s)=0推得相角條件為所以，零度根軌跡和常規(guī)根軌跡相比但凡和相角有關(guān)系的規(guī)律都要發(fā)生變化。實軸上的根軌跡：假設(shè)實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為偶數(shù)，那么該點在實軸的根軌跡上。漸進(jìn)線與實軸的夾角為 根軌跡的起始角和終止角 變化的規(guī)律根軌跡的分支數(shù) (相同)根軌跡的起點和終點 (相同)根軌跡的對稱性 (相同)實鈾上的根軌跡：實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實軸上)開 環(huán)實零、