2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南專版）-考點(diǎn)04 一元二次函數(shù)、方程和不等式基礎(chǔ)題匯總（解析版）

1、考點(diǎn)04 一元二次函數(shù)、方程和不等式基礎(chǔ)題匯總一、單選題（共15小題） 1.已知a、bR，且ab，則下列不等式恒成立的是（）ABlnalnbCa2b2D2a2b【解答】解：當(dāng)a1，b1時(shí)顯然ab，但A不成立，當(dāng)0ab時(shí)B顯然不成立，當(dāng)a1，b1時(shí)，C顯然不成立，由于y2x單調(diào)遞增，由ab可得2a2b，D成立故選：D【知識(shí)點(diǎn)】不等式比較大小 2.一元二次不等式ax2+bx+c0的解集為x|1x2，則不等式ax2+bx+c0的解集為（）Ax|x1或x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|1x2 【解答】解：一元二次不等式ax2+bx+c0的解集為x|1x2，所以不等式對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c0的兩個(gè)

2、實(shí)數(shù)根是1和2，且a0；所以不等式ax2+bx+c0的解集為x|1x2故選：D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 3.函數(shù)f（x）x2+2（a1）x+2在區(qū)間（，4上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A（，5B（，5C（5，+）D5，+）【解答】解：函數(shù)yx2+2（a1）x+2的圖象是開口向上，且以直線x1a為對(duì)稱軸的拋物線，若yx2+2（a1）x+2在區(qū)間（，4上單調(diào)遞減，則1a4，解得a5，所以a的取值范圍為（，5故選：A【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 4.某學(xué)校高一3班為該班男生分配宿舍，如果每個(gè)宿舍安排3人，就會(huì)有6名男生沒有宿舍住，如果每個(gè)宿舍安排5人，有一間宿舍不到5名男生，那么該學(xué)校高

3、一3班的男生宿舍可能的房間數(shù)量是（）A3或4B4或5C3或5D4或6【解答】解：設(shè)房間為x，由題意可得5（x1）+13x+65x，解得3x5，x為正整數(shù)，x4或5，故該學(xué)校高一3班的男生宿舍可能的房間數(shù)量是4或5，故選：B【知識(shí)點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式 5.若函數(shù)f（x）x22ax3在區(qū)間1，2上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（，1B2，+）C1，2D（，12，+）【解答】解：求得f（x）x22ax3的對(duì)稱軸為xa，函數(shù)的單調(diào)性以對(duì)稱軸為界所以對(duì)稱軸xa在區(qū)間1，2的左側(cè)或右側(cè)，即a2或a1即a的取值范圍是（，12，+）故選：D【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 6.若函數(shù)f（x）x2+mx+

4、5在區(qū)間1，5上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為（）A2，+）B（，2C10，+）D（，10【解答】解：f（x）x2+mx+5在區(qū)間1，5上單調(diào)遞增，故m2故選：A【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 7.不等式x2+x20的解集為（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x2或x1Dx|x1或x2【解答】解：不等式x2+x20可化為（x+2）（x1）0，解得x2或x1，所以不等式的解集是x|x2或x1故選：C【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 8.不等式x（x+1）0的解集為（）A（，1（0，+）B（，10，+）C1，0D1，0）【解答】解：x（x+1）0的兩根為1、0，又函數(shù)yx（x+1）的圖象開口向上，x（x

5、+1）0的解集是x|x1或x0，故選：B【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 9.若x0，y0，且滿足，則x+y的最小值是（）A6B7C8D9【解答】解：當(dāng)且僅當(dāng)，即x5，y1時(shí)取“”，故x+y的最小值是6，故選：A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 10.已知a0，b0，且+，則ab的最小值是（）A24BC5D【解答】解：a0，b0，+，即，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，ab的最小值是2，故選：B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 11.已知m0，xy0，當(dāng)x+y2時(shí)，不等式恒成立，則m的取值范圍是（）AB1，+）C（0，1D【解答】解：xy0，且x+y2，x0，y0，（）（x+y）（4+m+）（4+m+2）（

6、4+m+2），當(dāng)且僅當(dāng)即x2y時(shí)，等號(hào)成立，不等式恒成立，（4+m+2），化簡得，m+450，解得1，即m1，m的取值范圍是1，+）故選：B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 12.已知實(shí)數(shù)a0，b0，且2a+b2ab，則a+2b的最小值為（）ABCD【解答】解：a0，b0，且2a+b2ab，1，則a+2b（a+2b）（）當(dāng)且僅當(dāng)且1，即ab時(shí)取等號(hào)a+2b的最小值為故選：B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 13.若log3m+log3n5，則m+3n的最小值為（）A54B12C27D72【解答】解：因?yàn)閘og3m+log3nlog3（mn）5，所以mn35，則m+3n54，當(dāng)且僅當(dāng)m3n時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

7、m+3n取得最小值54故選：A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 14.已知二次函數(shù)f（x）ax2x+c（xR）的值域?yàn)?，+），則的最小值為（）A3B6C9D12【解答】解：由題意得：a0，14ac0，ac，c0，故+212，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，c時(shí)取“”，故選：D【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 15.下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)x2時(shí)，2B當(dāng)x2時(shí)，x+的最小值是2C當(dāng)x時(shí)，4x2+的最小值是5D設(shè)x0，y0，且x+y2，則的最小值是【解答】解：對(duì)于A，取等號(hào)的條件為x1，顯然取不到故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，取等號(hào)，顯然取不到故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故，顯然取不到最小值5故C錯(cuò)誤

8、；對(duì)于D，x0，y0，且x+y2，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故D項(xiàng)正確故選：D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 二、填空題（共10小題） 16.已知x2，y1，且（x+y3）（x+2y3）9，則3x+4y的最小值為【解答】解：令x+y3m，x+2y3n，則m0，n0，所以mn9，x2mn+3，ynm，所以3x+4y2m+n+9，故由基本不等式，得3x+4y2m+n+96當(dāng)且僅當(dāng)x3，y時(shí)，等號(hào)成立故答案為：6【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 17.設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間1，+）上有零點(diǎn)，則b2+c2的取值范圍是【解答】解：f（x）x+c在區(qū)間1，+）上有零點(diǎn)，x+c0在區(qū)間1，+）上有解，x2+

9、cx+b0在區(qū)間1，+）上有解，令g（x）x2+cx+b，或，即或，當(dāng)時(shí)，畫出關(guān)于b，c的約束條件，如圖所示則b2+c2表示到可行域內(nèi)點(diǎn)的距離，當(dāng)d2此時(shí)為最小值，即b2+c2，當(dāng)時(shí)，畫出關(guān)于b，c的約束條件，如圖所示，此時(shí)b2+c24，綜上所述b2+c2故答案為：，+）【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 18.對(duì)于正數(shù)a、b，稱是a、b的算術(shù)平均值，并稱是a、b的幾何平均值設(shè)x1，y1，若lnx、lny的算術(shù)平均值是1，則ex、ey的幾何平均值（e是自然對(duì)數(shù)的底）的最小值是【解答】解：由題意可得，lnx+lny2，故xye2，ex、ey的幾何平均值，當(dāng)且僅當(dāng)xye時(shí)取等號(hào)故答案為：ee【知識(shí)點(diǎn)】基

10、本不等式及其應(yīng)用 19.已知2x+y1，且x，yR+，則的最小值為【解答】解：由于：6+4（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）故答案為：6+4【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 20.已知x，yR，x2xy+9y21，則x+3y的最大值為【解答】解：x2xy+9y21，x2+9y21+xy6xy，即xy，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x，y時(shí)，等號(hào)成立，（x+3y）2x2+6xy+9y21+7xy1+7，x+3y，x+3y的最大值為故答案為：【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 21.若x，y3x+，當(dāng)x時(shí)，y的最大值為【解答】解：由x得3x50，y3x+3x5+5（53x+）+5+53，當(dāng)且僅當(dāng)53x，即x時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y3x+取得

11、最大值3故答案為：，3【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 22.已知正數(shù)a，b滿足a+b1，則+的最小值為【解答】解：正數(shù)a，b滿足a+b1，+12+13，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“，故答案為：3【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用 23.函數(shù)f（x）（ax1）（x+2b），若不等式f（x）0的解集為（1，2），那么ab【解答】解：函數(shù)f（x）（ax1）（x+2b），且不等式f（x）0的解集為（1，2），所以（ax1）（x+2b）0的解為x1或x2，且a0；所以ax2+（2ab1）x2b0，由根與系數(shù)的關(guān)系知，整理可得2a2+a10，解得，a1或a（不合題意，舍去），所以ba1，所以ab1故答案為：1【知識(shí)點(diǎn)】一元

12、二次不等式及其應(yīng)用 24.函數(shù)f（x）x2+4（a1）x+1在區(qū)間4，+）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解答】解：因?yàn)閒（x）x2+4（a1）x+1在區(qū)間4，+）上單調(diào)遞增，所以2（a1）4，解得，a1，故答案為：a|a1【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象 25.已知不等式x23x40的解集為A，不等式x2x60的解集為B，若關(guān)于x的不等式x2+ax+b0的解集為AB，則a+b【解答】解：不等式x23x40可化為（x+1）（x4）0，解得1x4，所以該不等式的解集為A（1，4）；不等式x2x60可化為（x+2）（x3）0，解得2x3，所以該不等式的解集為B（2，3）；若關(guān)于x的不等式x2+ax

13、+b0的解集為AB（1，3），則1和3是方程x2+ax+b0的解，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得a2，b3，所以a+b5故答案為：5【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算、一元二次不等式及其應(yīng)用 三、解答題（共10小題） 26.（1）計(jì)算：；（2）解不等式：x（x4）+405（2x1）【解答】解：（1）1+32232+2+7276；（2）不等式x（x4）+405（2x1）可化為x214x+450，即（x5）（x9）0，解得x5或x9，所以不等式的解集為x|x5或x9【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用、有理數(shù)指數(shù)冪及根式 27.解下列不等式（1）5x2+3x+140；（2）（52x）（x+3）9【解答】解：（1）令5x

14、2+3x+140，解得x或x2，所以不等式5x2+3x+140的解集為（，2，+）；（2）由題意，不等式（52x）（x+3）9，可化為2x2+x60，令2x2+x60，解得x或x2，所以2x2+x60的解集為（2，），即（52x）（x+3）9的解集為（2，）【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 28.設(shè)正數(shù)x，y滿足下列條件，分別求的最小值（1）x+y2；（2）x+2y1【解答】解：（1）x+y2，x0，y0，+2（+）（x+y）（+）（2+）（2+2）2，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取“，（+）min2；（2）x+2y1，x0，y0，+（+）（x+2y）3+3+2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“，（+）min3+2【知識(shí)點(diǎn)

15、】基本不等式及其應(yīng)用 29.（1）解不等式2x2x30；（2）若3x2+bx+30的解集為R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍【解答】解：（1）不等式2x2x30可化為（x+1）（2x3）0，解得x1或x，所以不等式的解集為（，1）（，+）；（2）3x2+bx+30的解集為R，所以b24330，解得6b6，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是6，6【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 30.關(guān)于x的不等式x2+bx+c0解集為x|1x2，解關(guān)于x不等式cx2+bx+10【解答】解：關(guān)于x的不等式x2+bx+c0解集為x|1x2，所以1和2是對(duì)應(yīng)方程x2+bx+c0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得b1，c2；于是不等式cx2+

16、bx+10可化為2x2x+10，整理得2x2+x10，即（2x1）（x+1）0，解得1x；所以所求不等式的解集為 【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 31.已知關(guān)于x一元二次不等式x2+2mx+m+20的解集為R（1）求函數(shù)f（m）m+的最小值；（2）求關(guān)于x的一元二次不等式x2+（m3）x3m0的解集【解答】解：（1）不等式x2+2mx+m+20的解集為R，所以4m24（m+2）0，化簡得m2m20，解得1m2，所以1m+24，所以函數(shù)f（m）m+（m+2）+22222，當(dāng)且僅當(dāng)m+2，即m2時(shí)取“”；所以f（m）的最小值為22（2）不等式x2+（m3）x3m0，可化為（x+m）（x3）0，因

17、為1m2，所以2m13，所以該不等式的解集為（，m）（3，+）【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 32.解不等式：ax2+（2a1）x20（1）當(dāng)a2時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)aR時(shí)，解不等式【解答】解：（1）a2時(shí)，不等式ax2+（2a1）x20為2x2+3x20，即（x+2）（2x1）0，解得2x，所以不等式的解集為x|2x（2）當(dāng)a0時(shí)，不等式化為x20，解得x2；當(dāng)a0時(shí)，不等式化為（x+2）（ax1）0，解得2x；當(dāng)a0時(shí)，不等式化為（x+2）（x）0，若a0，則2，解不等式得x2或x；若a，則2，解不等式得xR；若a，則2，解不等式得x2或x；綜上知，a0時(shí)，不等式的解集為x|x2；a0

18、時(shí)，不等式的解集為x|2x；a0時(shí)，不等式的解集為x|x2或x；a時(shí)，不等式的解集為R；a時(shí)，不等式的解集為x|x2或x【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用 33.（1）已知a，b均為正數(shù)，且ab，比較與的大??；（2）a，b都為正數(shù)，a+b2，求的最小值【解答】解：（1）a，b均為正數(shù)，且ab，（）（ab）+（ba）（）（ab）（）2（）0，（），（2）a，b都為正數(shù)，a+b2，3，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)，即的最小值3【知識(shí)點(diǎn)】不等式比較大小、基本不等式及其應(yīng)用 34.已知函數(shù)f（x）3x2+（b8）xaab，f（x）0的解集為（2，3）（1）求f（x）的解析式；（2）當(dāng)x0時(shí)，求的最小值【解答】解：（1）由題可知，即，即a3，b5，所以f（x）3x23x18（2）由（1），得由