東北師大附屬中學(xué)高三一輪導(dǎo)學(xué)案：推理與證明【A】

1、推理與證明學(xué)案A一、知識(shí)梳理1.合情推理包括 和 ； 歸納推理：從個(gè)別事實(shí)中推演出 ，這樣的推理通常稱為歸納推理；歸納推理的思維過程是： 、 、 .類比推理：根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉?或 ，這樣的推理稱為類比推理，類比推理的思維過程是： 、 、 .2.演繹推理：演繹推理是 ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的 推理過程；三段論常用格式為：M是P， ，S是P；其中是 ，它提供了一個(gè)個(gè)一般性原理；是 ，它指出了一個(gè)個(gè)特殊對(duì)象；是 ，它根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的

2、經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論的推理過程3直接證明與間接證明（1）.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法 綜合法 ；分析法 ；（2）. 間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法；反證法即從 開始，經(jīng)過正確的推理，說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）.4

3、數(shù)學(xué)歸納法：（理科內(nèi)容）(1).歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊一般.(2).不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 (3).完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法HYPERLINK /wxc/.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法(4).數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然

4、后假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.(5).數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)，命題成立HYPERLINK /wxc/.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，命題都成立HYPERLINK /wxc/.(6).用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：.證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；.假設(shè)當(dāng)(，)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由、可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納

5、假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.(7).用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；.證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo). 二、題型探究題型一：合情推理與類比推理應(yīng)用例1. 已知：； 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題：_=（ * ）并給出（ * ）式的證明.解：一般形式: 證明：左邊 = = = = = （將一般形式寫成 等均正確。）變式訓(xùn)練1：設(shè)，nN，則 解：，由歸納推理可知其周期是4例2. 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLM

6、N，如果用表示三個(gè)側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是 .解：。變式訓(xùn)練2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，則ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。答案：本題是“由平面向空間類比”?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，則此三棱錐的外接球的半徑是。例3. 請(qǐng)你把不等式“若是正實(shí)數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案： 推廣的結(jié)論：若 都是正數(shù)， 證明： 都是正數(shù) ，變式訓(xùn)練3：觀察式子：，則可歸納出式子為（ ）

7、A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。探究二 演繹推理的應(yīng)用例4. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?（ ）A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。變式訓(xùn)練4：“AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分。”補(bǔ)充以上推理的大前提是 。答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分探究三直接證明與間接證明例1若均為實(shí)數(shù)，且。求證：中至少有一個(gè)大于0。答案：（用反證法）假設(shè)都不大于0，即，則

8、有，而 =均大于或等于0，這與假設(shè)矛盾，故中至少有一個(gè)大于0。變式訓(xùn)練1：用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除。”那么假設(shè)的內(nèi)容是 答案：a,b中沒有一個(gè)能被5整除。解析：“至少有n個(gè)”的否定是“最多有n-1個(gè)”。例2. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：。答案：證明：要證，即需證。即證。又需證，需證ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命題得證。變式訓(xùn)練2：用分析法證明：若a0，則。答案：證明：要證，只需證。a0，兩邊均大于零，因此只需證只需證，只需證，只需證，即證，它顯然成立。原不等式成立。探究四數(shù)學(xué)歸納法例1已知數(shù)列，記求

9、證：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）。解：（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭欠匠痰恼?，所以假設(shè)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以即當(dāng)時(shí)，也成立根據(jù)和，可知對(duì)任何都成立（2）證明：由，（），得因?yàn)?，所以由及得，所以?）證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以三、方法提升：四、反思感?五、課時(shí)作業(yè)：推理與證明測(cè)試題1.考察下列一組不等式： .將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推式可以是 .已知數(shù)列滿足，（），則的值為 ， 的值為 3. 已知 ，猜想的表達(dá)式為（ ）A.； B.； C.； D.4. 某紡織廠的一個(gè)車間有技術(shù)工人名（），編號(hào)分別為1、2、3、，有臺(tái)（）織布機(jī)，編號(hào)分別為1、2、3

10、、，定義記號(hào)：若第名工人操作了第號(hào)織布機(jī)，規(guī)定，否則，則等式的實(shí)際意義是（ ）A、第4名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)； B、第4名工人操作了臺(tái)織布機(jī)；C、第3名工人操作了4臺(tái)織布機(jī)； D、第3名工人操作了臺(tái)織布機(jī).5. 已知，計(jì)算得，由此推測(cè)：當(dāng)時(shí)，有 6. 觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是，按此規(guī)律推出：當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系式 觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，則可得出一般結(jié)論： .8.函數(shù)由下表定義：若，則 9.在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如

11、圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為_ 顆.(結(jié)果用表示)圖1圖2圖1圖2圖3圖4第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2003應(yīng)該在第 行，第 列。如右上圖，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無名指，5小指，6無名指，一直數(shù)到

12、2008時(shí)，對(duì)應(yīng)的指頭是 (填指頭的名稱). 12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25項(xiàng)為_13觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖中有 個(gè)小正方形.14同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚_塊（用含n的代數(shù)式表示）15.如圖所示，面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長(zhǎng)記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，若，則.類比以上性質(zhì),體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為, 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為,若, 則 ( B ) A. B. C. D. 16.設(shè)O是 QUOTE 內(nèi)一點(diǎn)，三邊上的高分別為，O到三邊的距離依次為，則_

13、_，類比到空間，O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為，O到這四個(gè)面的距離依次為，則有_ _ 17在中，兩直角邊分別為、，設(shè)為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐中的三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為、，設(shè)棱錐底面上的高為，則 18、若數(shù)列是等差數(shù)列，對(duì)于，則數(shù)列也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于，則= 時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列。19已知ABC三邊a，b，c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且，如果bm（mN*），則這樣的三角形共有 個(gè)（用m表示）20如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加則第n行(n2)

14、中第2個(gè)數(shù)是_（用n表示）.21在ABC中，判斷ABC的形狀并證明.22已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).若用反證法證明三個(gè)方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè) 23.中，已知，且，求證：為等邊三角形。 24如圖，、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）寫出、；（2）求出點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式并證明.推理與證明測(cè)試題答案23. B.4. A 5.6. 7. 9. 10.251,3 11、食指 12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25項(xiàng)為_7_1314 15、

15、B提示:平面面積法類比到空間體積法1. 提示：平面面積法類比到空間體積法1718、提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術(shù)平均數(shù)類比到幾何平均數(shù)19 2021解: 所以三角形ABC是直角三角形22 三個(gè)方程中都沒有兩個(gè)相異實(shí)根 證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.方法總結(jié)：反證法步驟假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有

16、否定詞的命題適宜用反證法.23.解: 分析：由 由 所以為等邊三角形24.如圖，、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）寫出、；（2）求出點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式并證明.解:（）.6分（2）依題意，得，由此及得，即由（）可猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：（1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；（2）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即有，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及得，即，解之得（不合題意，舍去），即當(dāng)時(shí)，命題成立 由（1）、（2）知：命題成立.10分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1若f（n）1 （nN*），則當(dāng)n1時(shí)，f（n）為A1B C1 D非以

17、上答案2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1（a1，nN*），在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是A1B1aC1aa2D1aa2a33某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk（kN*）時(shí)，該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，那么可推得A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立；B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立4如果命題P（n）對(duì)nk成立，則對(duì)nk2也成立，又若P（n）對(duì)n2成立，則下列結(jié)論正確的是AP（n）對(duì)所有自然數(shù)n成立BP（n）對(duì)所有正偶數(shù)n成立CP（n）對(duì)所有正奇數(shù)n成立DP（n）對(duì)所有大于1的自然數(shù)n成立5已知數(shù)列an中，a11，a22，an12a

18、nan1（nN*），用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除，假設(shè)a4k能被4整除，應(yīng)證Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除；Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除6用數(shù)學(xué)歸納法證明，“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，第2步歸納假設(shè)應(yīng)寫成A假設(shè)n2k1（kN*）時(shí)正確，再推證n2k3時(shí)正確B假設(shè)n2k1（kN*）時(shí)正確，再推論n2k1時(shí)正確C假設(shè)nk（k1）時(shí)正確，再推論nk2時(shí)正確D假設(shè)nk（k1）時(shí)正確，再推論nk2時(shí)正確二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）7連續(xù)兩個(gè)自然數(shù)之積一定能被2整除，連續(xù)三個(gè)自然數(shù)之積一定能被_整除；連續(xù)四個(gè)自然數(shù)之積一定能被_整除8a1，a

19、n1，猜想an_9已知數(shù)列，計(jì)算得S1，S2，S3，由此可猜測(cè)：Sn_10用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切正整數(shù)n，都有2n2n2”這一命題時(shí)，證明過程中的第（1）步，n應(yīng)該驗(yàn)證_11用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：當(dāng)nN時(shí)，11n2122n1能被133整除，假設(shè)nk， kN*時(shí)命題成立，推論nk1時(shí)命題也成立，應(yīng)添加的輔助項(xiàng)為_三、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）12用數(shù)學(xué)歸納法證明（3n1）7n1能被9整除（nN*）13是否存在常數(shù)a、b使等式對(duì)一切nN*都成立14已知正數(shù)數(shù)列an（nN*）中，前n項(xiàng)和為Sn，且2Snan，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an參考答案一、1C2C3C4B5D6B二、7624

20、89 10n1，2，3時(shí)命題成立1111122k111122k1或14411k214411k2三、12證明：（1）n1時(shí)，47127能被9整除（2）假設(shè)nk（kN*），（3k1）7k1能被9整除那么，當(dāng)nk1時(shí)，3（k1）17k11（3k1）3（16）7k1（3k1）7k1（3k1）67k217k（3k1）7k1（3k67k）（621）7k以上三式均能被9整除，則nk1時(shí)，命題成立據(jù)（1）（2）可知，命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立13證明：令n1，2，得現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)nN*，都有證明：（1）當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立（2）假設(shè)nk時(shí)，（kN*），等式成立即成立當(dāng)nk1時(shí)nk1時(shí)，等式成立，由（

21、1）（2）知對(duì)一切nN*，等式都成立14證明：（1）當(dāng)n1時(shí)a1S1a121（an0）a11，又1n1時(shí)，結(jié)論成立（2）假設(shè)nk時(shí)，（kN*），結(jié)論成立，即ak當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Skak122ak110解得ak1（an0）nk1時(shí)，結(jié)論成立由（1）（2）可知，對(duì)nN*都有an數(shù)學(xué)歸納法測(cè)評(píng)一、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”從到左端需增乘的代數(shù)式為（ ）A B C D2.凸邊形有條對(duì)角線，則凸邊形的對(duì)角線的條數(shù)為（ ）ABCD3.已知，則（ ）A BC D4.如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立，又若對(duì)成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）A對(duì)所有自然數(shù)成立 B對(duì)所有正偶數(shù)成立C對(duì)所有正奇數(shù)成立 D對(duì)所有大于1的自然數(shù)成立5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（ ）A假設(shè)時(shí)正確，再推證正確B假設(shè)時(shí)正確，再推證正確C假設(shè)的正確，再推證正確D假設(shè)時(shí)正確，再推證正確6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，不等式在時(shí)的形式是（ ）ABCD7.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被8整除時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于可變形為（）8.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（）19.已