基于貝葉斯理論的鋼筋再生混凝土梁受剪承載力預(yù)測模型

1、基于貝葉斯理論的鋼筋再生混凝土梁受剪承載力預(yù)測模型進入新世紀(jì)后,我國建筑業(yè)的發(fā)展面臨著諸多困難.一方面,建筑產(chǎn)業(yè)快速增長,使得其對自然資源的需求日益增加,據(jù)統(tǒng)計截至2022年底全國砂石消耗量已增至每年178.3億t1; 另一方面,新、擴建及拆除活動也產(chǎn)生了巨量建筑垃圾,達28.0億t/a2.在此背景之下,再生混凝土因能同時緩解資源短缺與環(huán)境保護難題,吸引了土木工程領(lǐng)域研究及設(shè)計人員的廣泛關(guān)注.與天然骨料相比,再生骨料擁有許多獨特屬性3:(1)骨料表面總是粘附一層薄弱砂漿;(2)顆粒內(nèi)部常包含一類獨特的舊骨料舊砂漿結(jié)合界面;(3)由于多級破碎,老砂漿內(nèi)富含破碎裂隙;(4)骨料來源區(qū)別巨大.上述差

2、異的存在,致使再生骨料及其拌和而成的再生混凝土材料性能發(fā)生了明顯變化.同濟大學(xué)肖建莊教授團隊的研究結(jié)果表明,天然骨料的吸水率、顆粒密度及壓碎指標(biāo)常在1.0%、2 600 kg/m3和9.6%附近,而再生骨料的相同物理性能指標(biāo),常在5%15%、2 3002 500 kg/m3及13.5%20%區(qū)間浮動,后者顆粒品質(zhì)明顯改變、離散變異性更強4.葡萄牙學(xué)者Brito的試驗也發(fā)現(xiàn),相比于同配合比的天然骨料混凝土,粗骨料取代率為100%時,再生混凝土的抗壓強度、彈性模量和劈拉強度分別平均下降了13.5%、27.5%和19.5%,而氯離子擴散系數(shù)及收縮系數(shù)則相應(yīng)增加了22.0%和39.8%5-7,這些結(jié)果

3、都預(yù)示著再生混凝土的力學(xué)及耐久性能發(fā)生了一定退化.當(dāng)然,再生骨料的使用,也偶爾會提升混凝土的一部分品質(zhì).吳波等學(xué)者的近期試驗結(jié)果表明,摻入再生骨料,會使得混凝土制品的高溫爆裂頻次顯著降低,其主要是因為再生骨料上粘附著砂漿,使得高溫蒸汽的疏散通道增多,混凝土內(nèi)部蒸汽壓力有效減小8.本文在此聚焦于鋼筋再生混凝土梁的抗剪能力.眾所周知,傳統(tǒng)鋼筋混凝土構(gòu)件在受到外部剪力作用時,其抗力主要由壓區(qū)混凝土的拱效應(yīng)、已開裂混凝土的牽引力、粗骨料咬合作用、縱筋銷栓作用及箍筋抗力五部分貢獻9.但因傳力機理過于復(fù)雜及抗剪試驗結(jié)果離散性較大等原因,鋼筋普通混凝土構(gòu)件的受剪承載力計算理論至今尚未被準(zhǔn)確建立10.再生粗骨

4、料的摻入,無疑進一步復(fù)雜化了這類構(gòu)件的抗剪失效機理,這是因為:(1)再生骨料產(chǎn)地高度隨機,顆粒表面粘附著大量砂漿,導(dǎo)致混凝土拉、壓力學(xué)性能及彎剪斜裂縫上骨料咬合作用均發(fā)生明顯改變;(2)現(xiàn)存研究結(jié)果表明,再生混凝土與鋼筋的粘結(jié)能力已發(fā)生了改變,由此可推斷縱筋銷栓作用和箍筋抗力也可能產(chǎn)生一定變動.然而,現(xiàn)存多數(shù)研究在預(yù)測鋼筋再生混凝土梁的受剪承載力時,仍使用傳統(tǒng)鋼筋混凝土梁的計算式,僅簡單采用一定系數(shù)折減混凝土的力學(xué)性能指標(biāo),用以“確?！睒?gòu)件受力安全.由此可見,鋼筋再生混凝土梁的抗剪承載力計算模型研究尚待進一步加強.為此,本文嘗試采用貝葉斯理論及其推斷建立此類問題的精準(zhǔn)計算式.貝葉斯理論的實質(zhì)在

5、于用樣本信息更新先驗經(jīng)檢,進而得到信息的后驗分布11.貝葉斯理論及其推斷在土木工程領(lǐng)域已有了一些嘗試,并取得了豐碩成果,如利用其解決混凝土耐久性12、結(jié)構(gòu)抗震性能13與FRP約束混凝土極限壓應(yīng)變14問題.同樣地,將鋼筋再生混凝土的抗剪承載力預(yù)測科學(xué)問題與貝葉斯理論結(jié)合,采用已有模型和廣泛收集的試驗數(shù)據(jù)作為先驗信息,對模型進行基于貝葉斯理論的更新修正,以此得到后驗分布,其可解決現(xiàn)有模型預(yù)測準(zhǔn)確度不高的問題.1 貝葉斯理論及其統(tǒng)計推斷1.1 貝葉斯定理古典概率理論中,對連續(xù)型隨機變量與x,依乘法法則可導(dǎo)出.式中:f(, x)稱為聯(lián)合概率密度; f(|x)與f(x|)為條件概率密度; f()及f(x

6、)稱為邊緣概率密度.對式(1)進行變形可得上式即為貝葉斯概率理論的奠基公式貝葉斯定理.在貝葉斯定理中,等式右側(cè)的f()稱為隨機變量的先驗分布,f(x|)為似然函數(shù),等式左側(cè)的f(|x)則代表著在知道一定信息x過后變量的更新后驗分布.真實觀察試驗中,先驗信息y可能在不同時刻被收集.為此,可進一步導(dǎo)出經(jīng)不同時刻信息序列x(k)修正過后,隨機變量的后驗分布f(|x(k)為通過式(3)可知,貝葉斯理論通過對參數(shù)進行估計,進而更新先驗信息與修正先驗?zāi)Ｐ?1.2 貝葉斯概率模型國內(nèi)外當(dāng)前已有較多學(xué)者提出了鋼筋普通混凝土梁的受剪承載力計算模型15.這些模型均可采納為再生混凝土無腹筋梁受剪承載力預(yù)測的貝葉斯修

7、正先驗?zāi)Ｐ?后期經(jīng)過完善建立(即開展觀察試驗)試驗數(shù)據(jù)庫,并修正這些現(xiàn)存先驗?zāi)Ｐ?進而發(fā)展起來預(yù)測精度較高的后驗?zāi)Ｐ?這一過程通?？捎孟率鰯?shù)學(xué)公式表達.V(x,)=Vc(x)+(x,)+ (4)式中:x代表控制著普通混凝土無腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵變量向量; =(,)為經(jīng)貝葉斯方法估計得到的模型控制變量,其中=1, 2, , pT代表著對x的修正系數(shù); 為修正模型存在的誤差; Vc代表著現(xiàn)有無箍筋鋼筋普通混凝土梁受剪承載力計算公式; (x, )為偏差校正項; 為隨機變量.需強調(diào)的是,為使貝葉斯概率模型適合于已有試驗結(jié)果,應(yīng)對式(4)的右側(cè)變量選取做一定限制:(a) V(x, )的自變量應(yīng)是誤差;

8、 (b) 誤差必須與變量x相互獨立; (c) 需服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.為簡化計算,實際操作中偏差校正項(x, )常用p個初等函數(shù)的線性組合近似表示14,即式中:gk(x)是由控制混凝土無腹筋梁受剪承載力的關(guān)鍵因素經(jīng)簡單組合得到的一些基本函數(shù).由貝葉斯定理得知,后驗分布f(|x)(或f(|x)的建立關(guān)鍵,在于確定先驗信息f()(或f()及似然函數(shù)f(x|)(或f(x|).貝葉斯概率模型中一般假定變量(, x)的無信息先驗分布服從如下均勻分布14.f()1, (6)f(x)=1/x, x0 (7)則似然函數(shù)f(x|)可表達為14式中:()為正態(tài)分布函數(shù); ()為正態(tài)分布的概率密度函數(shù); Vi為抗剪承載

9、力試驗值; Vc(xi)為抗剪承載力模型預(yù)測值.1.3 貝葉斯參數(shù)剔除為使計算值與試驗值偏差較小,應(yīng)剔除對整體預(yù)測結(jié)果影響不顯著的gk(x).由公式(4)和(5)可知V-Vc(x)=(x,)+=1g1(x)+2g2(x)+kgk(x)+ (9)令W=V-Vd,可得W=g(x)+ (10)式中:式(11)(15)中:n為樣本數(shù).由最小二乘法14可知,=(g(x)Tg(x)-1g(x)TW,形參數(shù)v=n-p,誤差S2n=W-g(x)T(W-g(x).整合式(8)和(9),可得似然函數(shù)為由公式(6)和(7)又可知將式(16)和(17)代入貝葉斯定理,可得對等式兩側(cè)同時積分,可得到標(biāo)準(zhǔn)差的后驗邊緣分布

10、14為方差2的后驗邊緣分布密度函數(shù)為在概率論中,逆Gamma分布的定義為14對比式(20)和式(21),可知2后驗分布為逆Gamma分布,即2IG(v/2,S2n/2),于是有由此,可通過分析方差2的變化趨勢來判斷修正項對再生混凝土無腹筋梁抗剪承載力的決定程度,進而剔除對整體預(yù)測結(jié)果影響不顯著的gk(x),達到參數(shù)剔除目的.2 試驗數(shù)據(jù)庫建立、貝葉斯計算分析2.1 試驗數(shù)據(jù)庫的建立當(dāng)前,已有一些學(xué)者意識到了鋼筋再生混凝土梁在剪力作用時受荷機理可能發(fā)生了變化,為此開展了一系列試驗探究15.本文在此整理匯編這些寶貴試驗,并初步形成了一個再生混凝土無腹筋梁受剪承載力試驗數(shù)據(jù)庫.相關(guān)信息見表1.表1

11、再生混凝土無腹筋抗剪試驗數(shù)據(jù)庫匯總Tab.1 Test database for steel bar reinforced RAC beams without stirrups under shear loading從表1中容易看出,各試驗梁的參數(shù)基本涵蓋以下信息:混凝土圓柱體抗壓強度(fc); 粗骨料最大粒徑(smax); 再生骨料取代率(r); 梁高(h); 剪跨比(a/d); 縱筋配筋率(s); 縱筋抗拉強度(fy)及梁抗剪強度(vu=Vu/bd, 其中Vu、b和d分別為梁極限抗剪承載力、截面寬度和有效高度).需特別指出的是,表1數(shù)據(jù)庫形成過程中采用了如下篩選原則:(1)所有梁在彎曲荷載

12、作用時,必須表現(xiàn)出十分明顯的剪切破壞特征,梁受荷方式必須為三點或四點集中加載.與此同時,梁剪跨比需小于5,因為文獻37的研究結(jié)果曾表明剪跨比太大的梁常發(fā)生彎曲破壞;(2)澆筑所用混凝土必須完整給定水灰比、再生骨料取代率及粗骨料粒徑等信息;(3)鋼筋再生混凝土梁在制作過程僅使用了再生粗骨料,細骨料仍為天然砂;(4)完整給定了混凝土和縱筋等的強度信息.當(dāng)澆筑或試驗條件不滿足上述要求時,梁會被人為剔除.經(jīng)篩選后,表1最終包含了206根再生混凝土無腹筋梁.所有梁的抗壓強度、剪跨比及縱筋配筋率均值分別為32.7 MPa、2.71和1.81%,均在工程運用正常范圍內(nèi).2.2 貝葉斯先驗?zāi)Ｐ偷倪x定如前文所述

13、,目前大部分研究在預(yù)估再生混凝土無腹筋梁抗剪強度時,一般沿襲套用傳統(tǒng)鋼筋混凝土梁的半經(jīng)驗半理論公式.在這些經(jīng)典理論中,一般并不獨立剝離壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷栓作用的抗剪貢獻.以歐洲混凝土模式規(guī)范為例,其無箍筋受彎構(gòu)件抗剪強度公式源于簡化修正壓力場理論37,即式中:考慮了參數(shù)影響的粗骨料顆粒尺寸、截面高度及加載剪跨比等因素對梁抗剪承載力的影響.表2列舉了本文收集的8個主流無腹筋受彎構(gòu)件抗剪強度預(yù)測公式.結(jié)合表1的試驗數(shù)據(jù)庫,可計算得到各式在預(yù)測鋼筋再生混凝土梁抗剪強度時的精度.此處采用均方根誤差RMSE和置信指數(shù)CI作為誤差評判標(biāo)準(zhǔn).式(24)(25)中:n

14、為試驗樣本數(shù); T為試驗實測值; C為模型計算值; CI較傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)R2更適合作為誤差評判指標(biāo)的原因是其對預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果之間差異更敏感14.CI的取值范圍一般為(-, 1),當(dāng)其值接近1時,表明模型預(yù)測準(zhǔn)確度更高.表2最后兩列展示了運用上述8個公式預(yù)測再生混凝土無腹筋梁抗剪強度的計算結(jié)果.結(jié)合各模型相互之間比較可發(fā)現(xiàn):(1)現(xiàn)有的鋼筋混凝土梁抗剪強度公式并未考慮壓區(qū)混凝土拱效應(yīng)、已開裂混凝土牽引力、粗骨料咬合作用及縱筋銷栓作用四方面貢獻,模型都具有一定的局限性;(2)總體來講,學(xué)者Zsutty、Zhang及ACI318-2022規(guī)范所建議的抗剪強度計算式具有較高預(yù)測精度,其余模型的RMS

15、E值一般偏大,CI指標(biāo)也偏離1.0較遠.基于上述計算結(jié)果,并考慮到學(xué)者Bentz37在預(yù)測普通混凝土無腹筋梁受剪承載力時曾指出Zsutty模型擁有較高精度、學(xué)者Bazant45報道ACI模型雖然基于經(jīng)驗回歸但能較好描述剪跨比和尺寸效應(yīng)等重要因素作用,本文在此選定Zsutty及ACI318-2022公式為貝葉斯修正的先驗?zāi)Ｐ?Zhang所建議公式精度較ACI318-2022稍高,但形式較為復(fù)雜).2.3 gk(x)選取從表2所列公式容易發(fā)現(xiàn),以往學(xué)者普遍認為參數(shù)fc、smax、a/d、s及h顯著影響著無箍筋鋼筋混凝土梁的抗剪承載能力.基于此事實,并結(jié)合再生骨料特性,本文在此選取g1(x)=ln(

16、e)為修正常數(shù)項,g2(x)g8(x)分別為ln(er)、ln(fc)、ln(smax)、ln(a/d)、ln(d)、ln(1+sfy)和ln(fy/fc),來保證貝葉斯概率模型的可靠性及全面性.由式(4)和(5)可得如下再生混凝土無腹筋梁抗剪承載力計算式(注:為簡化最終計算模型的數(shù)學(xué)形式,對v和vd進行了對數(shù)化處理),即結(jié)合前述假定gk(x)函數(shù),可利用貝葉斯定理對再生混凝土無腹筋梁抗剪承載能力先驗?zāi)Ｐ瓦M行修正,計算結(jié)果列于表3.由該表可知,g2(x)項的變異系數(shù)最大,而g1(y)項的變異系數(shù)最小.表2 再生混凝土無腹筋梁抗剪強度預(yù)測模型歸納Tab.2 Calculation models

17、for predicting shear strength of steel bar reinforced RAC beams without stirrups表3gk(x)計算結(jié)果的統(tǒng)計Tab.3 Statistics for the calculation results of gk(x)2.4 貝葉斯參數(shù)剔除及公式簡化如前所述,分別選定學(xué)者Zsutty及ACI318-2022規(guī)范所建議公式作為式(26)的先驗?zāi)Ｐ蚔c,代入gk(x)后,一般可通過分析方差2的變化趨勢,來剔除對整體預(yù)測精度影響不顯著的gk(x)及其對應(yīng)的k:當(dāng)2變化微小時,說明該gk(x)及其對應(yīng)的k對整體預(yù)測影響不顯著,

18、應(yīng)予以剔除,并重復(fù)上述步驟; 當(dāng)2變化明顯時,說明該gk(x)及對應(yīng)的k對整體預(yù)測影響顯著,應(yīng)停止參數(shù)剔除過程.表4 參數(shù)剔除過程Tab.4 Parameter removal process表4詳細展示了以Zsutty模型和ACI318-2022規(guī)范為先驗?zāi)Ｐ?、g1(x)g8(x)為預(yù)估控制變量的貝葉斯修正計算全過程.通過系列參數(shù)剔除后,可最終得到如下再生混凝土無腹筋梁的抗剪強度計算后驗計算式,即修正的Zsutty模型及ACI318-2022規(guī)范模型為從上述兩式可發(fā)現(xiàn),經(jīng)貝葉斯統(tǒng)計推斷過后,所得預(yù)測公式仍不顯示包含粗骨料取代率,這說明造成本文收集的再生混凝土無腹筋梁抗剪強度預(yù)測偏差較大的主要原因是傳統(tǒng)的鋼筋再生骨料混凝土梁的抗剪計算模型并未被準(zhǔn)確建立.3 試驗驗證與討論圖1給出了再生混凝土無腹筋梁抗剪強度的試驗值與Zsutty模型、ACI318-2022規(guī)范模型及各自貝葉斯修正后驗?zāi)Ｐ陀嬎阒档谋容^.以圖1(a)為例,在Zsutty先驗?zāi)Ｐ椭?Vtest/Vcal的平均值和變異系數(shù)分別為1.264和0.441,經(jīng)貝葉斯統(tǒng)計修正后的Zsutty后驗?zāi)Ｐ偷腣test/Vcal平均值和變異系數(shù)變化為1.