Laplace 算子極坐標(biāo)式全證明

1、【續(xù)前證明雜合項(xiàng)的計(jì)算】O雜合項(xiàng)的計(jì)算與二有關(guān)的雜合項(xiàng)計(jì)算雜合項(xiàng)飛込二=5：16cus6cu5- Qtt : B;2=+ 2=+ sin0cosOcos2p雜合項(xiàng)=玄，己3=*：C； 4= -丄：H：HU _雜合項(xiàng)=J 玄1=| CuS - BcuS - Cf ：2：2=r十陽(yáng)衍雜合項(xiàng)=b - F 3 = * 51HO：uSQt7 : C； 2 = _存品心急 雜合項(xiàng)=左1=半三二_ 口/ ；2： 2= J： My 匹口 _ _ _ 雜合項(xiàng)=F -1- 3=右:二gExi： 三:E：4=-存專(zhuān)is巳加 ii2臺(tái)勞關(guān)戈雜合項(xiàng)計(jì)算雜合項(xiàng)玄，L 二=* 二iE：h：丈二：E： _2_ = 5：:iB

2、cusBr 雜合項(xiàng)=卜.-勺二=-s:r 壬：2 ； 2 = | smecusGT用三曇有羔戈三仝克汁算雜合項(xiàng)=玄” E 二=E：h：eEm】i-口 ：E：: 2 = *e二E：h：eEm】-o 雜合項(xiàng)=玄己 3 = * 二i:工：C： 三 =s:io-:qso 雜合項(xiàng)=t - S 二=cqs-Bs:a-_2_ = s:iE：hpE匚】i -o ：二計(jì)雜合項(xiàng)=3 =4s:iqcusq；C;三=右；春汀1*疋買(mǎi)冷雜合項(xiàng)=- 二=*m-(D寸3；：工=三二30：_計(jì) 雜合項(xiàng)=-1 3 =右：二事山9丘:E；：三=右二尹二心3刁戻iii. 平方項(xiàng)遺留的雜合偏微分 其中可以知道每個(gè)項(xiàng)的玄.玄項(xiàng)計(jì)算是不

3、會(huì)產(chǎn)生復(fù)合偏微分的(a )與蘭有關(guān)的復(fù)合項(xiàng)2(b)與羔有芫犬復(fù)合項(xiàng)2(b)與羔有芫犬復(fù)合項(xiàng)r2sin26 dtp2。處理結(jié)果的求和現(xiàn)在我們要把上述的各組結(jié)果加起來(lái)，就可以得到Laplace算符的極坐標(biāo)表達(dá)式。我們?yōu)榱诉M(jìn)一步使求和的結(jié)果一目了，我 們把上述結(jié)果按照偏微分操作符后綴的種類(lèi)再劃分為三大類(lèi)：復(fù)合項(xiàng)復(fù)合項(xiàng)(C)與有關(guān)的復(fù)合項(xiàng)3z2復(fù)合項(xiàng)=t 復(fù)合項(xiàng)=t =豈三三二:E;r2臚 d臚 d2_即為示定肓為空邈三女。平方項(xiàng)的計(jì)算平方項(xiàng)的和可以簡(jiǎn)寫(xiě)如下：平方項(xiàng)Csin29cos2tp + sin2esin2cp + cos29) + cos30cos2tp+cos2 9sin2p+sin3& &

4、2r2dQ2+ 打1：-申一 :申 d - 二階連續(xù)偏微分項(xiàng)召項(xiàng)系數(shù)=sin26(sin2p + cos2(p) + cos26 = 1項(xiàng)系數(shù)=吉cos2S(sin2p + cos2p) + sin2S = 土二階不連續(xù)偏微分項(xiàng)即為以（注：三種算符各自可以對(duì)易，例如有d即為以（注：三種算符各自可以對(duì)易，例如有d2d2-項(xiàng)系數(shù)-3-16CUS6 - s.aBcc-sB - =：一階偏微分項(xiàng)即為雋仝及系慕(我們?cè)谏厦嬗昧?“A”標(biāo)記)|(coss0sin:cp + cos2tp + sin20 + sin2cp + cos:0cos2p)=-(sin2 9 + cosz0 + 1)=-2及系藝（我

5、們?cè)谏厦嬗昧?“B”標(biāo)記）旦二亍系其（我們?cè)谏厦嬗昧?“C”標(biāo)記）綜上所述，可以得到 Laplace 算符的極坐標(biāo)展開(kāi)式如下：2_（2 d d21（ d d2 1 d2而+間+巨嚴(yán)麗+麗廣隔麗硏在現(xiàn)有的網(wǎng)上能找到的Laplace算符也寫(xiě)作如下（非完全展 開(kāi)） _ r2 dr （F 8r） * rsinGae陽(yáng)）* rsinG Bep?后記Laplace算子的巨大威力得到 Laplace 算子的極坐標(biāo)表達(dá)式之后，我們可以將薛定諤方 程中的波函數(shù)龍（x,y,z ）用屮（二匕D代替，之后可以把解一個(gè) 復(fù)雜二階偏微分方程轉(zhuǎn)換成解三個(gè)常微分方程：類(lèi)氫原子薛定諤方程 ： （掃卩2恥）=其中V =代入 Laplace 算子得到：令有經(jīng)過(guò)微分運(yùn)算，移項(xiàng)之后得到如下：1 d2Osin26 d /dRxsin d(d02mn n-=-r r2sin0-7sin eC- dcp2R dr xdr/ 0 d6d0/因?yàn)槭阶拥淖筮叢缓兞慷∮∮疫叢缓兞浚杂棺笥覂蛇呄嗟?，必須等于同一個(gè)常數(shù)。令這一個(gè)常數(shù)為，代入 有：對(duì)于上面的第二個(gè)方程，等號(hào)左右兩邊含的變量也不同，于是 也必須相當(dāng)于同一個(gè)個(gè)常數(shù)。令常數(shù)為D 貝口 |5