美賽培訓(xùn)怎樣建模

1、美賽培訓(xùn)怎樣建模第1頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二參考書(shū) 1. 姜啟源等，數(shù)學(xué)建模（第三版），高等教育 出版社，2003. 4. 吳建國(guó)等，數(shù)學(xué)建模案例精編，中國(guó)水利水電出版社，2005. 2. 葉起孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)材料（、二、三），湖南教育出版社，1993，1997，1998. 3. 白其崢，數(shù)學(xué)建模案例分析，海洋出版社，2000.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)： 5. 蔡鎖章，數(shù)學(xué)建模：原理與方法，海洋出版社，2000第2頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二目錄1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型建模表1.3 建模實(shí)例 模

2、型一（簡(jiǎn)單模型） 模型二（迎面雨模型） 模型三（背后雨模型） 模型四（改進(jìn)的背后雨模型）第3頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 建模的方法有很多，不可能一一掌握。要掌握的關(guān)鍵部分是：1、建模的一般方法和要求，了解建模的全過(guò)程；2、掌握幾個(gè)不同類型的具體案例；3、大致瀏覽了解一下各種方法所能解決的問(wèn)題， 各種建模案例，以便需要時(shí)盡快查閱和參考；4、掌握一些常用的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)和感覺(jué)實(shí)際問(wèn)題是如何用上這些數(shù)學(xué)方法的。第4頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 在現(xiàn)實(shí)生活中, 人們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題

3、,需要揭示某些數(shù)量的關(guān)系（如函數(shù)、方程等）、模式（如框圖等）或空間形式（圖形等）, 以期望使問(wèn)題得到圓滿解決.例 價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題. 兩個(gè)加油站位于同一條公路旁,為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油, 彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈. 一天甲加油站推出降價(jià)銷售 吸引顧客, 結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走,影響了乙站的贏利. 利潤(rùn)是受售價(jià)和銷售量的影響和控制的, 乙加油站為了挽回?fù)p失采取對(duì)策, 決定也降低售價(jià)以爭(zhēng)取顧客,問(wèn)他們?nèi)绾螞Q定汽油的價(jià)格, 既可同甲站競(jìng)爭(zhēng), 又可獲取盡可能高的利潤(rùn).第5頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題, 首要的工作是建立與問(wèn)題相符的數(shù)學(xué)模型, 即要把實(shí)

4、際問(wèn)題變成正確的數(shù)學(xué)表述, 然后在模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論求解, 分析和研究。我們將站在乙加油站的立場(chǎng)上為其制定價(jià)格對(duì)策。1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述甲站汽油價(jià)格下調(diào)后乙加油站銷售量的 變化情況。為描述價(jià)格和汽油銷售量之間的關(guān)系, 引入如下一些指標(biāo):第6頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二P-汽油的正常銷售價(jià)格(元/升);L -降價(jià)前乙加油站的銷售量(升/日);w -汽油的成本價(jià)格(元/升);x -乙加油站的銷售價(jià)格(元/升);y -甲加油站的銷售價(jià)格(元/升).1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 還需要分析影響乙加油站 銷售量的因素. 它受以下幾個(gè)因素的

5、影響:(1) 甲加油站汽油降價(jià)的幅度;(2) 乙加油站降價(jià)的幅度;(3) 兩站之間汽油銷售價(jià)格之差. 此外還假定汽油的正常銷售價(jià)格保持不變, 并且假定以上各因素對(duì)乙加油站汽油銷售量的影響是線性的。第7頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型于是, 乙加油站的汽油銷售量可由下式給出L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)其中 a, b, c 是以上三個(gè)因素對(duì)乙加油站汽油銷售量影響的比例常數(shù), 且均大于零。因此乙加油站的利潤(rùn)函數(shù)為R(x, y)=(x-w)L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y) 如果 y 給定, 可以求得 R(x, y) 關(guān)于

6、 x 的極大值點(diǎn)為（關(guān)于 x 的駐點(diǎn)）：x*=L+y(a+c)-P(a-b)+w(b+c)/2(b+c)即，當(dāng)甲加油站把汽油價(jià)格降到 y 元時(shí),乙站把它的汽油價(jià)格定為 x* 時(shí),可以使乙站獲得最高利潤(rùn)。第8頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二 在數(shù)值模擬中, 令 L=2000, P=4, w=3, y=3.7, 3.8, 3.9 由于經(jīng)濟(jì)學(xué)的現(xiàn)象是難以通過(guò)試驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的, 我們無(wú)法要求任何一個(gè)加油站頻頻調(diào)整它的銷售價(jià)格來(lái)系統(tǒng)計(jì)算不同價(jià)格下的銷售量，因此參數(shù) a, b, c 難以給出估計(jì)值, 只能是虛擬數(shù)值 a=b=1000, c=4000.1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 表1

7、.2 列出了甲加油站降價(jià) 0.1元 , 0.2元, 0.3 元時(shí)乙站的最優(yōu)銷售價(jià)格。第9頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型表1. 2 乙加油站的最優(yōu)售價(jià)及其利潤(rùn)y x R(x,y) 3.9 3.65 2112.53.8 3.60 1800.03.7 3.50 1512.5 看過(guò)這個(gè)例子，我們給出數(shù)學(xué)模型和建模的基本概念（提法會(huì)不同，這里提供一種說(shuō)法而已，主要意義是一樣的）： 數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是以 解決某個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為目的, 做出一些必要的 簡(jiǎn)化和假設(shè), 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第10頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57

8、分，星期二數(shù)學(xué)模型作為一種模型，必須對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的現(xiàn)象作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，首先要忽略現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中與數(shù)量無(wú)關(guān)的因素，其次還要忽略一些次要的數(shù)量因素。正是由于這種原因，可以說(shuō)數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)關(guān)系式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)描述的一種假定情況。雖然說(shuō)是描述實(shí)際問(wèn)題，但與真實(shí)的實(shí)際問(wèn)題還是有一定差距的。1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模就是要建立特定實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，解出該模型的結(jié)果，并用此解釋實(shí)際問(wèn)題，或預(yù)測(cè)該實(shí)際問(wèn)題的未來(lái)狀況，或提供處理該實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)決策或控制。第11頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二最后還要指出, 數(shù)學(xué)建模的方法與其他抽象方法是不同的。它除對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的事

9、物、過(guò)程和現(xiàn)象進(jìn)行抽象, 還必須要用某種文字、符號(hào)、圖形、數(shù)學(xué)公式描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系,然后對(duì)它們進(jìn)行研究、分析、試驗(yàn), 并導(dǎo)出結(jié)論.這種結(jié)論是針對(duì)特定問(wèn)題的，其普遍性不如其他的抽象方法。1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型第12頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)驗(yàn)方法也不同：它不要求對(duì)事物過(guò)程或現(xiàn)象本身進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn), 只通過(guò)模擬這些事物過(guò)程和現(xiàn)象的模型進(jìn)行驗(yàn)證。其驗(yàn)證過(guò)程簡(jiǎn)易，成本極低。 正因?yàn)槿绱? 這種數(shù)學(xué)建模方法在解決實(shí)際問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用.1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型 我們已經(jīng)看到數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段. 那么,什么是

10、一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型呢? 一般說(shuō)來(lái),好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備以下特點(diǎn):1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型、1.2 建立完整的數(shù)學(xué)模型第13頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程(1) 對(duì)所給問(wèn)題有較全面的考慮。1) 列舉各種因素;2) 選取主要因素計(jì)入模型;3) 考慮其他因素的影響, 對(duì)模型進(jìn)行修正.(2) 在已有模型上進(jìn)行創(chuàng)造性的改造。(3) 善于抓住問(wèn)題本質(zhì), 簡(jiǎn)化變量之間關(guān)系。（與（1）相對(duì)）。 (4) 注重結(jié)果分析, 考慮其在實(shí)際中的合理性。 (5) 具有較好的穩(wěn)定性。第14頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)

11、程在了解數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)之后,下面我們給出建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟（七步法）:(1) 明確問(wèn)題(2) 進(jìn)行合理的假設(shè)(3) 建立模型。注意兩點(diǎn)：其一，先簡(jiǎn)單，后完善； 其二， 要善于借鑒已有問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.(4) 模型求解(5) 模型的檢驗(yàn)與修正(6) 用模型的結(jié)果回答問(wèn)題(7) 寫(xiě)報(bào)告、修改、打印、校樣工作第15頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程 建立數(shù)學(xué)模型的步驟（七步法）可以用下面的框圖表示:明確實(shí)際問(wèn)題 簡(jiǎn)化、假設(shè) 建立模型模型應(yīng)用 驗(yàn)證模型 模型求解寫(xiě)作報(bào)告也有人用下面的(五步法)歸納建模的步驟：明確實(shí)際問(wèn)題 簡(jiǎn)化、假設(shè) ，選擇 建模方

12、法回答問(wèn)題 求解模型 建立模型第16頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程 另外還有一個(gè)關(guān)于“七步法”的內(nèi)容提示的表格可以供參考：第一步 明確問(wèn)題要點(diǎn)：選題：根據(jù) 1、 難易度, 2、自己情況 ( 如建模知識(shí)、計(jì)算機(jī)能力、理解程度、背景).目的：確定研究問(wèn)題方法提示：簡(jiǎn)易模擬、分析法、經(jīng)驗(yàn)法等第17頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第二步 進(jìn)行合理的假設(shè)要點(diǎn)：識(shí)別問(wèn)題：已知是什么: 數(shù)據(jù)、關(guān)系、事實(shí)、各種因素包括題中沒(méi)有但相關(guān); 查詢問(wèn)題涉及知識(shí)、來(lái)源、信息， 它們可靠嗎? 它的各部分涉及的數(shù)學(xué):

13、內(nèi)容、算法/方法; 問(wèn)題存在什么樣的解答? 要求什么? 解答形式: 數(shù)據(jù)、圖形、關(guān)系、方法、決策等;能否用一例子去類比、模擬?目的：完成問(wèn)題的提出; 問(wèn)題的分析; 基礎(chǔ)假設(shè); 弄清問(wèn)題的特征、可能已有的模型; 掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法.方法提示：先簡(jiǎn)單, 后逐步深入, 化整為零,由初等到高等; 第18頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第三步 建立模型要點(diǎn)：擬定建模計(jì)劃：尋找最簡(jiǎn)單的模型/基于已有模型的推廣討論/圖解; 確定符號(hào)與單位, 比較模型與實(shí)際問(wèn)題, 識(shí)別并列出相關(guān)因素, 收集數(shù)據(jù);分析并給出所需的假設(shè), 草擬關(guān)系與方程; 選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)方

14、法進(jìn)行模型設(shè)計(jì).目的 ：建立數(shù)學(xué)模型：按某種規(guī)律建立起變量、參數(shù)間明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題.方法提示： 特殊方法(應(yīng)有重點(diǎn)), 常規(guī)方法.第19頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第四步 求解模型要點(diǎn)：求解模型：試用已學(xué)過(guò)的初等/高等數(shù)學(xué)方法; 試用了解的應(yīng)用數(shù)學(xué)/離散數(shù)學(xué)/統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法; 試用計(jì)算數(shù)學(xué)作數(shù)值計(jì)算/近似計(jì)算; 試用軟件包/編程計(jì)算.目的：給出解法和結(jié)果：數(shù)據(jù)、表格、圖形、函數(shù)、公式.方法提示： 用各種數(shù)學(xué)方法和算法, 各種數(shù)學(xué)軟件包(Math, MathCAD, Mathcai, SPSS, MatLab, Lindo 等 ).第20頁(yè)，共

15、58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第五步 模型的檢驗(yàn)與修正要點(diǎn)：翻譯數(shù)學(xué)解：檢查結(jié)果和計(jì)算的可靠性? 合理性? 在給定假設(shè)下, 是你所希望的最好 解嗎? 它全部的實(shí)際意義是什么?目的：描述 數(shù)學(xué)解的實(shí)際意義。方法提示： 直譯/具體數(shù)據(jù)代入/分情況分條件。第21頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第六步 對(duì)模型的評(píng)價(jià)要點(diǎn)：檢驗(yàn)、改進(jìn)、推廣：1. 檢驗(yàn): (1) 穩(wěn)定性和靈敏度分析; (2) 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析; (3) 新舊模型的對(duì)比; (4) 實(shí)際可行性檢驗(yàn).2. 改進(jìn): (1) 能最大限度的降低數(shù)學(xué)復(fù)

16、雜性; (2) 能更符合實(shí)際? (3) 考慮次要因素對(duì)結(jié)果的影響? (4) 考慮部分重要的偶然因素的影響?第22頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程3. 推廣: (1) 普適性; (2) 對(duì)數(shù)據(jù)的依賴性減弱;4. 評(píng)價(jià): (1) 準(zhǔn)確性; (2) 實(shí)用性; (3) 方法的創(chuàng)造性; (4) 與優(yōu)秀論文標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)照.目的: (1) 模型的正確性; (2) 尋求更好的模型; (3) 若不滿足題意, 轉(zhuǎn)第2步; (4) 模型的優(yōu)缺點(diǎn).方法提示：直觀檢驗(yàn)法, 預(yù)測(cè)方法、隨機(jī)數(shù)學(xué)、層次分析法、統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)等.第23頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)

17、57分，星期二1.2 一個(gè)完整的建模過(guò)程第七步 寫(xiě)報(bào)告、修改、打印、校樣工作要點(diǎn)：寫(xiě)報(bào)告、打印論文。（對(duì)競(jìng)賽要非常重視這一步的重要性）目的：完成論文及校樣,。方法提示：注意格式的規(guī)范性，文章的條理性，重點(diǎn)突出使得一目了然；排版軟件（如WORD、Latex）的正確使用等。我們要求一律用Office2003及其自帶的公式編輯器。第24頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二摘要是評(píng)閱人讀到的第一段信息。它應(yīng)該寫(xiě)得很好，并且包括答案或結(jié)果的概要。它應(yīng)該能激起評(píng)閱人想去念你們的文章，看看你們是怎樣得到結(jié)果的。評(píng)閱人對(duì)摘要置以很大的權(quán)重，有時(shí)候獲獎(jiǎng)?wù)撐暮推渌撐牡膮^(qū)別就在于摘要的質(zhì)量。

18、為了寫(xiě)好摘要，試設(shè)想一下：評(píng)閱人是根據(jù)你們的摘要來(lái)決定要不要去念你們的文章的主體的。 寫(xiě)好摘要 評(píng)閱人的評(píng)注第25頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二因此，摘要應(yīng)該清楚地陳述你們處理問(wèn)題的方法，并以最顯眼的方式陳述所得到的最重要的結(jié)論。要把“基本結(jié)果和經(jīng)營(yíng)管理方面的建議”放在摘要中。切記要簡(jiǎn)潔，不要把對(duì)所用的方法的討論包括在摘要中，也不要只是把你們所做的事情流水帳地列出。只是重述競(jìng)賽的試題或剪貼文章的引言的陳腐材料通常認(rèn)為是比較差的。寫(xiě)好摘要 評(píng)閱人的評(píng)注第26頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二評(píng)閱重點(diǎn)：寫(xiě)作模型方法結(jié)果將模型、方法、結(jié)果這三個(gè)主要

19、部分的分?jǐn)?shù)分配到各個(gè)子問(wèn)題第27頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 下面我們給出一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用上面所指出的過(guò)程去建立數(shù)學(xué)模型, 重點(diǎn)是“如何作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)”, “用數(shù)學(xué)語(yǔ)言確切地表述實(shí)際問(wèn)題”, 以及“怎樣用模型的結(jié)果解釋實(shí)際現(xiàn)象”。題目：建立雨中行走的數(shù)學(xué)模型1 問(wèn)題的提出與分析 這是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，它沒(méi)有任何數(shù)據(jù)。我們需要按照第一、第二步的提示，采用恰當(dāng)?shù)姆椒?，合理地描述（提出）、分析、識(shí)別這個(gè)問(wèn)題。第28頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例問(wèn)題的提出： 在雨中未帶雨傘行走, 顯然盡可能

20、快的走, 減少淋雨時(shí)間才能少淋雨。 如果考慮降雨方向的變化, 在全部距離上快跑不一定是最好策略。 我們討論如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。問(wèn)題的分析： 這個(gè)問(wèn)題的實(shí)際背景比較簡(jiǎn)單,但要先分析出參與這一問(wèn)題的主要因素： 1. 降雨的大小; 2. 風(fēng)的方向, 也即降雨方向; 3. 路程的遠(yuǎn)近及你跑的速度.這個(gè)問(wèn)題的解答要求的是決策與數(shù)據(jù)。第29頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例為了建立本問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，要通過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，簡(jiǎn)化問(wèn)題，從最簡(jiǎn)單的情形入手，然后逐步深入討論。假設(shè)與符號(hào)(1) 降雨的速度(即雨滴下落速度)和降水強(qiáng)度保持不變;(2) 人在雨中沿一直

21、線從某地跑至目的地;(3) 以定常速度跑完全程;(4) 風(fēng)速、風(fēng)向始終保持不變;(5) 把人體看成是一個(gè)長(zhǎng)方體物體。第30頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例D (米)雨中行走的距離 ,t (秒)雨中行走的時(shí)間,v (米/秒) 雨中行走的速度;h (米)行人的身高,w (米)行人的寬度,d (米)行人的厚度;C (升)身上被淋的雨水總量,I (厘米/時(shí))降雨的大小即降水強(qiáng)度(單位時(shí)間平面上的降下雨水的厚度, 由雨滴密度和降雨速度決定).第31頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例3 建模與求解（通過(guò)第三、四、五步

22、的提示建立數(shù)學(xué)模型、求解、翻譯數(shù)學(xué)解）(1) 模型一：簡(jiǎn)單模型 首先討論最簡(jiǎn)單情形, 即不考慮降雨角度的影響, 也就是說(shuō)行走過(guò)程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水.注意：在建立模型時(shí)，特別要重視取值單位的一致性，還要區(qū)分不變的量（常量），與可以用來(lái)調(diào)節(jié)、分析的量（變量）。第32頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 在以上的假設(shè)中，身體尺寸是不變的, 從而身體被雨淋的面積 S=2(wh+dh)+wd (m2)是不變的； 行走的距離 D（米）和降水強(qiáng)度 I（厘米/時(shí)） 也是不變的, 它們可認(rèn)為是問(wèn)題的參數(shù)。而雨中行走的速度 v （米/秒） 及雨中行走的時(shí)間

23、 t=D/v （秒）是問(wèn)題中的變量?？紤]了各參量取值單位的一致性后, 可以得到在整個(gè)雨中行走期間整個(gè)身體被淋的雨水總量是 C=t(I/3600) S0.01 （m3） =(D/v) (I/3600) S10 (升)（厘米0.01m, 0.01（m3）10（升）第33頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 模型中的參數(shù)可通過(guò)觀測(cè)和日常調(diào)查資料得到. 當(dāng)降水強(qiáng)度 I 給定時(shí), 從上述表達(dá)式可以看出, 被淋在身上的雨水總量與雨中行走速度成反比 現(xiàn)在問(wèn)題中假設(shè): D =1000米, h =1. 50米,W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/

24、小時(shí)）. 如果一個(gè)人在雨中以可能最快的速度 v =6（米/秒） 向前跑, 則他在雨中行走時(shí)間為 t =167（秒）, 身上被淋的雨水總量是 C=167(2/3600) S 10=2.041 (升)其中 S=2. 2 (m2) 是身體被雨淋的面積. 第34頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例結(jié)果分析： 行人在雨中僅跑了 2 分 47 秒, 身上卻淋了 2 升的雨水 （ 約 4 酒瓶水）， 這是不可思議的。表明這個(gè)模型用來(lái)描述雨中行走被雨淋濕的狀況不太符合實(shí)際情。 如果淋雨面積只有身體的上方，即 S=0.50.2=0.1（m2），則淋雨總量為 C=167(

25、2/3600) S 10=0.093 (升)只有不到 2 兩（一小酒杯）的水，又太少了.第35頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 按建模程序, 需回到對(duì)問(wèn)題所作的假設(shè), 考慮這些假設(shè)是否合理。我們發(fā)現(xiàn)沒(méi)重視降雨角度的影響和速度與降雨強(qiáng)度的關(guān)系，把問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單化了.下面考慮降雨角度并分解降雨強(qiáng)度為“雨滴密度與速度的乘積”：設(shè)降雨的角度（雨滴下落的反方向與行人前進(jìn)方向之間的夾角）；r (米/秒)雨滴下落的（徑向）速度;p雨滴的密度（降雨強(qiáng)度系數(shù)）, 它表示在某一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)由雨滴所占據(jù)的空間的比例數(shù)；于是有 I=pr, 顯然 p1，p 較大

26、時(shí)，意味著大雨傾盆.第36頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2) 模型二：迎面雨模型（圖1.1） 因?yàn)橛晁怯娑鴣?lái)落下的, 由經(jīng)驗(yàn)知道, 這時(shí)被淋的部位僅是行人的頂部和前方, 因此淋在身上的雨水分為兩部分計(jì)算.hwd在時(shí)間 t=D/v 內(nèi)淋在頂部的雨水量為C頂=(D/v) w d ( pr sin).前方表面被雨水淋到的量為C前=(D/v) w h p(r cos+v).圖 1-1第37頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例這樣在整個(gè)行程被淋雨水的總量是寫(xiě)成于是，對(duì)于迎面雨（即 0=90o）, C 是 v

27、的減函數(shù), 只有當(dāng)速度取可能的最大值時(shí) C 達(dá)到最小。第38頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 仍然沿用前面采用的參數(shù)值, 即在問(wèn)題中已假設(shè):D =1000米, h =1. 50米, W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/小時(shí)）. 如果進(jìn)一步假設(shè)落雨速度是 r=4 (米/秒), 由降雨強(qiáng)度 I=2 (厘米/小時(shí)), 可估算出它的強(qiáng)度系數(shù) p=1.3910-6.把這些參數(shù)值代入上式可以得到：如果一人在雨中以可能最快的速度 v=6（米/秒） 向前跑, 則他在雨中行走時(shí)間為 t=167 (秒), 考慮在兩種情況下身上被淋的雨水總量：第

28、39頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例(1) =90o . 在這種情形下雨滴是垂直落下,由上述模型可得 即若行人以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量為 1.135 (升).問(wèn)題：這里同樣沒(méi)有考慮降雨的角度，所得結(jié)果與模型一完全不同，為什么？第40頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2) =60o . 雨滴迎面向身上落下. 這時(shí) 此人同樣以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量為 1. 47 (升). 當(dāng) 90o180o . 雨滴從后面向身上落下，上面的模型已經(jīng)不適用，建立另外的模型如下：第41頁(yè)，共58頁(yè)，

29、2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2) 模型三：背后雨模型回到開(kāi)始的建模過(guò)程. 如圖1-2：將速度分成兩種情況.情況1：考慮 vr sin時(shí), 即在雨中行走速度快于雨滴的水平速度2米/秒, 這時(shí)雨水將淋在胸前.圖1-2第42頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例情況1： v r sin圖1-2第43頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例 采用數(shù)據(jù)：r=4, p=1.3910-6, D=1000, w=0.5, d=0.2, h=1.5 得情況1： v r sin1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例注

30、意到：情況2中，當(dāng) tan0.133, 7.59o時(shí)淋雨量與前進(jìn)速度成正比下面做數(shù)據(jù)試驗(yàn)：取 =120o, 即 =30o 角，雨從后面落在人的背上.第45頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例情況1： v r sin，例如人以 v =6（米/秒） 的速度奔跑，淋在全身的雨水總量應(yīng)為 第46頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)57分，星期二1.3 數(shù)學(xué)建模實(shí)例我們發(fā)現(xiàn)，模型三仍存在明顯的問(wèn)題：（i）情況1中，當(dāng)人以 v = r sin速度向前行進(jìn)時(shí)，C后=0. 即只有上面淋雨，人的前面不淋雨合理嗎？（ii） 情況2中，當(dāng) tan0.8/6 時(shí)，淋雨量與速度成反比， 所以讓速度剛好等于落雨速度的水平分量，即 v = r sin，于是 C前=0， 即只有上面淋雨，合理嗎？從這些問(wèn)題得到啟示，模型三需要改進(jìn)！問(wèn)題在于我們沒(méi)有從正體上考慮下雨的速度，而只是微局部地考慮雨點(diǎn)的速度。第47頁(yè)，共58頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)5