高中數(shù)學(xué)平面空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 ,向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量：長度為 0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量（相等向量：長度相等且方向相同的向量uuu r uur r r uuu unr uuur(1)0 a a uuu uur uur AB BC CD3、向量的減法：2、向量加法：設(shè) AB a,BC b,則 a+b=AB BC (1)0 a a uuu uur uur AB BC CD3、向量的減法：a , （2）向量加法

2、滿足交換律與結(jié)合律；uLir uur uuuPQ QR AR，但這時(shí)必須“首尾相連”.a的相反向量,相反向量：與a的相反向量,向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量 a的積是一個(gè)向量，記作入 a,它的長度與方向規(guī)定如下：（I） a a ; （n）當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng) 0時(shí)，a5、兩個(gè)向量共線定理：向量6相反；當(dāng) 0時(shí)，a5、兩個(gè)向量共線定理：向量6、平面向量的基本定理：有一對(duì)實(shí)數(shù) 1，2使：a0,方向是任意的，b與非零向量a共線有

3、且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b =如果e,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量ieia,有且只2e2,其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.平面向量的坐標(biāo)表不i.平面向量的坐標(biāo)表不i平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量rra可表不成ar r rxiyj ,記作 a=(X,y)。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:rXi, yi ,bX2,y2(2)Xi, yi , B X2, y2,則 uuu ABX2XiX2, y2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:rXi, yi ,bX2,y2(2)Xi, yi , B X2, y2,則 uuu ABX2XiX2, yi。丫2Viy2(4)r

4、右 a =(x,y),則rrr a=(X,y)a r ar aXi, yiXi，% r b ,則,br,bXiX2,y2X2，y2X2Viy2XiV2X2%XiX2Vi y2.平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為叫做a與b的數(shù)量積r21兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為叫做a與b的數(shù)量積r2向量的投影：I b,rb = I a I lb I cos（或內(nèi)積）I cos3數(shù)量積的幾何意義：4向量的模與平方的關(guān)系:5乘法公式成立：rrb R,稱為向量 r |a| b等于r rb在a方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影.r， r , r、，曰，一a

5、的長度與b在a方向上的投影的乘積.a2b2a2r r2a bb2b ;r r2a b6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：r r r r交換律成立：a b b a TOC o 1-5 h z rrr rrr對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:aba babR對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:分配律成立:，-，、，人八一 ，、 r r r r r r特力1J注息：（1）結(jié)合律不成立： a b c a b c ;一八 ,r,rr r 八日，Jr（2）消去律不成立aba c不能彳#到bcrr r r（3）a b=0不能彳#到a=o或b =07兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：rrr rr r180）叫做向量a與b的已知兩個(gè)向量 a （x1, Y1

6、）, b （x2,y2）,則 a b =x1r r180）叫做向量a與b的r ruu1r uuu rn8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b,作OA = a, OB =b ,則/ AOB= （ 00夾角r rcos =cos a,b 密一 xix2 yiy2r一、，a與b反方向時(shí)。r=1800,同時(shí)0與其它任何非零向量幽b|/xi2r一、，a與b反方向時(shí)。r=1800,同時(shí)0與其它任何非零向量當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，9 =00,當(dāng)且僅當(dāng)之間不談夾角這一問科,rr9垂直：如果a與b的夾角為90。則稱a與b垂直，記作a x b10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a - b =Ox1a - b

7、 =Ox1x2y1y20 .平面向量數(shù)量積的性質(zhì)空間向量與立體幾何1、空間向量及其運(yùn)算：r r r rr r（1）空間中的平行（共線）條件： a/b b 0 x R,a xbr r r r rr r（2）空間中的共面條件：a,b, c共面（b,c不共線）x, y R, a xbuuuruuuuum推論：對(duì)于空間任一點(diǎn) O和不共線三點(diǎn) A、空間向量與立體幾何1、空間向量及其運(yùn)算：r r r rr r（1）空間中的平行（共線）條件： a/b b 0 x R,a xbr r r r rr r（2）空間中的共面條件：a,b, c共面（b,c不共線）x, y R, a xbuuuruuuuum推論：對(duì)于

8、空間任一點(diǎn) O和不共線三點(diǎn) A、B、C, OP xOA yOBryc uur zOCx y z 1 ,則四點(diǎn)O、A、B、C共面r r r（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量in r r rp xa yb zc(4)r右a r a空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算r,bX, y1, 4乂2)2,4，則：r ra b x1x2X 乂2，%丫2，4Z2V1V2Z1Z2注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；注2:空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：uuu uum證明 證明 證明 證明AB/CD ，即證明 AB/CDABAB/AB證明兩平面uuur

9、uuurCD ,即證明AB CD（平面）（或在面內(nèi)），即證明uuuruuuAB垂直于平面的法向量或證明 uuuuuuAB與平面內(nèi)的基底共面;,即證明AB平行于平面的法向量或證明 AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量;/（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。3、空間向量在立體幾何求值中的應(yīng)用:異面直線AB和CD的成 角cos1 .uuur uum； cos(AB, CD)0G直線AB和平囿 的成 r角（n為平面的法向量）sincos(uiur r iAB，n)0，2平囿 與平囿 的

10、成角ITuu（叫，n2分別為兩平cos/1陶或 cosco“,n：）（需具體分析取哪一個(gè)）0,2 / 91 uuuCA 3uuuCB ,則A.B.C.1 uuuCA 3uuuCB ,則A.B.C.D.2009 年6.已知向量a2,1 ,a b 10,|a b|5五，則|b| (A. 5B. 10C.5D. 25面的法向量)r點(diǎn)A到平面 的距離(n 為平面的法向量)duum r AB n lnl(其中點(diǎn)B為平面內(nèi)任意一點(diǎn))直線 AC平面 (AC/ )的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面 的距離平面與平面r(/ )的距離(n為平面的法向量)轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點(diǎn)到平面 的距離異面直線AB和CD的距 r離(n為既垂直于

11、AB也垂直于CD的向量)duu (A(uuir rAq nJC可以手uuu uuu uuur甘AD , BC , BD ,即兩直線上分別取一點(diǎn))坐標(biāo)形式下：兩點(diǎn)間距離公式uuu r r r空間兩點(diǎn)P, Q的距離基底形式下：若 PQ表示成xei ye2 ze空間兩點(diǎn)P, Q的距離unrrrr2PQ J xei ye2 ze3平面向量真題集訓(xùn)2004 年(9)已知平面上直線l的方向向量e ( 3),點(diǎn)0(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是 Oi和Ai,則01A1= e, 5 5 TOC o 1-5 h z 其中 =()11ii(A) ?(B) ?(C) 2(D) 2552005 年 HYP

12、ERLINK l bookmark16 o Current Document 8.已知點(diǎn)A(V5, 1) , B (0, 0) C (后，0).設(shè)/BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有 而一國其利等于() HYPERLINK l bookmark18 o Current Document A. 2 B. 2C. -3D. -5rr 2006 步 r(1)(文)已知向量a=(4,2),向量b=( x, 3),且：1則x=()(A) 9(B)6(C)5(D)32007 年uuir uuir uuir5.在 ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若 AD 2DB,CD2010 年ULT(8) zXAB

13、C 中，點(diǎn) D2010 年ULT(8) zXABC 中，點(diǎn) D在 AB 上，CD 平方 ACB .若 CB a，,12(A a -b332 a31b 334 a b55uirCA b, a 1 ,43 a b55uuu2,則 CD2011 年T(3)設(shè)向量a、T(3)設(shè)向量a、.2rb滿足3，貝U a 2b2,5利用向量法解決立體幾何問題基本知識(shí)回顧向量平行，垂直的坐標(biāo)表示：平行 X1y2-X2y1=0,垂直X1X2+y1y2=0直線的方向向量：1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向UdU0圖1,在空間直角坐標(biāo)系中，由A(x1,y1,z1而B(x2,y2,z

14、2)ft定的直線AB的方向向量是：ab(x x，y y，z z)平面的法向量：如果表示向量 n的有向線段所在的直線垂直于平面a，稱這個(gè)向量垂直于平面a ，記作n, a，這時(shí)向量n叫做平面a的法向量.在空間直角坐標(biāo)系中，如何求平面法向量的坐標(biāo)呢？設(shè)a=( x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2)H平面a內(nèi)的兩個(gè)不 共線的非零向量，由直線與平面垂直的判定定理知，若n，a且n，b,則n a .換句話說，若n a = 0且 n - b = 0則 n a求平面法向量的基本步驟：第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n - a = 0且n b = 0可列出方程組第三

15、步(解):把z看作常數(shù)，用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好)，便得到平面法向量n的坐標(biāo).(一).判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系，不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b.若 a/ b,即 a= X b,則 a/ b.若 ab,1P a - b = 0則 ab(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面a的法向量為n,若a / n,即a =入n,則l, a若 an,1P a - n = 0,則 a / a .(3)平面與平面的位置關(guān)系平面a的法向量為n1，平面B的法向量為n2若 n1 II n2,即 n1=入 n2,則 a

16、/ 0 若 n1 n2,1P n1 . n2= 0則 a p(二卜用向量解決距離問題兩點(diǎn)A, B間距離| AB |2由 AB AB AB2由 AB AB AB可算出；若 AB2a b ,則由數(shù)量積得AB22a b 2a b ,若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接用兩點(diǎn)間距離公式.點(diǎn)P到直線AB的距離過點(diǎn)P作直線AB的垂線PD ,垂足為D ,則由PD AB且點(diǎn)A,B, D共線得PD?AB 0,aD aB,解出D點(diǎn)后再求| PD |。異面直線a、b的距離可先設(shè)a、b的公垂線段EF （E a、F b）,可先設(shè)a、b的公垂線段EF （E a、F b）,再由垂直向量性質(zhì)得a EF 0,從而得到E、F的坐標(biāo)，最后算出

17、所求EF .點(diǎn)P到平面的距離h先設(shè)平面 的斜線為PA A ，再求 的法向量n ,運(yùn)用向量平移，不難得到推論“ h等PA n于PA在法向量n上的射影PA 2的絕對(duì)值”，即h ,最后由此算出所求距離.nn兩平行平面，之間的距離由平行平面間的距離定義知道， 平面 上任意一點(diǎn)A到 的距離就是 到 的距離，因此，我 們也可把到的距離轉(zhuǎn)化為A到的距離，運(yùn)用求點(diǎn)與面距離的方法來求。（三卜用向量解決角的問題兩條異面直線a、b間夾角在直線a上取兩點(diǎn)A、B,在直線b上取兩點(diǎn)C、D,若直線a與b的夾角為，則uuir uuurAB CDcos |cos AB,CD | 二。AB CD注意，由于兩向量的夾角范圍為 0

18、,180 ,而異面直線所成角的范圍為 090 ，若兩向量夾角 為鈍角，轉(zhuǎn)化到異面直線夾角時(shí)為180圖11圖12移得：若時(shí) （圖1 2）;若 22平間的法向量圖11圖12移得：若時(shí) （圖1 2）;若 22平間的法向量n是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，具.由n可知，要求得法向量n ,只需在平面圖1 3一時(shí)一（圖 1 3）.22是求直線與平聞所成角、求點(diǎn)到平向距離的必備工上找出兩個(gè)不共線向量a、b ,最后通過解方程可轉(zhuǎn)化成用向量a與平面 的法向量n的夾角 表示，由向由平已知二面角a l B , ni,n2分別是平面a和平面B的一個(gè)法向量，設(shè)二面角a l B的大小為8,規(guī)定00 8 &九，則n1,n2 （這里若

19、平面a的法向量是二面角的內(nèi)部指向平面a內(nèi)的一點(diǎn)，則平面B的法向量必須是由平面B內(nèi)的一點(diǎn)指向二面角的內(nèi)部，如圖 2-1,否則從二面角內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)向兩個(gè)半平面作法向量時(shí)，二面角ni,n2 ,如圖2-2）二面角 的大小 （如右圖），也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線AB二面角 的大小 （如右圖），也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線AB、CD（A、C ），從圖中可知：等于AB、CD所成的角.2004年一2012年云南省高考立體幾何解答題匯總2004 年20.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱 ABC-AiBG如圖，直三棱柱 ABC-AiBG中，/ACB=90 ,AC=1

20、 CB=/2 ,側(cè)棱AA=1,側(cè)面AABB的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D, BG的中點(diǎn)為M.（I ）求證CDL平面BDM（H）求面BBD與面CB兩成二面角的大小2005 年(18)(本小題滿分12分)在四棱錐V-ABCDK 底面ABCD1正方形，側(cè)面 VA皿正三角形，平面VADL底面ABCD(I )證明AB1平面VAD(H)求面VADf面VD昕成的二面角的大小.2006 年(19)(本小題滿分1 2分)如圖，在直三棱柱 ABC ABC中，AB BC,D、E分別為BB、AC1的中點(diǎn)。(I)證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；(II)設(shè)AA AC亞AB,求二面角A AD g的大小。2007 年19.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐S ABCD中，底面ABCD為正方形， 側(cè)棱SDL底面ABCD, E, F分別為AB, SC的中點(diǎn).(1)證明EF /平面SAD;EB(2)設(shè)SD