課件第二章2-5微分

1、又如,設(shè)函y x3在點x處的改變量為又如,設(shè)函y x3在點x處的改變量為x時求函數(shù)的改變量y (x0 x)3 x0 3x2 x3(x)2 (x)300當x 很小時(2)是x的高階無窮小o(x),y 3x2 既容易計算又是較好的近似值0=x)y =x)y Ax且它與y y Ax Ax是x是比 x所以,當A很小,且Ax 來代替 定義yf(x) 在點 定義yf(x) 在點 y AxA為不依賴于x的常數(shù)y f(x) x0 可微, 而 Ax f(x點x0 的微分記作dy 或df即dy (1) dy是自變量的改變量x的線性函數(shù)(2) ydyo(1) dy是自變量的改變量x的線性函數(shù)(2) ydyo(x)是

2、比x高階無窮小(3當A0時dy與y;1 (x A(4) A是與x無關(guān)的常數(shù), 但與f ( x)和x0有關(guān)(5)當x很小時y (線性主部定理: 函數(shù) y f(x) 在點 x0可微的充要條件且 A f (x0定理: 函數(shù) y f(x) 在點 x0可微的充要條件且 A f (x0y fx0處可導即dy f(x0證必要性y f(x) 在點 x0可微y f (x0 x) f (x0 Axy lim (Ao(x) x0 f(x0) 故 y f(x) 在點 x0的可導且定理: 函數(shù) y f(x) 在點 x0可微的充要條件且 A f (x0y f定理: 函數(shù) y f(x) 在點 x0可微的充要條件且 A f

3、(x0y fx0處可導即dy f (x0y f(x) 在點 x0的可導, y f)0 x0 y ( lim 0f (x0)x )f0f(x0)xx y 故f(x00時線性主dy f(x0即f(x0)x tandy f(x0)x tandy y 當x很小時yyf(x)xOxxddy xd什么思dyy xd什么思dy x)x 1x 由于 y x, d y dxdy f(x)dd f(x) f(x)d或有fx d有fx dydy f(xdx 時d微分dydx的商故哈哈！除法合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導公式dy f(dy f(求法d(x)d(C) d(sin x) cos xdx d(tanx)s

4、ec2d(secx)secxtand(cosx)sin d(cotx)csc2d(cscx)cscxcotd(ex)exdxd(lnx) 1d(ax)axln1dxd(ex)exdxd(lnx) 1d(ax)axln1dx) axd(arccosx)11d(arcsinx)1 1 11d(arctanx)d(arccotx)1 1 d(Cu)d(u) vdud(uv)dud(uv)vduvfx)f設(shè)函ydy fx)f設(shè)函ydy f(1) 若x是自變量時若x是中間變量時t的可即另一變量微函數(shù)x (t(t)dtdy f (x)(t則dy f(x是自變量還是中間變函無,y f ( x)2ylnxex

5、 ) , 求 例22122ylnxex ) , 求 例2212xe12xe解: y dy,22xexeye13cosx求例解dycosxd(e13x)e13xd(cos(e13x) 3e13x(cosx) sindycosx(3e13x)dxe13x(sine13x(3cosxsin例3ysinxcos(x y0求 例3ysinxcos(x y0求 解d(ysinx)d(cos(x y)sinxdy ycosxdxsin(x y) (dxdy) ycosxsin(xy) sin(x y) sin xdy C)cost d1 d(sinx2)( xcosx2)dxyf(sin2dy f(sin2

6、yf(sin2dy f(sin2x)f(sin2x)2sinxd(sin解sin2x f)(1) xe2)x(2)d2d(ln2 x)2lnx1ln x 1(1) d (2xx c)xd ( x 2x2xee212 222d)2 d(ln2 x)2lnx1ln x 1(1) d (2xx c)xd ( x 2x2xee212 222d)2 4 21(2dex e2e2e22d)2e4x22xex2 4 3.設(shè) y esinxsinf(arctan1), 其中 f(x)可微xdy sinexd(esin x3.設(shè) y esinxsinf(arctan1), 其中 f(x)可微xdy sinexd

7、(esin x)esin d(sinex f(arctan1)d(arctanxxesinx d(sinx)esinx cosex d(exsinex1f(arctan1)d(1)xx11)esinx(cosxsinex ex cosf(arctan1)12xd y d六微分在近似計算中的應用y f六微分在近似計算中的應用y f(x0)x很小時, 得近似等式y(tǒng) f(x0 x) f (x0) f(x0)x f (x0 x) f (x0 ) f (x0)xx x0 f(x) f(x0) f(x0)(xx0當f (x0 ), f(x0好算x與x0 靠近0 xf(x) f(0) f(x(1)0 xf(

8、x) f(0) f(x(1) (11f(x)(1令得f(0)(1x) 1f(0)x很小時(2) sinx x 1(5) ln(1x) (4) tanx 求 sin29D解設(shè) f(x) sinx30D 29 x29D 取 0求 sin29D解設(shè) f(x) sinx30D 29 x29D 取 06dx cos sin29Dsin 29)661 225例1(243解51235例1(243解51233(112)5 2df (u) f2df (u) f (u)du導數(shù)與微分的區(qū)別f (x0 1導數(shù)與微分的區(qū)別f (x0 1fx在點x0處的導數(shù)是一個定而微分dy fx0 x x0 是x的線性函數(shù)它定義域是R, 實際上, 它是無lim dyf(x0 )(x x0 xx2, fx0y fx) 點x0fx0dy fx0 x x0y fx) x0fx0 x0ex1e211e2xx )ex1e211e2xx )dtanx sec3dsin 1cos2x2)sin2xd3. y y(x) y3 sin3xy y(x) y3 sin3x6y 4. x0求y解: 方程兩邊求微分3x2d x3y2d y 3cos3xd x 6y 1 d 2當x0y0,y作1 3 (4) ,作1 3 (4) ,(7),(8),(9),(10) 4 8(1)9(2) 備用題11y arcs