一元二次方程根分布WORD含答案

1、優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔PAGEPAGE26優(yōu)選文檔PAGE一元二次方程根的分布一知識(shí)要點(diǎn)二次方程ax2bxc0的根從幾何意義上來說就是拋物線yax2bxc與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以研究方程ax2bxc0的實(shí)根的狀況，可從yax2bxc的圖象進(jìn)步行研究若在(,)內(nèi)研究方程ax2bxc0的實(shí)根狀況，只需觀察函數(shù)yax2bxc與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，依照鑒識(shí)式以及韋達(dá)定理，由yax2bxc的系數(shù)可判斷出x1x2,x1x2的符號(hào)，從而判斷出實(shí)根的狀況若在區(qū)間(m,n)內(nèi)研究二次方程ax2bxc0，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定1二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m,n)的充要條件若m,n其中一個(gè)是方

2、程的根，則由韋達(dá)定理可求出另一根若m,n不是二次方程ax2bxc0的根，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象有以下幾種可能：（1）a0,mx1nx2（2）a0,x1mx2nyyxnxx1mxm1O2xO2nx（3）a0,mx1nx2（4）a0,x1mx2nyymx1x2x1x2nnOmOxx由圖象可以看出，f(x)在xm處的值f(m)與在xn處的值f(n)符號(hào)總是相反，即f(m)f(n)0；反之，若f(m)f(n)0，f(x)的圖象的相對地址只能是圖中四種狀況之一所以得出結(jié)論：若m,n都不是方程ax2bxc0(a0)的根，記f(x)ax2bxc，則f(x)0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m,n)的充要條

3、件是f(m)f(n)02二次方程兩個(gè)根都屬于(m,n)的充要條件方程ax2bcc0(a0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于(m,n)，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖1象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)或相切于點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)或切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于m小于n，它的圖象有以下幾種狀況：（1）a0,mx1x2n（2）a0,mx1x2nyymOx2nxmx1x2Onxx1（3）mxxn（）a0,12a0,mx1x2n4yymx1x2O由此可得出結(jié)論：方程ax2bxc0(ab24ac0af(m)0af(n)0nmx1x2Onxx0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于區(qū)間(m,n)的充要條件是：mbn2a這里fxax2bxc()同理可得出：3二次方程ax2

4、bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間(m,n)的兩側(cè)（一根小于m，另一根大于n）的充要條件是：af(m)0af(n)0這里xax2bxcf()4二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根都在(m,n)的右側(cè)的充要條件是：b24ac0af(n)0bn2a2二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根都在(m,n)的左側(cè)（兩根都小于m）的充要條件是：b24ac0af(m)0bm2a這里f(x)ax2bxc二例題選講例設(shè)關(guān)于x的方程4x2x1b0(bR），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，談?wù)摲匠虒?shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。例已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)若.方程f(x)=x無實(shí)根

5、，求證：方程ff(x)=x也無實(shí)根例設(shè)A2,4)，Bxx2ax40，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3變式：已知方程x2+(3m-1)x+(3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于(-3,3)，且其中最少有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍例已知方程4x22(m1)x(2m3)0(mR)有兩個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍例求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x22(m1)x2m60（）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比?。ǎ┯袃蓚€(gè)實(shí)根,，且滿足014（）最少有一個(gè)正根4例已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的

6、范圍.變式：已知方程2x22(2a-1)x+a+2=0的兩個(gè)根在-3與3之間，求a的取值范圍例已知二次方程mx2(2m1)xm20的兩個(gè)根都小于1，求m的取值范圍5變式：若是二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)最少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.例已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，若是函數(shù)yf(x)在區(qū)間11，上有零點(diǎn)，求a的取值范圍二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于鑒識(shí)二次方程根的狀況，在其他的一些場合下也可以合適運(yùn)用下面再舉兩個(gè)例子：x+1例求函數(shù)y=的值域x2-3x+2(1x0,求證m2m(1)pf(m)0;1方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解。8參

7、照答案例解析：可用換元法，設(shè)2xt，原方程化為二次方程t22tb0，但要注意t0，故原方程有解其實(shí)不等價(jià)于方程t22tb0有解，而等價(jià)于方程t22tb0在(0,)內(nèi)有解別的，方程有解的問題也可以經(jīng)過參變分別轉(zhuǎn)變成求值域的問題，它的原理是：若關(guān)于x的方程af(x)有解，則af(x)的值域解：（1）原方程為b4x2x1，4x2x1(2x)222x(2x1)211，當(dāng)b1,)時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；2）當(dāng)b1時(shí)，2x1，方程有唯一解x0；當(dāng)b1時(shí)，(2x1)21b2x11b.2x0,11b0,2x11b的解為xlog2(11b)；令11b01b11b0,當(dāng)1b0時(shí),2x11b的解為xlog2(11b)；綜合

8、、，得1）當(dāng)1b0時(shí)原方程有兩解：xlog2(11b)；2）當(dāng)b0或b1時(shí)，原方程有唯一解xlog2(11b)；3）當(dāng)b1時(shí)，原方程無解。例證明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實(shí)根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實(shí)根即=(b-1)2-4ac0若a0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方，y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x對任意實(shí)數(shù)x恒成立。對f(x)，有f(f(x)f(x)x恒成立f(f(x)=x無實(shí)根若a0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方y(tǒng)0，即f(x)-x0恒成立對任意實(shí)數(shù)x，f(x)0恒成立對實(shí)數(shù)f(x)，有

9、：f(f(x)f(x)x恒成立f(f(x)=x無實(shí)根綜上可知，當(dāng)f(x)=x無實(shí)根時(shí)，方程f(f(x)=x也無實(shí)根例解析：觀察到方程x2ax40有兩個(gè)實(shí)根，故此題不如用求根公式來解決9解：因x2ax40有兩個(gè)實(shí)根aa2，x2aa2x1444，224故BA等價(jià)于x12且x24，即a4a22且a4a24，2424解之得0a3變式：解：原方程即為(x+1)(x+3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1,2-3m，而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足-32-3m3-153m3.例解：依題意有4(m1)244(2m3)0(m1)0m112m30例解：設(shè)yf(x)x202(m1)x2m6，得m（）依

10、題意有f(2)，即44(m1)2m601（）依題意有f(0)2m60f(1)4m50解得：f(4)10m140（）方程最少有一個(gè)正根，則有三種可能：75540m1或m5有兩個(gè)正根，此時(shí)可得f(0)0，即m33m12(m1)0m12f(0)0，得m3有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得有一個(gè)正根，另一根為，此時(shí)可得62m0m32(m1)0綜上所述，得m1例解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，則10m12f(0)2m10,R,f(1)20,m51，1,mf(1)4m20,m62f(2)6m5025m6實(shí)數(shù)m的范圍是(5,1).62f(0

11、)0,f(1)0,(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組0,0m11,2m11,-2018+6(2a-1)+a+20f(3)018-6(2a-1)+a+202a-12a-1-323-323143-213+2126-13m4或4m0(1)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在0(2）當(dāng)m0時(shí)，則3m解得0m10m綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.例解析1：函數(shù)yf(x)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，即方程上有解，y軸兩側(cè)，吻合題意.f(x)2ax22x3a=0在-1，1a=0時(shí)，不吻合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解f(1)f(1)0或12af(1)0a

12、f(1)037或a537或a1.48a(3a)01a5或aa1221.1a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a37或a1.2解析2：a=0時(shí)，不吻合題意，所以a0,又f(x)2ax22x3a=0在-1，1上有解，(2x21)a32x在-1，1上有解12x21在2x2a32x-1，1上有解，問題轉(zhuǎn)變成求函數(shù)y1，1上的值域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則2x3t，3-122x1(tt1,5,y1(t3)276)，2t2t設(shè)g(t)t7.g(t)t27，t1,7)時(shí)，g(t)0，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，t(7,5時(shí)，g(t)0,tt2此函數(shù)g(t)單調(diào)遞加，y的取值范圍是73,1，f(x)2ax22x3a=0

13、在-1，1上有解173,1a1或a327。a例解：原函數(shù)即為y(x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0,由題意，關(guān)于x的方程在(1,2)上有實(shí)根易知y0,令f(x)=yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)=-20,f(2)=-30，所以方程在(1,2)上有實(shí)根當(dāng)0且僅當(dāng)3y+1，解得y-5-26.12y2原函數(shù)的值域?yàn)?-,-5-26.例10解：以(0,0),(1,1)為端點(diǎn)的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得：x=2x2-mx+m即2x2-(m+1)x+m=0,由題意，方程在區(qū)間(0,1)上有實(shí)根，令f(x)=2x2-(m+1)x+m，則當(dāng)且僅當(dāng)0m2-6m

14、+10m+1f(0)f(1)0或041m0或-1m0m0f(1)0故m的取值范圍為(-,0)(0,3-22.牢固練習(xí)m-41解：易知x1=-1是方程的一個(gè)根，則另一根為x2=3m-1，所以原方程有且僅有一個(gè)實(shí)m-44m-5根屬于(-1,1)當(dāng)且僅當(dāng)-103m-105m-42m+33，3m-11，即m43m-1-10m的取值范圍為(-,-352)(4,+).132解：令t2x，當(dāng)x(,1)時(shí)，t(0,2)由于t2x是一一照射的函數(shù)，所以x在(,1)上有兩個(gè)值，則t在(0,2)上有兩個(gè)對應(yīng)的值所以方程由（1）得：由（2）得：由（3）得：由（4）得：mt2(2m1)tm0在（0，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，其充要條件為(2m1)24m20(1)m20(2)m(9m2)0(3)2m12(4)02m1，4m0，2m0或m，91m6221219m，即m的取值范圍為(,)4943解：設(shè)f(x)=(2m1)x22mx(m1)，由于f(x)是二次函數(shù)，所以2m+1，0即m1-2.3f(x)=0在（1，2）上有且僅有一個(gè)實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)f(1)f(2)