理論力學(xué)教具DIY系列(四)一個(gè)教具的受力分析與討論

1、理論力學(xué)教具DIY系列（四）個(gè)教具的受力分析與討論受力分析是理論力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，而多 點(diǎn)摩擦問題是其中的難點(diǎn)。在目前的教學(xué)安排中，靜 力學(xué)有少量求解多點(diǎn)摩擦的習(xí)題，學(xué)生可以畫圖、列 出方程并求解；但是在動(dòng)力學(xué)中，幾乎沒有涉及多點(diǎn) 摩擦的習(xí)題，而且也不要求解方程。一個(gè)實(shí)際問題如何簡化為力學(xué)模型、如何分析 列出方程、如何求解、如何驗(yàn)證，是工科學(xué)生必需 掌握的基本技能。當(dāng)然一門課程不可能教會(huì)學(xué)生處 理實(shí)際問題的所有環(huán)節(jié)或流程，但在適當(dāng)?shù)那闆r下 讓學(xué)生了解這一過程，讓部分感興趣的學(xué)生深入探 究，還是有可能的。因此我在教學(xué)中有意識地設(shè)計(jì) 了一些教具，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)分析處理一個(gè)“完整問 題”問題的簡化

2、、分析、計(jì)算、制作模型驗(yàn)證。1實(shí)際問題：一個(gè)小巧的力學(xué)演示裝置這是一個(gè)專門設(shè)計(jì)的裝置（圖1），利用激光切割 后，加上減速電動(dòng)機(jī)、電池和開關(guān)，就可以拼裝出一 個(gè)爬行裝置，且裝置尾巴長度可調(diào)（圖2）。圖1爬行裝置的設(shè)計(jì)圖圖2實(shí)際的爬行裝置為了突出“完整問題”的分析過程而不陷入復(fù) 雜的計(jì)算，可以通過調(diào)整重心位置讓裝置在平面內(nèi) 運(yùn)動(dòng)。觀察發(fā)現(xiàn)，裝置的運(yùn)動(dòng)狀況依賴于它的尾長: 短尾時(shí)輪子一部分時(shí)間打滑，一部分時(shí)間不打滑，裝 置前進(jìn)得比較慢；長尾時(shí)輪子不打滑，前進(jìn)得稍快 些。定性解釋很容易：尾長影響重心相對位置，導(dǎo)致 尾部和輪子處的壓力不同。尾短時(shí)重心靠近尾部，輪 子處壓力小會(huì)打滑；尾長時(shí)重心靠近輪子，輪

3、子處壓 力大不會(huì)打滑。但是具體分析計(jì)算就復(fù)雜得多，輪子旋轉(zhuǎn)時(shí)，輪 子和尾部受到的壓力、摩擦力與裝置的加速度和角 加速度有關(guān)，不容易直觀判斷哪一點(diǎn)會(huì)打滑。為了進(jìn) 行具體的分析計(jì)算，首先就需要建立一個(gè)力學(xué)模型。2力學(xué)模型：如何合理簡化？設(shè)OXY是地面參考坐標(biāo)系，Cxy是隨體坐標(biāo) 系，C是裝置主體（不包輪子）的質(zhì)心，任意時(shí)刻，尾 巴A和輪子邊緣B接觸地面。裝置的幾何尺寸參數(shù)為：尾巴長度Q1 ；質(zhì)心距離尾部如，距離底部hi, 軸心O1距離尾部+。3，距離底部h ；輪長為l(3)xoi = xC + a3 cos a (h2 h1) sin ayoi = yc + a sin a + (h2 h1) c

4、os a(3)(圖 3) oxb = xoi + l sin Q yb = yoi l cos 8(4)圖3裝置的力學(xué)模型圖3裝置的力學(xué)模型(2)裝置分為兩部分，主體和輪子。設(shè)主體質(zhì)量為 mi，輪子質(zhì)量為m2；主體質(zhì)心C的坐標(biāo)為xc，yc； 車身俯仰角度為a (繞z軸)；觀察發(fā)現(xiàn)車輪以勻角 速度曲順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)t時(shí)刻8 = n/3 - !ot，因此 8 2 (-冗/3,n/3)為某輪接觸地面時(shí)的角度范圍。由 于A, B始終接觸地面，可以得到a與輪子轉(zhuǎn)角8 的關(guān)系，根據(jù)軸心Oi距離水平面的高度，有(a1 + a2 + a3) sin a + h2 cos a = l cos 8(1)從式解出a，

5、求導(dǎo)后a、a也都已知。類似可以 得到y(tǒng)c, yoi與a或8的關(guān)系。為了保證裝置能正常運(yùn)動(dòng)，輪子長度需要滿足 2個(gè)條件：l cos(n/3) h2，保證輪子總能接觸地 面；(2)輪子不能太長，保證重心總落在A、B之間, 否則裝置會(huì)翻倒。3數(shù)學(xué)模型裝置在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，涉及的運(yùn)動(dòng)參數(shù)有 xc，yc，a，力參數(shù)有Fa，NA，F(xiàn)b, Nb。注意到 裝置中A、B兩點(diǎn)接觸地面，哪點(diǎn)會(huì)打滑是多點(diǎn)摩 擦問題中的難點(diǎn)。通常假設(shè)某點(diǎn)不打滑，然后得到計(jì) 算結(jié)果，再判斷結(jié)果是否合理。在本問題中，存在三 種模式。3.1模式一(假設(shè)A不動(dòng)，B打滑)設(shè)t時(shí)刻A點(diǎn)坐標(biāo)xa(t) = xA，yA = 0已知, 根據(jù)圖3,其他各點(diǎn)

6、的坐標(biāo)為xc = xA + (ai + a2) cos a hi sin ayc = (ai + a2) sin a + hi cos a相應(yīng)各點(diǎn)速度、加速度都可以求出，從而各點(diǎn)的位 置、速度、加速度都是已知函數(shù)。根據(jù)受力圖(圖4)，利用動(dòng)靜法，可以列出X 和Y方向力的平衡方程、B點(diǎn)打滑的摩擦力補(bǔ)充方 程、對A點(diǎn)力矩的平衡方程，為mi xc m2 xoi Fa + Fb = 0 mi yc m2 yoi + Na + Nb 一mi g m2 g = 0Fb = Nb Jia + nb xab mi(g + yc )xac 一m2 (g + yoi )xaoi + mi xc yc+ m2 xo

7、i yoi = 0圖4裝置的受力分析這時(shí)方程(5)中所有的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)都是已知量, 因此是代數(shù)方程，容易解出。解出后要驗(yàn)證是否滿足(1)所有壓力、摩擦力 均大于0； (2) Fa 6 N 是否成立。如果條件都滿 足，說明模式一假設(shè)成立(A不動(dòng)，B打滑)，然后對 t + At時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算；否則說明模式一不成立，轉(zhuǎn)入 模式二。3.2模式二(假設(shè)B不動(dòng)，A打滑)設(shè)t時(shí)刻B點(diǎn)坐標(biāo)xb(t) = xB，yB = 0已知, 根據(jù)圖3,其他各點(diǎn)的坐標(biāo)為xoi = xB l sin 8； yoi = l cos 8(6)xc = xoi a3 cos a + (h2 hi) sin a (7) yc = yoi

8、 a3 sin a (h2 hi) cos a IxA = xc (ai + a2) cos a + hi sin al(8) yA = yc (al + a2) sin a hi cos a相應(yīng)各點(diǎn)的速度、加速度都可以求出，從而各點(diǎn)的位 置、速度、加速度都是已知函數(shù)。所有壓力、摩擦力均大于0；Fa 6 N，F(xiàn)b 6g 是否成立。如果條件都成立說明假設(shè)模式三成根據(jù)受力圖（圖4），利用動(dòng)靜法，系統(tǒng)方程為 立（A和B都打滑），然后對t +追時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算;mi xc m2 xoi Fa + Fb = 0 m yc m2 yoi + Na + Nb 一m1 g m2 g = 0Fa =舊Na& NA

9、xAB + m1 (g + yC )xCB + m2 (g + yoi )xoiB + mi xc yc+ m2 xoi yoi = 0方程（9）也是代數(shù)方程，解出后要驗(yàn)證是否滿足 所有壓力、摩擦力均大于0；Fb 6 Nb是否 成立。如果條件都滿足，說明假設(shè)模式二成立（B不 動(dòng)，A打滑），然后對t + At時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算；否則說 明模式二不成立，轉(zhuǎn)入模式三。3.3模式三（假設(shè)A、B均打滑）在這種模式下xc，xoi成為未知量，利用運(yùn)動(dòng) 學(xué)關(guān)系把xoi用xc表示，因此得到一組微分代數(shù) 方程（mi + m2）xc + Fa Fb = fi （a；如 a）Na + Nb = f2 （a； a； a）（m

10、iyc + m2yoi）xc Naxab = fs（a； a； a）（1。）Fa INa = 0Fb iNb = 0方程（10）中fi, f2, f3是a, a, a的函數(shù)，5個(gè)方程5個(gè)未知數(shù)，可以求解。求解結(jié)束后要驗(yàn)證是否滿足 否則說明公式或程序中可能存在錯(cuò)誤，要返回檢查。 但是如何求解微分代數(shù)方程，需要一些技巧，在 下面數(shù)值計(jì)算中會(huì)介紹。4數(shù)值計(jì)算有了方程，可以算出裝置運(yùn)動(dòng)和受力隨時(shí)間變 化規(guī)律，然后把數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理。數(shù)值求解前通 常先要畫出計(jì)算框圖，考慮各種可能情況（圖5）。下 面采用Matlab程序進(jìn)行計(jì)算，可以在計(jì)算結(jié)束后直 觀從屏幕上查看虛擬裝置如何運(yùn)動(dòng)，方便與實(shí)際裝 置進(jìn)行比

11、較。Matlab程序采用矩陣和列陣計(jì)算很方便，可以 把前面的方程統(tǒng)一改寫為AX = B的形式，例如方圖5求解方程的計(jì)算框圖程（10）圖5求解方程的計(jì)算框圖10-10(mi + m2)010100 xAB00(mi yc + m2 yoi)1mu000001mu0(Fa(fi (a, a, a)、Naf2 (a, aFb=f3(a, a, a)Nb0I xc/0(11)在模式一、模式二中，調(diào)用X = inv(A)*B的 命令格式就完成了求解。但模式三的微分代數(shù)方程 處理起來要復(fù)雜一些：先把Xc當(dāng)作代數(shù)量，用 X = inv(A)*B求解出來，設(shè)解出Xc = XC (這時(shí) XC是具體數(shù)值)，再把X

12、c = XC當(dāng)作微分方程，化 為標(biāo)準(zhǔn)的一階微分方程組后，直接調(diào)用榮格庫塔法 (Runge-Kutta methods)求解常微分方程。具體過程是：設(shè)t時(shí)刻系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)(位置、速 度)都已經(jīng)算出，現(xiàn)在要通過微分方程Xc = XC計(jì) 算出t + At時(shí)刻的參數(shù)。設(shè)yi = xc，y?=加，這樣 就把二階微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)的一階微分方程組以及 相應(yīng)的初始條件，為yi=*(12a)y? = xcyi(0)= Xc (t)(12b)y?(0) = xc (t) J積分時(shí)間段為t,t + At,求解常微分方程調(diào)用的格式為t,iy = ode45rg_kt：time, time + hh, y0, optio

13、ns); (13) 程序式(13)中參數(shù)按順序含義為：“t”是存放積分 時(shí)間；“iy”是存放積分結(jié)果；“ode45”是求解常微分 方程的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)；“rg_kt”是微分方程表達(dá)式的子函 數(shù)；“time, time+hh”是積分時(shí)間段；“y”是初始 值；“options”是積分的誤差選項(xiàng)。值得說明的是，考慮到數(shù)值計(jì)算存在誤差，因0。0A A A A/產(chǎn)-A打滑BB打滑0。0A A A A/產(chǎn)-A打滑BB打滑AA和B者；不打滑L不打滑 狩丁滑X-O-%,C 八 c10080604020102030405060尾長/mm圖7顯示了 ai = 5 mm時(shí)主體質(zhì)心加速度的變 化，一方面看出模式轉(zhuǎn)換時(shí)加速度

14、會(huì)有跳變，另一方 面可以看出質(zhì)心加速度比重力加速度小3個(gè)數(shù)量級, 因此可以認(rèn)為裝置運(yùn)動(dòng)是“準(zhǔn)靜態(tài)”過程，從而可以 從靜力學(xué)角度近似估計(jì)出aj：如果輪子在x方向距 離質(zhì)心最遠(yuǎn)時(shí)有Nb Na，則龍點(diǎn)會(huì)一直要打滑。 分別對圖4中的A和B取矩，有Naxabmig l sin：冗 + ag cos a。一(h hi) sin qq + mglNaxab(15)Nbxab = mig (a? +ai) cos qq hi sin qq +(15)mg (ai + a? + ag) cos qq h? sin qq考慮到實(shí)際上q是小量，從式(15)中近似得到a l sin 3n - a? + (mi - m

15、2)a3/(mi + m?) (16)此在判斷摩擦關(guān)系是否違約時(shí)要稍微放松一點(diǎn)要求, 假設(shè)積分允許誤差為= 1.0 x 10-6,則把摩擦關(guān)系F 6 uN放松為代入裝置的數(shù)據(jù)，得到aj x 39 mm，接近圖6中的40 mm。F 6 (1 + )uN(14)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果符合定性分析的結(jié)論，但 是有更多細(xì)節(jié)。下面是裝置在一個(gè)周期內(nèi)(0 2 n/3, n/3)各參數(shù)變化的情況。圖6表明了尾長與各點(diǎn)打滑時(shí)長的關(guān)系： (1)尾巴越長，A點(diǎn)打滑時(shí)間越多；存在一個(gè)臨界 尾長a*，ai ai時(shí)A點(diǎn)始終打滑。(2)大部分情況 下裝置不會(huì)出現(xiàn)A和B都打滑的情況，只在臨界尾 長附近才會(huì)出現(xiàn)，且存在的時(shí)間都很

16、短，在實(shí)際中不 容易觀察到。-0.041in-質(zhì)心婦-*-質(zhì)心如字向加速度 亍向加速度0.020-0.020.51.51.0t/s0圖7尾長與質(zhì)心加速度的關(guān)系2.0為什么在臨界尾長垢附近才會(huì)出現(xiàn)A和B均 打滑的情況？從圖8和圖9中可以看出，當(dāng)A和B 壓力曲線有交點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)模式轉(zhuǎn)換。當(dāng)壓力曲線交 點(diǎn)區(qū)域較窄時(shí)（斜率大），只在模式一和模式二間進(jìn) 行轉(zhuǎn)換，不會(huì)出現(xiàn)模式三；當(dāng)壓力曲線交點(diǎn)區(qū)域較寬 時(shí)（斜率?。N模式都會(huì)出現(xiàn)。這可以理解為：臨 界尾長由的裝置在t ! 0時(shí)，A和B壓力就很接 近，此時(shí)質(zhì)心速度很小，數(shù)值計(jì)算時(shí)不能一步跨出這 個(gè)區(qū)域，就會(huì)出現(xiàn)A和B都打滑這種模式。在非臨 界尾長情況下，

17、若A和B壓力接近，此時(shí)質(zhì)心速度 較大，數(shù)值計(jì)算時(shí)可以一步跨出這個(gè)區(qū)域，不會(huì)出現(xiàn) A和B都打滑的狀況。表1中的數(shù)據(jù)支持了 A和B都打滑的必要條 件：剛開始的時(shí)刻，且兩者的壓力、摩擦力都很接 近，以及在這種狀況下如果按模式一或模式二計(jì)算, 都會(huì)出現(xiàn)摩擦關(guān)系違約的情況= 36 mm，t = 0.0814 s，3 = 53.9394。）。圖10表明一個(gè)周期內(nèi)同一尾長A點(diǎn)的壓力隨 時(shí)間變小，因?yàn)闀r(shí)間增加時(shí)B點(diǎn)更靠近重心；而同 一時(shí)刻尾巴越長A點(diǎn)壓力越小。圖11表明通過判 斷摩擦是否違約后再選擇適當(dāng)?shù)哪Ｊ?，不同尾長時(shí) A點(diǎn)摩擦關(guān)系都沒有出現(xiàn)違約情況，B點(diǎn)也類似。圖8兩種模式的情況1.21.00.80.60

18、.40.2000.51.01.5t/s圖9三種模式的情況FaNaFbNbFa /NaFb /Nb模式一 B打滑0.152 20.493 80.152 30.507 80.308 2 x0.299 9 P模式二A打滑0.14780.492 60.151 80.504 80.300 0 P0.300 7 x模式三A3都打滑0.14780.492 60.151 50.504 90.300 0 P0.300 0 P表1不同模式計(jì)算出的摩擦力與壓力0.35NRMISRBM圖10不同尾長時(shí)Fa和Na0.300.25 0.20田 0.150.100.050/7一一/一一一無尾：0粗隹:U mm中尾:25 mm長尾：50JmmL00.51.0t/s1.5圖11不同尾長時(shí)Fa