數(shù)學思想方法與初中數(shù)學教學課件

1、勉陽初級中學 丁良志初中數(shù)學思想方法的應用一、數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教學中的重要性 在初中數(shù)學課程標準的總體目標中，明確地提出了：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生應能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能”。新課程把基本的數(shù)學思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在數(shù)學課程標準中明確地提出來，這不僅是課程標準體現(xiàn)義務教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要保證。 什么是數(shù)學思想方法 數(shù)學思想是對數(shù)學知識和方法本質(zhì)的認識，是解決數(shù)學問題的根本策略，它直接支配著數(shù)學的實踐活動；數(shù)學方法是解決問題的手段和工具，是解決數(shù)學問題

2、時的程序、途徑，它是實施數(shù)學思想的技術(shù)手段。數(shù)學思想帶有理論性特征，而數(shù)學方法具有實踐性的特點，數(shù)學問題的解決離不開以數(shù)學思想為指導，以數(shù)學方法為手段。數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，數(shù)學思想方法揭示了概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)與能力的橋梁。 在初中數(shù)學教學中，常見的數(shù)學思想有：轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等；常見的數(shù)學方法有：待定系數(shù)法、配方法、換元法、分析法、綜合法、類比法等等。 在初中數(shù)學教材中集中了大量的優(yōu)秀例題和習題，它們所體現(xiàn)的數(shù)學知識和數(shù)學方法固然重要，但其蘊涵的數(shù)學思想?yún)s更顯重要，作為初中數(shù)學教師，要善于

3、挖掘例題、習題的潛在功能。在初中數(shù)學教學中，教師應向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。學生只有領(lǐng)會了數(shù)學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力，從而為解決數(shù)學問題、進行數(shù)學思維起到很好的促進作用。因此，在初中數(shù)學教學中，教師必須重視對學生進行數(shù)學思想方法的滲透與培養(yǎng)。二、幾種常見的數(shù)學思想方法在 初中數(shù)學教學中的應用（一）滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學生分析解決問題的能力 所謂“轉(zhuǎn)化思想”是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到

4、已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學中常見的一種數(shù)學思想，它的應用十分廣泛，我們在數(shù)學學習過程中，常常把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。數(shù)學問題的解決過程就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化是化繁為簡，化難為易，化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析解決問題的能力有積極的促進作用。 我們對轉(zhuǎn)化思想并不陌生，中學數(shù)學中常用的化高次為低次、化多元為一元，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。在具體內(nèi)容上，有加減法的轉(zhuǎn)化、乘除法的轉(zhuǎn)化、乘方與開方的轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等等。例如：初中數(shù)學“有理數(shù)的減法”和“有理數(shù)的除法”這兩節(jié)教

5、學內(nèi)容中，教材是通過“議一議”的形式，使學生在自主探究和合作交流的過程中，經(jīng)歷把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法、把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的過程，“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現(xiàn)了把“沒有學過的知識”轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)學過的知識”來加以解決，學生一旦掌握了這種解決問題的策略，今后無論遇到多么難、多么復雜的問題，都會自然而然地想到把“不會的”轉(zhuǎn)化為“會的”、“已經(jīng)掌握的”知識來加以解決，這符合學生原有認知規(guī)律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學生的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的

6、提高學生的思維品質(zhì)的機會。 又如在解方程組時，通過消元這個手段，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程去解；在解多邊形問題時，又是通過添加輔助線這個手段，把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題加以解決等等。數(shù)學中的有理數(shù)和無理數(shù)、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等處處都蘊涵著轉(zhuǎn)化這一辯證思想。因此，在初中數(shù)學教學中，應有意識地滲透轉(zhuǎn)化思想。如在學習分式方程時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，教學時，應讓學生充分經(jīng)歷整式方程與分式方程的觀察、比較、分析、探索過程，啟發(fā)學生說出分式方程的解題基本思想，學生在經(jīng)歷了充分的探索后，自然認識到：通過把分式方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉

7、分母，就可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，學生感悟到分式方程與整式方程概念和解法的實質(zhì)后，會收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，在初中數(shù)學教學中，要注重滲透轉(zhuǎn)化思想，可以說轉(zhuǎn)化思想是科學世界觀在數(shù)學中的體現(xiàn)，是最重要的數(shù)學思想之一，不僅可以培養(yǎng)學生的科學意識，而且可以提高學生的觀察能力、探索能力和分析解決問題的能力。 在初中代數(shù)列方程解應用題教學中，很多例題都采用了圖示法進行分析，在教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，找出解決問題的突破口，學生掌握了數(shù)形結(jié)合這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。 再如在講“圓與圓的位置

8、關(guān)系”時，可自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關(guān)系，然后可激發(fā)學生積極主動探索：兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征？這種借助于形通過數(shù)的運算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想，在教學中要不失時機地滲透，這樣不僅可以提高學生的遷移思維能力，還可以培養(yǎng)學生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習慣。案例1 滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力 分類討論思想是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，當被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時，就要按照可能出現(xiàn)的各種情況進行分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論，這種處理問題的思維方法就是分類討論思想。 分類

9、思想已滲透到中學數(shù)學的各個方面，如概念的定義、定理的證明、法則的推導等，也滲透到問題的具體解決之中，如含有絕對值符號的代數(shù)式的處理、根式的化簡、圖形的討論等，這些問題若不分類討論，就會無從著手或顧此失彼，導致錯誤的發(fā)生。比如，在有關(guān)絕對值的概念中，當去掉絕對值符號時，便要把絕對值內(nèi)的字母分大于0，小于0，等于 0三種情況進行討論； 在解這個數(shù)學問題時，由于它的結(jié)果可能不唯一，因此需要對可能出現(xiàn)的情況一一加以討論。在運用分類討論思想研究問題時，必須做到“不重、不漏”，而且要按照相同的標準進行討論，只有掌握了分類討論思想，在解題時才不會出現(xiàn)漏解的情況。 在滲透分類討論思想的過程中，首要的是分類。教

10、師要培養(yǎng)學生分類的意識，然后才能引導學生在分類的基礎(chǔ)上進行討論。我們仔細分析教材的話應該不難發(fā)現(xiàn)，教材對于分類討論思想的滲透是一直堅持而又明顯的。比如在研究相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法運算的符號法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負數(shù)、零三類分別研究的；在研究加、減、乘、除四種運算法則時也是按照同號、異號、與零運算這三類分別研究的；而在初中幾何教學中，用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關(guān)系的分類、兩條直線位置關(guān)系的分類；在函數(shù)教學中將函數(shù)圖象分為開口方向向上、向下，單調(diào)遞增、遞減來進行研究；在圓的教學中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關(guān)系將兩圓的位置關(guān)系進行了分類。從功能上看，這種分類討論思想可

11、以避免漏解、錯解情況的出現(xiàn)，從學生的思維品質(zhì)上看，分類討論思想有利于培養(yǎng)學生的思維嚴謹性與邏輯性。滲透分類討論的思想方法，對培養(yǎng)學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力有積極促進作用。滲透方程思想，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力 方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數(shù)學大廈基石之一，在眾多的數(shù)學思想中顯得十分重要。所謂方程思想，主要是指通過已知和未知的聯(lián)系，建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知量的值，從而使問題得以解決的思想方法。 運用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見，方程思想是指借助解方程來求出未知量的一種解題策略，同時，方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線段、角的大小的重

12、要方法。如已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求線段BC的長。對于這個題，我們可以設(shè)AC=3x，則AB=5x，BC=7x，因為AC+AB=16cm，所以3x+5x=16cm，解得x=2，因此BC=7x=14cm。在初中數(shù)學教學中，我們發(fā)現(xiàn)教材中大量出現(xiàn)方程思想，如列方程解應用題，求函數(shù)解析式，利用根的判別式關(guān)系求字母系數(shù)的值等。教學時，可有意識的引導學生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時，可啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項系數(shù)，可把他們看成三個“未知量”，告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關(guān)系建立方程組。

13、在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學思想，諸如換元，消元，降次，函數(shù)，轉(zhuǎn)化，整體，分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用。在初中數(shù)學“列方程解決實際問題”的教學中，已經(jīng)提出不再以題型進行分類，而著重強調(diào)對實際問題的數(shù)量關(guān)系的分析，突出解決問題的策略。我想這樣的設(shè)計與安排正好就應和了我們對方程思想方法的滲透。我們在授課中可以引導學生借助圖表、示意圖、線段圖來分析題意，尋找已知量和未知量的關(guān)系。而它們之間的那個相等關(guān)系實際上就是方程模型，只要能把各個量帶入方程模型，問題就能得到解決了；另外我認為，方

14、程的思想方法作為一種建模能力，應該體現(xiàn)在學生能自覺的去運用這種方法、手段（模型），這就要求我們能引導學生從身邊的實際問題出發(fā)自行創(chuàng)設(shè)、研究、運用方程。滲透從特殊到一般的數(shù)學方法，加強學生創(chuàng)造性思維的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng) 從特殊到一般的數(shù)學思想方法，即先觀察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結(jié)論的認知規(guī)律的方法。數(shù)學課程標準指出要發(fā)展學生的符號感，其中符號感的一個主要表現(xiàn)是要求學生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示，而列代數(shù)式是實現(xiàn)這一目標的具體途徑。如用字母表示數(shù)，這是中學生學好代數(shù)的關(guān)鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術(shù)到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生

15、一個飛躍，有一個從量變到質(zhì)變的發(fā)展過程，學生始終認為“a是負數(shù)”，“兩個數(shù)的和大于其中任何一個加數(shù)”等，這樣就要求我們在教學中要不斷滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，不斷強化，逐步完成學生從數(shù)到式，由普通語言到符號語言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛躍。 數(shù)學課程標準中說“有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動”，所以無論是從特殊到一般的數(shù)學知識的歸納形成過程，還是從一般到特殊的數(shù)學知識的驗證應用過程，教師作為合作者、引導者，都應該提供足夠時間和空間，讓學生主動去從事各種數(shù)學活動，只有這樣才能突出學生的主體地位，獲得明顯的

16、教學效果。 在初中數(shù)學教學中，還蘊涵著其它的一些常用的數(shù)學方法，比如：待定系數(shù)法、配方法、換元法等等，由于這幾種數(shù)學方法作為解題工具使用，給學習數(shù)學帶來了很大方便，這些都要求我們在教學中要適時恰當?shù)貙?shù)學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象，同時還要有意識地培養(yǎng)學生自我提煉、揣摩概括數(shù)學思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學思想、方法的教學落在實處，所以說從某種意義上講，數(shù)學思想方法的教學甚至比傳授知識更重要。因為思維的鍛煉不僅對學生在某一學科上有益，更使其終生受益。站在“以學生發(fā)展為本”的角度上看，在教學中適時適度地滲透數(shù)學思想方法，將對培養(yǎng)學生可持續(xù)發(fā)展的能力有極大的好處，正適合現(xiàn)在方興未艾的“

17、素質(zhì)教育”，其教學潛在價值更是不可估量的。三、在初中數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法的教學原則 訓練“方法”，理解“思想” 數(shù)學思想的內(nèi)容是相當豐富的，方法也有難有易，因此，必須分層次地進行滲透和教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數(shù)學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數(shù)學思想、方法的教學。如在教學同底數(shù)冪的乘法時，引導學生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運算方法和運算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)

18、，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算。在整個教學中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學方法，對學生養(yǎng)成良好的思維習慣起重要作用。 掌握“方法”，運用“思想”。 數(shù)學知識的學習要經(jīng)過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固，數(shù)學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經(jīng)過反復訓練才能使學生真正領(lǐng)會。另外，使學生形成自覺運用數(shù)學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數(shù)學思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。比如：運用類比的數(shù)學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握。學習一元一次不等式的時候，我們可以和一元一次方程進行類比；在學習分式有關(guān)概念、性質(zhì)時，我們可以和分數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)類比。通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數(shù)學方法。 提煉“方法”，完善“