用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問(wèn)題

1、優(yōu)選文檔授課過(guò)程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)一般地，求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟以下：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值二、知識(shí)講解常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分別變量法”轉(zhuǎn)變成最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特色，利用數(shù)形結(jié)合法?？键c(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmin若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxAB考點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)解決能成立問(wèn)題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,則等價(jià)于在區(qū)

2、間D上fxmaxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的fxminB.解決不等式恒成立問(wèn)題和能成立問(wèn)題，注意一個(gè)是全稱命題，一個(gè)是存在性命題，因此轉(zhuǎn)變的時(shí)候要注意求的終究是函數(shù)最大值和最小值。三、例題精析【例題1】【題干】設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)獲取極值（1）求a、b的值；（2）若關(guān)于任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍【答案】（1）a3，b4（2）c的取值范圍為(,1)U(9,)【解析】（1）f(x)6x26ax3b，函數(shù)f(x)在x1及x2獲取極值，則有f(1)0，f(2)0.優(yōu)選文檔即66a3b0，解得a3，b4241

3、2a3b0（2）由（1）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)當(dāng)x(0,1)，f(x)0；當(dāng)x(1,2)，f(x)0；當(dāng)x(2,3)，f(x)0當(dāng)x1，f(x)獲取極大f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c當(dāng)x0,3，f(x)的最大f(3)98c于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，解得c1或c9，因此c的取范(,1)U(9,)【例題2】【干】函數(shù)(1)當(dāng)a=1，求曲在點(diǎn)的切方程；(2)若函數(shù)在其定域內(nèi)增函數(shù)，求數(shù)a的取范；(3)函數(shù)，若在l，e上最少存在一使成立，求數(shù)a的取范.【解析】（1）切（2），由意若函數(shù)在其定域內(nèi)增函數(shù)，

4、在（0，+）上恒成立，即.優(yōu)選文檔，（3）在1，e上最少存在一使成立；，9分在1，e上減，令當(dāng)，在上增，當(dāng)在上增，不合意。當(dāng)，在上減，當(dāng)，在上減，ks5u，不合意。.優(yōu)選文檔綜上：【例題3】【題干】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞加，當(dāng)時(shí)，有極小值，的極小值是（2）在上，是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，若要成立，則需，解得.當(dāng)時(shí)，若要成立，則需，解得.綜上，的取值范圍是.優(yōu)選文檔四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.三次函數(shù)f（x）=x33bx+3b在1，2內(nèi)恒為正當(dāng)，則b的取值范圍是_【答案】【解析】方法1：拆分函

5、數(shù)f（x），依照直線的斜率觀察可知在1，2范圍內(nèi)，直線y2與y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范圍方法2：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)b進(jìn)行談?wù)?，比較可否與已知條件切合，若不符則舍掉，最后求出b的范圍。2.關(guān)于總有成立，則的值為多少？【答案】a=4【解析】若，則不論取何值，顯然成立；當(dāng)，即時(shí)可化為.設(shè)，則，因此在區(qū)間上單調(diào)遞加，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而.當(dāng)，即時(shí)，可化為，則在區(qū)間上單調(diào)遞加，因此，從而.綜上所述.優(yōu)選文檔【牢固】1.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2x2(xa)|xa|.若f(0)1，求a的取值范圍；求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)f(x),x(a,)，

6、直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集.【解析】（1）若f(0)1，則a|a|1a0a1a21（2）當(dāng)xa時(shí)，f(x)3x22axa2,f(a),a02a2,a0f(x)mina02a2,a0f(),a33當(dāng)xa時(shí)，f(x)x22axa2,f(x)minf(a),a002a2,a0f(a),a2a2,a02a2,a0綜上f(x)min2a20,a3（3）x(a,)時(shí)，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2當(dāng)a6或a6時(shí)，0,x(a,)；226a6時(shí)，0,得：(xa32a2a32a2)0當(dāng)223)(x3xa談?wù)摰茫寒?dāng)a(2,6)時(shí)，解集為(a,);22當(dāng)a(

7、6,2)時(shí)，解集為(a,a32a2a32a2,);2233當(dāng)a2,2時(shí)，解集為a32a2,).2232.已知函數(shù)f(x)x2a(2lnx),(a0)，談?wù)揻(x)的單調(diào)性.x【解析】f(x)的定義域是(0,+),f(x)12ax2ax2.x2xx2設(shè)g(x)x2ax2,g(x)0的鑒識(shí)式a28.二次方程.優(yōu)選文檔當(dāng)2，即0a22時(shí)，對(duì)所有x0都有f(x)0此時(shí)f(x)在(0,)a80,上是增函數(shù)。當(dāng)a280,即a22時(shí)，僅對(duì)x2有f(x)0,對(duì)其余的x0都有f(x)0,此時(shí)f(x)在(0,)上也是增函數(shù)。當(dāng)a280，即a22時(shí)，方程g(x)0有兩個(gè)不同樣的實(shí)根x1aa28,x2aa28,0 x

8、1x2.22x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)+0_0+f(x)單調(diào)遞加極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞加此時(shí)f(x)在(0,aa28)上單調(diào)遞加,在(aa28,aa28)是上單調(diào)遞減,222在(aa28,)上單調(diào)遞加.2【拔高】1.設(shè)函數(shù)f(x)xekx(k0)（）求曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞加，求k的取值范圍.【解析】（）fx1kxekx,f01,f00,曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為yx.（）由fx1kxekx0，得x1k0，k若k0，則當(dāng)x,1時(shí)，fx0，函數(shù)fx單調(diào)遞

9、減，k.優(yōu)選文檔當(dāng)x1,時(shí)，fx0，函數(shù)fx單調(diào)遞加，k若k0，則當(dāng)x,1時(shí)，fx0，函數(shù)fx單調(diào)遞加，k當(dāng)x1,時(shí)，fx0，函數(shù)fx單調(diào)遞減，k（）由（）知，若k0，則當(dāng)且僅當(dāng)11，k即k1時(shí)，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞加，若k0，則當(dāng)且僅當(dāng)11，k即k1時(shí)，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞加，綜上可知，函數(shù)fx1,1內(nèi)單調(diào)遞加時(shí)，k的取值范圍是1,0U0,1.2.已知函數(shù)f(x)=1x2ax+(a1)lnx，a1。21）談?wù)摵瘮?shù)f(x)的單調(diào)性；（2）證明：若a5，則對(duì)任意x1，x2(0,)，x1x2，有f(x1)f(x2)1。x1x2【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,)。f(x)xaa1x2axa

10、1(x1)(x1a)xxx（i）若a1即2,則1af(x)(x1)2x故f(x)在(0,)單調(diào)增加。(ii)若a11,而a1,故1a2,則當(dāng)x(a1,1)時(shí)，f(x)0;當(dāng)x(0,a1)及x(1,)時(shí)，f(x)0故f(x)在(a1,1)單調(diào)減少，在(0,a1),(1,)單調(diào)增加。.優(yōu)選文檔(iii)若a,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)單調(diào)減少，在(0,1),(a1,)單調(diào)增加.11(II)考慮函數(shù)g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx2則g(x)x(a1)a12xga1(a1)1(a11)2xx由于1a1,證明對(duì)任意的c,都有M2:()若MK對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

11、【解析】Qf(x)x22bxc，由f(x)在x1處有極值43f(1)12bc0可得1cbc4f(1)b33b1b1解得1,或3cc若b1,c1，則f(x)x22x1(x1)20，此時(shí)f(x)沒有極值；若b1,c3，則f(x)x22x3(x1)(x1)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況以下表：x(,3)3(3,1)1f(x)0+0f(x)極小值12Z極大值(1,)43當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極大值41，c3即為所求。，故b3（）證法1：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yf(x)的對(duì)稱軸xb位于區(qū)間1.1之外。(x)在1,1上的最值在兩端點(diǎn)處獲取M應(yīng)是g(1)和g(1)中

12、較大的一個(gè)2Mg(1)g(1)|12bc|12bc|4b|4,即M2.優(yōu)選文檔證法2（反證法）：由于|b|1，因此函數(shù)yf(x)的對(duì)稱軸xb位于區(qū)間1,1之外，(x)在1,1上的最值在兩端點(diǎn)處獲取。M應(yīng)是g(1)和g(1)中較大的一個(gè)假設(shè)M2，則g(1)|12bc|2g(1)|12bc|2將上述兩式相加得：4|12bc|12bc|4|b|4，以致矛盾，M2（）解法1：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|（1）當(dāng)|b|1時(shí)，由（）可知M2；（2）當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yf(x）的對(duì)稱軸xb位于區(qū)間1,1內(nèi)，此時(shí)Mmaxg(1),g(1),g(b)由f(1)f(1)4b,有f(b)f(1)b(m1)

13、20若1b0,則f(1)f(1)f(b),g(1)maxg(1),g(b)，于是Mmax|f(1),|f(b)|1(|f(1)|f(b)|)1|f(1)f(b)|1(b1)212222若0b1，則f(1)f(1)f(b),g(1)maxg(1),g(b)于是Mmax|f(1)|,|f(b)|1(|f(1)|f(b)|)1|f(1)f(b)|1(b1)212222綜上，對(duì)任意的b、c都有M12而當(dāng)b0,c1時(shí)，g(x)x21在區(qū)間1,1上的最大值M1222故Mk對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為1。2解法2：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|（1）當(dāng)|b|1時(shí)，由（）可知M2；（2）當(dāng)|b|

14、1時(shí)，函數(shù)yf(x)的對(duì)稱軸xb位于區(qū)間1,1內(nèi)，.優(yōu)選文檔此時(shí)Mmaxg(1),g(1),g(b)4Mg(1)g(1)2g(h)|12bc|12bc|2|b2c|12bc(12bc)2(b2c)|2b22|2，即M122.已知函數(shù)f(x)1ax3bx2x3,其中a03（1）當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)獲取極值?（2）已知a0,且f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞加,試用a表示出b的取值范圍.【解析】(1)由已知得f(x)ax22bx1,令f(x)0,得ax22bx10,f(x)要獲取極值,方程ax22bx10必定有解,因此4b24a0,即b2a,此時(shí)方程ax22bx10的根為x12b4b24

15、abb2a,x22b4b24abb2a,2aa2aa因此f(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)a0時(shí),x(-,x)x1(x1,x)x2(x,+)122f(x)00f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)因此f(x)在x1,x2處分別獲取極大值和極小值.a0時(shí),x(-,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+)f)(x00f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)因此f(x)在x1,x2處分別獲取極大值和極小值.綜上,當(dāng)a,b滿足b2a時(shí),f(x)獲取極值.(2)要使f(x)在區(qū)間(0,1,f(x)210(0,1.在上恒成立上單調(diào)遞加需使.優(yōu)選文檔即ax1恒成立,因此ax1b22x,x(0,1b(22x)maxax1a1a(x21)設(shè)g(x),g(x)a,