第10章-MATLAB-710-高級數(shù)值計算課件

1、第10章 高級數(shù)值計算前三章（7、8、9）分別介紹了數(shù)值計算的一些基礎(chǔ)內(nèi)容，包括矩陣分析、函數(shù)分析和數(shù)據(jù)分析。本章是前三章內(nèi)容的擴展和深化，將討論數(shù)值計算的一些高級主題，如數(shù)據(jù)插值、回歸分析、微分方程求解等。本章主要內(nèi)容如下。多項式插值回歸分析曲線擬合傅立葉分析常微分方程求解第10章 高級數(shù)值計算前三章（7、8、9）分別介紹了數(shù)值計10.1 多項式多項式在數(shù)學理論分析、數(shù)值計算等方面具有很好的性質(zhì)，這使得多項式在插值、回歸分析、曲線擬合、微分方程求解等眾多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。本節(jié)將介紹多項式表示、多項式求值、多項式求根、多項式微積分、有理分式展開，為后續(xù)各節(jié)內(nèi)容的展開奠定基礎(chǔ)。10.1 多項式多

2、項式在數(shù)學理論分析、數(shù)值計算等方面具有很 10.1.1 多項式表示 10.1.1 多項式表示10.1.2 矩陣的特征多項式10.1.2 矩陣的特征多項式10.1.3 求多項式的值10.1.3 求多項式的值10.1.4 求多項式的根多項式的根即是使的。MATLAB提供專門的函數(shù)roots用于求多項式的根，函數(shù)roots的調(diào)用格式如下：s = roots(p)其中p為多項式表示，返回值s為 解向量，N為 多項式的階數(shù)。10.1.4 求多項式的根多項式的根即是使的。MATLAB10.1.5 多項式卷積和反卷積10.1.5 多項式卷積和反卷積10.1.6 多項式微積分10.1.6 多項式微積分10.1

3、.7 有理式的部分展開10.1.7 有理式的部分展開10.2 插值10.2 插值10.2.1 一維插值10.2.1 一維插值10.2.2 二維插值被插值函數(shù)為二元函數(shù)時，插值過程為二維插值，依次類推，有三維插值、高維插值，這些內(nèi)容將在下面的章節(jié)中介紹。圖是二維插值的簡單示意。MATLAB利用函數(shù)interp2實現(xiàn)二維插值，其一般的調(diào)用格式為：ZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, method)10.2.2 二維插值被插值函數(shù)為二元函數(shù)時，插值過程為二10.2.3 高維插值MATLAB支持三維及三維以上的高維插值，分別由函數(shù)interp3和interpn實現(xiàn)。高維插值與三維

4、插值類似，這里僅介紹三維插值，至于高維插值，讀者可以參考MATLAB幫助文檔和三維插值的例子。三維插值函數(shù)interp3的一般調(diào)用格式為：VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method)其中X、Y、Z、V 是具有相同大小的三維數(shù)組，X, Y, Z為三維數(shù)據(jù)網(wǎng)格，V是數(shù)據(jù)網(wǎng)格上的函數(shù)值； XI、YI、ZI、VI是具有相同大小的三維數(shù)組，返回值VI是三維插值網(wǎng)格XI, YI, ZI上的函數(shù)值估計；method為字符串，表示不同的插值方法，主要有以下四種：method = nearest，最近鄰插值。method = linear，三次線性插值。method = cubic

5、，三次立方插值。method = spline，樣條插值。 10.2.3 高維插值MATLAB支持三維及三維以上的高維10.2.4 樣條插值利用分段多項式逼近函數(shù)可以降低插值多項式的階數(shù)，使曲線連接處更加光滑，這種插值方法稱為樣條插值，分段插值多項式稱為樣條函數(shù)，采樣點稱為節(jié)點。樣條插值廣泛地應(yīng)用于各種制造業(yè)的計算機輔助設(shè)計（CAD）、各種圖形的繪制工作、地理信息系統(tǒng)、實驗數(shù)據(jù)的擬合、以及現(xiàn)在“熱門”的計算機動畫制作等。在樣條函數(shù)中，應(yīng)用最廣的是三次樣條函數(shù)。10.2.4 樣條插值利用分段多項式逼近函數(shù)可以降低插值多10.2.5 插值方法比較不同的插值方法本質(zhì)上是對插值函數(shù)的約束條件不同，相應(yīng)

6、地，插值的效果及效率也有很大的差別，這里對MATLAB中常用的四種插值方法總結(jié)如下：最近鄰插值法，利用階梯函數(shù)作插值，速度快，內(nèi)存消耗少，但是得到的插值數(shù)據(jù)光滑性能差。線性插值法，利用分段線性函數(shù)作插值，速度快，內(nèi)存消耗少，但是在采樣點處的光滑性能較差。立方插值法，利用三次多項式函數(shù)作插值，在采樣點處的光滑性能好，但是效率低，內(nèi)存消耗大。樣條插值法，利用分段三次多項式函數(shù)作插值，速度較快，得到的插值數(shù)據(jù)光滑性能好。10.2.5 插值方法比較不同的插值方法本質(zhì)上是對插值函數(shù)10.3 回歸分析回歸分析和下節(jié)將要介紹的曲線擬合都是統(tǒng)計學中非常重要的數(shù)據(jù)分析方法，在信號處理、經(jīng)濟學等眾多領(lǐng)域中都有廣泛

7、的應(yīng)用。為此MATLAB對回歸分析和曲線擬合提供了強大的支持，并專門提供了一個工具箱。假設(shè)得到了以下實驗觀測數(shù)據(jù)：x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1，y = 0.99567, 0.99334, 1.0413, 1.0929, 1.1485, 1.2619, 1.3719, 1.4896, 1.6433, 1.8117, .9981，試找出x、y的約束關(guān)系。10.3 回歸分析回歸分析和下節(jié)將要介紹的曲線擬合都是統(tǒng)計10.3.1 線性回歸分析10.3.1 線性回歸分析10.3.2 多項式回歸分析當 為多項式，且 時， ，此時線

8、性回歸分析稱為多項式回歸分析。10.3.2 多項式回歸分析當 為多項式，且 10.3.3 多分量回歸分析前面介紹了單個變量的回歸分析，實際中的問題需要考慮多個方面因素的影響，研究多個變量之間的聯(lián)系，就是本小節(jié)將要研究的多個變量回歸分析。對多個變量的回歸分析類似于單變量回歸分析，首先對函數(shù)建模，要求函數(shù)模型與未知參數(shù)的關(guān)系是線性的，代入觀測數(shù)據(jù)得Fa=y，由最小二乘擬合a=F/y求得線性參數(shù)，從而得到y(tǒng)=f(x)，這里的x為自變量組成的向量。下面通過一個簡單的例子介紹多變量回歸分析。10.3.3 多分量回歸分析前面介紹了單個變量的回歸分析，10.4 曲線擬合曲線擬合是要找到一條光滑曲線，使其最佳

9、地擬合數(shù)據(jù)，該曲線不必經(jīng)過數(shù)據(jù)點，這正是曲線擬合及回歸分析與插值的不同之處。曲線擬合涉及兩個基本問題：光滑曲線的形式是怎樣的，以及最佳擬合的概念。第一個問題即是函數(shù)建模的問題，多項式模型，或是指數(shù)模型，以及別的更復(fù)雜的函數(shù)模型。最佳擬合是在某個誤差準則下的最佳，常用的誤差準則是誤差平方和最小，也可以是最大誤差最小準則，誤差的絕對值和最小等。以下的討論均是以誤差平方和最小作為誤差準則。根據(jù)函數(shù)模型的不同，曲線擬合可以分為多項式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合等，用戶甚至可以自己定義新的擬合形式。 10.4 曲線擬合曲線擬合是要找到一條光滑曲線，使其最佳地10.4.1 多項式擬合顧名思義，多項式擬合是利用多項式

10、最佳地擬合觀測數(shù)據(jù)，使得在觀測數(shù)據(jù)點處的誤差平方和最小。MATLAB中利用函數(shù)polyfit和polyval進行多項式擬合。函數(shù)polyfit 根據(jù)觀測數(shù)據(jù)及用戶指定的多項式階數(shù)得到光滑曲線的多項式表示，polyfit的一般調(diào)用格式為：P = polyfit(x, y, n)其中x為自變量，y為應(yīng)變量，n為多項式階數(shù)。至于polyval的用法已經(jīng)在10.1.3小節(jié)介紹過，這里不再贅述。10.4.1 多項式擬合顧名思義，多項式擬合是利用多項式最10.4.2 指數(shù)函數(shù)擬合指數(shù)函數(shù)擬合是利用指數(shù)函數(shù) ，對觀測數(shù)據(jù)進行擬合，使誤差平方和最小。MATLAB對指數(shù)函數(shù)擬合沒有提供專門的函數(shù)支持，通常利用一

11、階多項式擬合來解決指數(shù)函數(shù)擬合問題。對上式兩邊取對數(shù)，得 ，因此x、lny構(gòu)成一階多項式擬合問題。這里以對 的采樣數(shù)據(jù)擬合為例。10.4.2 指數(shù)函數(shù)擬合指數(shù)函數(shù)擬合是利用指數(shù)函數(shù) 10.4.3 交互式曲線擬合工具MATLAB為用戶提供了一個交互式曲線擬合工具，即Basic Fitting interface。通過該工具，用戶無須編寫代碼就可以完成一些常用的曲線擬合。下面以MATLAB自帶的census data數(shù)據(jù)擬合為例介紹Basic Fitting interface的使用方法。10.4.3 交互式曲線擬合工具MATLAB為用戶提供了一10.5 傅立葉分析傅立葉分析在信號處理、圖像處理等

12、眾多的領(lǐng)域中都有極其重要的應(yīng)用。傅立葉變換（Fourier Transform）將函數(shù)表示為不同頻率的正弦、余弦函數(shù)之和，對于離散數(shù)據(jù)，傅立葉變換對應(yīng)地為DFT，即離散傅立葉變換。對長度為的輸入序列，其DFT是長度為的向量，且，MATLAB利用快速傅立葉變換函數(shù)fft實現(xiàn)離散傅立葉變換。另外，由的DFT也可以得到，稱為的IDFT（逆傅立葉變換），MATLAB利用逆快速傅立葉變換函數(shù)ifft實現(xiàn)IDFT。10.5 傅立葉分析傅立葉分析在信號處理、圖像處理等眾多的10.5.1 快速傅立葉變換（FFT）、逆快速傅立葉變換（IFFT）10.5.1 快速傅立葉變換（FFT）、逆快速傅立葉變換（10.5.

13、2 FFT的幅度和相位10.5.2 FFT的幅度和相位10.5.3 傅立葉分析的應(yīng)用例子太陽黑子的活動具有一定的周期性，MATLAB提供了過去300年內(nèi)太陽黑子活動的數(shù)據(jù)，下面通過對該數(shù)據(jù)的傅立葉分析研究太陽黑子活動的周期性。10.5.3 傅立葉分析的應(yīng)用例子太陽黑子的活動具有一定的10.6 常微分方程解微分方程是數(shù)學中一個重要的問題，在物理學、控制理論、信號處理等方面都有很重要的應(yīng)用。本節(jié)主要討論解微分方程中一個基礎(chǔ)而又重要的主題，即常微分方程的求解。本節(jié)首先介紹一階常微分方程的求解，主要是ODE函數(shù)的用法，隨后討論如何將高階常微分方程轉(zhuǎn)換為一階常微分方程，進而方便高微分方程的求解。10.6

14、 常微分方程解微分方程是數(shù)學中一個重要的問題，在物10.6.1 一階常微分方程考慮下面的運動學問題：某物體初始位置為0，從時刻開始，以速度沿軸正向運動，求物體在時刻的位移。10.6.1 一階常微分方程考慮下面的運動學問題：某物體初10.6.2 ODE函數(shù)的選擇MATLAB提供了8種ODE函數(shù)用于常微分方程的求解，它們分別是ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i，前面介紹的ode45是比較常用的一種。這8個ODE函數(shù)分別用于不同類型常微分方程的求解，使用的算法也各不相同，不同ode函數(shù)的比較ODE Solver針對的常微分方程

15、類型算 法ode45非剛性微分方程Kutta Rungeode23非剛性微分方程Runge-Kuttaode113非剛性微分方程Adamsode15s剛性微分方程和 DAEsNDFs (BDFs)ode23s剛性微分方程Rosenbrockode23t中等剛性微分方程DAEsTrapezoidal ruleode23tb剛性微分方程TR-BDF2ode15i全隱式微分方程BDFs10.6.2 ODE函數(shù)的選擇MATLAB提供了8種ODE10.6.3 高階常微分方程MATLAB對高階常微分方程的求解是基于一階常微分方程的，用戶需要將高階常微分方程轉(zhuǎn)換為一階常微分方程。10.6.3 高階常微分方程MATLAB對高階常微分方程的10.7 小結(jié)本章討論數(shù)值計算的一些高級主題，如插值、擬合、微分方程求解等，通過本章的學習，讀者應(yīng)