詳解高考及北京市模擬試卷創(chuàng)新題小題匯編

1、 HYPERLINK 2008-20111年高高考及北北京市模模擬試卷卷創(chuàng)新題題小題匯匯編詳解解（10-111年上上學(xué)期北北師大實實驗高三三摸底考考試理114）設(shè)是對一切切正整數(shù)數(shù)有定義義的函數(shù)數(shù)，且，（，是的素約約數(shù)的個個數(shù)）令（其其中表示示是的約數(shù)數(shù)，上式式表示對對的一切切約數(shù)的的函數(shù)求求和），則則 ； ；解法一：依據(jù)定義：；是素數(shù)，解法二：來計算的表表達式根據(jù)算算術(shù)基本本定理，可可以設(shè)，其其中為的全部素素因子，設(shè)是的約數(shù)數(shù)，根據(jù)據(jù)的定義義，當時時，且且正好可可以視作作的情形形而，求求和是對對的全體體約數(shù)求求和由由于的取取值只可可能是，所所以只需需計算出出，取值值的約數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)即可這等價

2、價于求的的只有個個素因子子的約數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)時，顯然只只有，個個數(shù)為；時，其其中，只能取取，個數(shù)數(shù)是；一般地對于于為任意意的情形形，當?shù)牡乃匾蜃幼尤r，由于能取到到，由乘乘法原理理，這種種情況下下的的個個數(shù)是；由于的的素因子子可以取取任意個個，所以以總的只只有個素素因子的的約數(shù)的的個數(shù)是是；由此可知，；考慮多項式式由韋達定定理可知知： 在上上式中兩兩邊賦值值即得 當時，； ，；，（10-111年上上學(xué)期海海淀高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理88）如圖所示，在在正方體體中，是棱棱的中點點，是側(cè)側(cè)面上的的動點，且且面，則與平平面所成成角的正正切值構(gòu)構(gòu)成的集集合是（ ）A B C D C過平面外一一點能作作無窮多多

3、條直線線平行于于平面，這這無窮多多條直線線構(gòu)成一一個過點點且與平平行的平平面；由此可知：過且平平行于平平面的直線有有無窮多多條，這這些直線線構(gòu)成一一個平面面先作出出這個平平面如右右圖所示示：作交交于，作交的延長長線于，那那么；于于是既在在面上又又在側(cè)面面上，的軌軌跡為兩兩者的交交線；為作出交線線，如圖圖所示：延長交的延長長線于，連連接交的延長長線于，則則即為平平面與平平面的交交線；延延長交于，則為的軌跡跡（限定定在正方方體的側(cè)側(cè)面上而而不是整整個側(cè)面面平面上上）；設(shè)正方體棱棱長為，易易知是中點，任取上一點點，由于于是在平面面上的射射影，所所以與平平面所成成的角即為，其其正切為為；，；選C；（1

4、0-111年上上學(xué)期海海淀高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理114）在平面直角角坐標系系中，為坐坐標原點點定義義、兩點之之間的“直直角距離離”為若點，則則= ；已知點點，點是直直線上的的動點，的最小值為 ；先把直線方方程改寫寫成：，則則直線是是過定點點且斜率率為正的的直線設(shè)直線線與軸交交于點，與與交于點點，則構(gòu)成成直角三三角形如右圖圖所示先考慮的情情形：此此時若介介于間例例如點，我我們有：，也就就是處在在間時在點取最最小值；若在延長線線上例如如點：，所以以此時在在點取最最小值；若在延長線線上例如如點：，所以以此時在在點取最最小值；又由于于時，所以以綜合知知；類似地可以以知道：若，則則分別在在延長線線上、間間、

5、延長長線上時時，分別別在點，點，點取取最小值值，又此此時，故故；若則，在間間任意一一點都取取到最小小值這題用數(shù)形形結(jié)合，采采用直角角距離的的幾何意意義加分分類討論論不難解解決，如如用函數(shù)數(shù)定義來來做也是是可以的的，但是是顯然不不如幾何何意義來來得直觀觀有效（10-111年上上學(xué)期海海淀高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考文114）在平面直角角坐標系系中，為坐坐標原點點定義義、兩點之之間的“直直角距離離”為若點，則則= ；已已知，點點為直線線上動點點，則的的最小值值為 ；解法一（定定義法）：最小值為解法二（數(shù)數(shù)形結(jié)合合）：用直角距離離的幾何何意義，參參見上題題（10-111年上上學(xué)期西西城高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理114）

6、在平面直角角坐標系系中，定定義為兩兩點，之間的的“折線線距離”則坐標標原點與與直線上上一點的的“折線線距離”的的最小值值是 ；圓上一一點與直直線上一一點的“折折線距離離”的最最小值是是 ，第一問，可可直接利利用折線線距離的的幾何定定義：設(shè)直線與軸軸、軸分分別交于于點、：則，；當點點在的延長長線上時時，；當當點在的延長長線上時時，；當當點在之間時時，當點與與點重合合時取到到等號第二問，類類似第一一問可知知，當在單位位圓上固固定一點點時，對對于直線線上任一一點，當當且僅當當軸時取最最??；為了求水平平距離的的最小值值，如圖圖所示，過過作軸的平平行線交交直線于于，過作直直線的垂垂線垂足足為；則則為定值

7、值，為直直線的傾傾角的正正弦：；求水平平距離的的最小值值即為求求的最小小值；過點作直線線的垂線線，交單單位圓于于，垂足足為，則則當且僅僅當與重合時時，取到到最小值值；此時時過作軸的平平行線交交直線于于，則也取取到最小小值；，當分別別與重合合時取到到等號（10-111年上上學(xué)期西西城高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考文114）在平面直角角坐標系系中，定定義為兩兩點，之間的的“折線線距離”在這個個定義下下，給出出下列命命題：到原點的的“折線線距離”等等于的點點的集合合是一個個正方形形；到原點的的“折線線距離”等等于的點點的集合合是一個個圓；到兩點的的“折線線距離”之之和為的的點的集集合是面面積為的的六邊形形；到兩點

8、的的“折線線距離”差差的絕對對值為的的點的集集合是兩兩條平行行線其中正確的的命題是是 （寫出出所有正正確命題題的序號號）設(shè)點的坐坐標為，根根據(jù)定義義有，這這是條線線段圍成成的正方方形，如如上圖所示示自然錯錯誤更更一般地地，易見見到點的的“折線線距離”等等于的點點的集合合同樣也也是以為為中心半半對角線線長為的的斜正方方形，這這是歐氏氏距離下下圓的近近似；設(shè)點的坐坐標為，根根據(jù)定義義有，整整理得，畫畫出其圖圖像是上上圖所示示的六邊邊形，面面積為更一般般地不難難證明：若縱坐坐標相同同，則則到兩點點的“折折線距離離”和為為的點的的集合也也是類似似的對稱稱六邊形形，以為為對稱軸軸，以中中點為對對稱中心心

9、，長為為，高為為，水平平邊長為為，面積積，這是是歐氏距距離下橢橢圓的近近似；若若橫縱坐坐標均不不同時情情況將異異常復(fù)雜雜設(shè)點的坐坐標為，根根據(jù)定義義有，解解得，這這是兩條條豎直直直線，如如上圖所示示更一一般地不不難證明明：若縱縱坐標相相同，則則到兩點點的“折折線距離離”差的的絕對值值為的點點的集合合也是兩兩條豎直直直線，與與中點距距離為，這是是歐氏距距離下雙雙曲線的的近似；若橫縱縱坐標均均不同時時情況將將異常復(fù)復(fù)雜（10-111年上上學(xué)期東東城高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理88文8）已知函數(shù)的的定義域域為R，若存存在常數(shù)數(shù)，對任任意，有有，則稱稱為函數(shù)給出下下列函數(shù)數(shù)：；是定義義在R上的奇奇函數(shù)，且且滿足

10、對對一切實實數(shù)均有有其中中是函數(shù)數(shù)的序號號為（ ）A B CC DC時，時，即即過原點點的弦斜斜率有界界顯然滿足足上面性性質(zhì)；，但時無無界；，；，且時；如右圖所所示，是是奇函數(shù)數(shù)則；又又恒成立立，所以以所有的的弦斜率率絕對值值有界，自自然也是是過原點點的弦的的界，所所以（也也可以直直接取得得到）（10-111年上上學(xué)期東東城高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理114）已知函數(shù)，在在區(qū)間內(nèi)內(nèi)任取兩兩個實數(shù)數(shù)，且，不不等式恒恒成立，則則實數(shù)的的取值范范圍是 ，然后，可可以作為為整體換換元；題中條件件等價于于在區(qū)間間內(nèi)對于于任意兩兩個實數(shù)數(shù)，都有有；解法一：也就是區(qū)間間內(nèi)任一一割線斜斜率都大大于；我我們證明明這與區(qū)區(qū)

11、間內(nèi)任任一切線線斜率都都大于等等價如圖所示，若若區(qū)間內(nèi)內(nèi)任一割割線斜率率都大于于，由于于對區(qū)間間內(nèi)任一一點，都都存在割割線平行行于過點點的切線線；而斜斜率大于于，所以以點的切切線斜率率也大于于，由的任任意性，所所以任一一切線斜斜率都大大于；反之，若區(qū)區(qū)間內(nèi)任任一切線線斜率都都大于，由由于任一一條割線線，都存存在間一一點，使使得點的的切線與與割線平平行；所所以的斜斜率必定定大于；所以以任一割割線斜率率都大于于；，解法二：，在區(qū)間內(nèi)單單調(diào)遞增增的導(dǎo)數(shù)為正正，在區(qū)間上上恒成立立；即在在區(qū)間上上恒成立立；而在區(qū)間上上單調(diào)遞遞增且在在端點處處趨向于于，（可以取取到等號號），所所以的取取值范圍圍是（10-

12、111年上上學(xué)期朝朝陽高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理88）如圖，正方方體中，分別為為棱，上的點點 已已知下列列判斷：平面；在側(cè)面上上的正投投影是面面積為定定值的三三角形；在平面內(nèi)內(nèi)總存在在與平面面平行的的直線；平面與平平面所成成的二面面角（銳銳角）的的大小與與點的位位置有關(guān)關(guān)，與點點的位置置無關(guān)其中正確判判斷的個個數(shù)有（ ）A1個 B2個 C33個 D44個B顯然錯誤誤，用特特殊值法法很容易易舉出反反例：例例如和重合，和和重合，這這時平面面就是對對角面，此此時但顯然與與不重合合，不成成立；如圖，設(shè)設(shè)在上的射射影為，則則在側(cè)面面上的正正投影就就是，其其面積為為定值，為正方體棱長；平面與與平面不不重合且且共點

13、，故故必有交交線，平面內(nèi)只要是是平行于于的直線線都將平平行于平平面；事實上如圖圖，延長長交延長線線于，連接交于，則就是是平面與與平面的的交線，平面內(nèi)只要平行于的直線（不經(jīng)過）必定平行于平面；分別取點點與點、點重重合的情情形就知知道該命命題錯誤誤；事實上，由由于就是是平面與與平面的的交線，而而在平面面內(nèi)的射影影為，故過過作的延長長線于，則則就是兩兩個平面面的二面面角；二二面角的的大小由由長決定定位置置不但影影響到長長，還影影響到點點位置，進進而影響響到點位位置和大大小綜上知錯誤，正確確（10-111年上上學(xué)期朝朝陽高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理114）已知數(shù)列滿滿足：，定定義使為整數(shù)的數(shù)數(shù)叫做企企盼數(shù)，則則

14、區(qū)間內(nèi)內(nèi)所有的的企盼數(shù)數(shù)的和為為 若為企盼數(shù)數(shù)，則為為整數(shù)設(shè)設(shè)為，則則，則有有，也就就是必須須為的整整數(shù)冪次次；由于，這個范圍內(nèi)內(nèi)的整數(shù)數(shù)冪次只只有內(nèi)所有的的企盼數(shù)數(shù)的和為為（10-111年上上學(xué)期朝朝陽高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考文88）如圖，正方方體中，分別為為棱，的中點點，在平平面內(nèi)且且與平面面平行的的直線（ ）A有無數(shù)數(shù)條 B有有2條C有1條條 D不存在在A平面與平平面不重重合且共共點，所所以必有有交線，平面內(nèi)只只要是平平行于交交線的直直線都與與平面平平行，故故必有無無數(shù)條滿滿足題設(shè)設(shè)的直線線；為了看得更更清楚，如如圖所示示，設(shè)中中點為，中點為為，則平平面平面面設(shè)與交于點點，則就是是平面與與平面的

15、的交線；過作交于，連接接，則，于于是平面面內(nèi)只要與與平行的的直線（不不經(jīng)過）都都必定與與平面平行行（10-111年上上學(xué)期豐豐臺高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考理114）定義方程的的實數(shù)根根叫做函函數(shù)的 “新駐駐點”，如如果函數(shù)數(shù)，（）的“新新駐點”分分別為，那么么，的大小小關(guān)系是是 ，； ，；，因為在內(nèi)單單調(diào)遞減減且從趨趨向于，在區(qū)間間內(nèi)單調(diào)調(diào)遞增從從趨向于于，兩者有有唯一交交點，即即有唯一一解；，（10-111年上上學(xué)期豐豐臺高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考文114）若是一個集集合，是是一個以以的某些些子集為為元素的的集合，且且滿足：屬于，屬于；中任意意多個元元素的并并集屬于于；中任意意多個元元素的交交集屬于于則稱稱是集

16、合合上的一一個拓撲撲已知知集合，對對于下面面給出的的四個集集合：；其中是集合合上的拓拓撲的集集合的序序號是 不是拓撲撲，因為為，但；是拓撲，可可以逐一一驗證三三條性質(zhì)質(zhì)都滿足足；不是拓撲撲，因為為全集；是拓撲，可可以逐一一驗證三三條性質(zhì)質(zhì)也都滿滿足（10-111年上上學(xué)期石石景山高高三期末末統(tǒng)考文文8）已知，（、，且對對任意、都有：；給出以下三三個結(jié)論論：（11）；（22）；（33）其其中正確確的個數(shù)數(shù)為（）A BB CC DDA如下圖所示示，用一一個表格格來表示示這個二二元函數(shù)數(shù)的取值值，用行行代表的的取值，用用列代表表的取值值12345611357911224681012346810121

17、44810121416185161820222426那么根據(jù)條條件，行固定定時，每每行的數(shù)數(shù)成為一一個公差差為的等等差數(shù)列列；根據(jù)據(jù)條件，時，第第一列的的數(shù)構(gòu)成成一個公公比為的的等比數(shù)數(shù)列；據(jù)據(jù)此不難難寫出每每行每列列的值，容容易驗證證個結(jié)論論全部成成立，所所以選AA（10-111年上上學(xué)期昌昌平高三三期末統(tǒng)統(tǒng)考文88）在集合上定定義兩種種運算和和如下：那么（）A B C DDA直接讀圖知知道，；（10-111年上上學(xué)期房房山區(qū)高高三期末末統(tǒng)考理理14文114，220099崇文一一模理77文8）平面直角坐坐標系中中橫坐標標、縱坐坐標均為為整數(shù)的的點稱為為格點，如如果函數(shù)數(shù)的圖象象恰好通通過個格

18、格點，則則稱函數(shù)數(shù)為階格點點函數(shù)下列函函數(shù)：； ； ；，其中是是一階格格點函數(shù)數(shù)的有 （填上上所有滿滿足題意意的函數(shù)數(shù)的序號號）：，在上，經(jīng)過過無窮個個格點；：，當時時易見為為無理數(shù)數(shù)，只經(jīng)過過這個格點點；： 當時時都為整整數(shù)，經(jīng)過無無窮個格格點；：；若，則則，由于于互素，左左邊當且且僅當時時才為整整數(shù)，只經(jīng)過過原點這這個格點點；：若，則則，解得得或，經(jīng)過兩兩個格點點（20100北京卷卷理8）如圖，正方方體的棱棱長為22，動點點，在棱上，動動點，在棱，上，若若，（，大于零零），則則四面體體的體積積（ ）A與，都有關(guān)關(guān) B與有關(guān)關(guān)，與，無關(guān)C與有關(guān)關(guān)，與，無關(guān) D與有關(guān)關(guān)，與，無關(guān)D；如圖所示，

19、三三角形的的面積是是定值且且在平面面上所所以體積積只與到到平面的的距離有有關(guān)作作交于，作于因為為平面平平面且所以體積與與有關(guān)，與與，無關(guān)選D（20100北京卷卷文8）如圖，正方方體的棱棱長為22，動點點，在棱上，點點在棱的中中點，動動點在棱棱上，若若，（大于零零），則則三棱錐錐的體積積（ ）A與都有有關(guān)B與都無無關(guān)C與有關(guān)關(guān)，與無無關(guān)D與有關(guān)關(guān)，與無無關(guān)C；如圖所示，三三角形的的面積是是定值且且在平面面上所所以體積積只與到到平面的的距離有有關(guān)作作交于，作于因為為平面平平面且體積與有關(guān)關(guān)，與無無關(guān)故故選C（20100北京理理14）如圖放置的的邊長為為1的正正方形沿沿軸滾動，設(shè)頂點點的軌跡跡方程是

20、是，則函函數(shù)的最最小正周周期為_；在在其兩個個相鄰零零點間的的圖象與與軸所圍圍區(qū)域的的面積為為_說明：“正正方形沿沿軸滾動動”包括括沿軸正正方向和和沿軸負負方向滾滾動沿沿軸正方方向滾動動指的是是先以頂頂點為中中心順時時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，當頂頂點落在在軸上時時，再以以頂點為為中心順順時針旋旋轉(zhuǎn)，如如此繼續(xù)續(xù)類似似地，正正方形沿沿軸負方方向滾動動；上圖給出了了正方形形一個完完整周期期的滾動動情況初始時時邊在軸上，首首次滾動動是以為為圓心順順時針旋旋轉(zhuǎn)，這這時到了了軸上，到到了原先先的位置置，的軌軌跡是以以為圓心心為半徑徑的弧；第二次次滾動以以落到軸軸上的點點為圓心心順時針針旋轉(zhuǎn)，然然后到了了軸上，到到了原

21、先先的位置置，的軌軌跡是以以為圓心心為半徑徑的??；第三次次滾動以以落到軸軸上的點點為圓心心順時針針旋轉(zhuǎn)，然然后到了了軸上，到到了原先先的位置置，的軌軌跡是以以為圓心心為半徑徑的??；第四次次滾動以以落到軸軸上的點點為圓心心順時針針旋轉(zhuǎn)，然然后到了了軸上，到到了原先先的位置置，點在在這個滾滾動中靜靜止不動動這時時邊又回回到了軸軸上，下下一次滾滾動又以以為圓心心開始，故故這次滾滾動構(gòu)成成一個周周期由由圖像知知的最小小正周期期就是連連續(xù)兩次次落到軸軸上之間間的距離離，即正正方形的的周長；所圍成成的面積積（20100北京卷卷文144）如圖放置的的邊長為為1的正正方形沿沿軸滾動動，設(shè)頂頂點的縱縱坐標與與橫

22、坐標標的函數(shù)數(shù)關(guān)系式式是，則則函數(shù)的的最小正正周期為為_；在其兩兩個相鄰鄰零點間間的圖象象與軸所所圍區(qū)域域的面積積為_說明：“正正方形沿沿軸滾動動”包括括沿軸正正方向和和沿軸負負方向滾滾動沿沿軸正方方向滾動動指的是是先以頂頂點為中中心順時時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，當頂頂點落在在軸上時時，再以以頂點為為中心順順時針旋旋轉(zhuǎn)，如如此繼續(xù)續(xù)類似似地，正正方形沿沿軸負方方向滾動動；解析與與上題完完全類似似（20099北京理理8）點在直線上上，若存存在過的的直線交交拋物線線于，兩點，且且，則稱點為為“A點”，那那么下列列結(jié)論中中正確的的是（ ）A直線上上的所有有點都是是“A點”B直線上上僅有有有限個點點是“AA點”C直

23、線上上的所有有點都不不是“AA點”D直線上上有無窮窮多個點點（點不不是所有有的點）是是“A點”A本題主要考考查閱讀讀與理解解、信息息遷移以以及學(xué)生生的學(xué)習習潛力，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力屬于創(chuàng)新題型本題采作數(shù)數(shù)形結(jié)合合法易于于求解，如如圖，設(shè)，則，在上，消去，整理理得關(guān)于于的方程程 恒成立，方程恒恒有實數(shù)數(shù)解，應(yīng)選AA（20099北京理理14）已已知數(shù)列列滿足：，則_；_1，0本題主要考考查周期期數(shù)列等等基礎(chǔ)知知識屬屬于創(chuàng)新新題型依題意，得得， 應(yīng)填1，00（20099北京卷卷文8）設(shè)設(shè)是正及其其內(nèi)部的的點構(gòu)成成的集合合，點是是的中心心，若集集合，則則集合表示示的平面面區(qū)域是是（ ）A

24、三角形形區(qū)域B四四邊形區(qū)區(qū)域C五五邊形區(qū)區(qū)域D六六邊形區(qū)區(qū)域 D本題結(jié)合平平面幾何何，考察察集合的的知識如圖，是線線段的中中垂線，每每條中垂垂線都將將平面分分成兩部部分，滿滿足的點點的集合合為直線線包含的那那一側(cè)因此表表示的平平面區(qū)域域如圖陰陰影所示示（20099北京卷卷文144）設(shè)是是整數(shù)集集的一個個非空子子集，對對于，如如果，且且，那么么稱是的一個個“孤立立元”給定，由由的個元素素構(gòu)成的的所有集集合中，不不含“孤孤立元”的的集合共共有 個個；設(shè)集合滿足足要求，其其中，因因為，所以要要使不是是“孤立立元”，只只能，于于是只能能；同樣樣的，因因為，所所以，從從而因此滿足要要求的集集合只能能是連

25、續(xù)續(xù)三個數(shù)數(shù)組成的的集合，即即只有滿足條件集合與新概概念結(jié)合合的題型型，有一一定的難難度，考考察對數(shù)數(shù)學(xué)新定定義的理理解能力力（20088北京卷卷理8文8）如圖，動點點在正方方體的對對角線上上過點點作垂直直于平面面的直線線，與正正方體表表面相交交于設(shè)設(shè)，則函函數(shù)的圖圖象大致致是（ ）B過兩點分別別作的平平行線，交交（或）于于點，連連結(jié)，交交于點，則則為平面面四邊形形又平平面，故故，從而而；又平面面，故，故故為矩形形，從而而當時，；當時，；故圖象大致致為B（20088北京卷卷理144）某校數(shù)學(xué)課課外小組組在坐標標紙上，為為學(xué)校的的一塊空空地設(shè)計計植樹方方案如下下：第棵棵樹種植植在點處處，其中中，

26、當時，；表示非負實實數(shù)的整整數(shù)部分分，例如如，按此此方案，第第棵樹種種植點的的坐標應(yīng)應(yīng)為 ；第棵樹樹種植點點的坐標標應(yīng)為 ，于是，；，于是故第棵樹的的種植點點的坐標標為；，故第第棵樹的的種植點點坐標為為（20100海淀一一模理88）已知數(shù)列具具有性質(zhì)質(zhì)：對任任意，與兩數(shù)中中至少有有一個是是該數(shù)列列中的一一項現(xiàn)現(xiàn)給出以以下四個個命題： 數(shù)列具具有性質(zhì)質(zhì)； 數(shù)列具具有性質(zhì)質(zhì)； 若數(shù)列列具有性性質(zhì)，則則； 若數(shù)列列具有性性質(zhì)，則則其中真命題題有（ ）A個 BB個 C個 D個個 B，都不不在數(shù)列列中，數(shù)列不具具有性質(zhì)質(zhì)；容易驗證證數(shù)列具具有性質(zhì)質(zhì)；取，不在在數(shù)列中中，則在在數(shù)列中中，而數(shù)數(shù)列中最最小的

27、數(shù)數(shù)，因此此；由的分分析知，由于，不在數(shù)列中，因此必然在數(shù)列中又，故，于是，等式成立（20100海淀一一模理114）在平面直角角坐標系系中，點點集，則 點集所所表示的的區(qū)域的的面積為為_； 點集所所表示的的區(qū)域的的面積為為 ；點集就是整整個單位位圓；點點集所表表示的區(qū)區(qū)域是如如圖所示示的直角角三角形形，其中中， 點集是是將點集集中的所所有點橫橫坐標加加縱坐標標加得到到的，即即都進行行了一個個向量的的平移，所所以整體體上集合合也按照照向量進進行了平平移，得得到的點點集還是是一個半半徑為的的圓，圓圓心在，所所以面積積依舊是是； 點集實實際上可可以寫成成：，其其中看成成是按照照向量的的平移得得到的點

28、點集而得到的是是以為圓圓心半徑徑為的圓圓，所以以就是所所有圓心心在里半半徑為的的圓的并并；如圖圖所示：當半徑徑為的圓圓在邊界界上滑動動時，分分別得到到矩形，矩矩形，矩形形；在頂頂點滾動動時，得得到三個個扇形；所以最最終就是是圖示陰陰影部分分不難難求得面面積解決本題的的關(guān)鍵在在于發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實質(zhì)是是的平移移，是的全體體平移的的并如如果只從從集合的的描述性性表示入入手的話話是很抽抽象的本題可可以推廣廣到一般般情形：如果是是兩個閉閉圖形，則則都是的全全體平移移的并（20100海淀一一模文114）若點集，則則點集所表表示的區(qū)區(qū)域的面面積為_；點集所表表示的區(qū)區(qū)域的面面積為_ ；點集就是整整個單位位圓；點點集

29、所表表示的區(qū)區(qū)域是邊邊長為的的正方形形，如圖圖所示 點集是是將點集集中的所所有點橫橫縱坐標標均加得得到的，即即都進行行了一個個向量的的平移，所所以整體體上集合合也按照照向量進進行了平平移，得得到的點點集還是是一個半半徑為的的圓，圓圓心在，所所以面積積依舊是是；點集實際際上可以以寫成：，其中中看成是是按照向向量的平平移得到到的點集集而得到的是是以為圓圓心半徑徑為的圓圓，所以以就是所所有圓心心在正方方形里半徑徑為的圓圓的并；如圖所所示：當當半徑為為的圓在在邊界上上滑動時時，分別別得到個個長為寬寬為的矩矩形；在在頂點滾滾動時，得得到個扇扇形；所所以最終終就是圖圖示陰影影部分不難求求得面積積（2010

30、0朝陽一一模理114）一個數(shù)字生生成器，生生成規(guī)則則如下：第1次次生成一一個數(shù)，以以后每次次生成的的結(jié)果是是將上一一次生成成的每一一個數(shù)生生成兩個個數(shù)，一一個是 ，另一一個是設(shè)第次次生成的的數(shù)的個個數(shù)為，則則數(shù)列的的前項和和 ；若，前前次生成成的所有有數(shù)中不不同的數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)為，則則 ；，每次次生成數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)都比上上一次翻翻倍，所所以，；為了研究所所有生成成數(shù)中不不同數(shù)的的個數(shù)，我我們用一一個雙排排單鏈表表來考察察一下生生成數(shù)的的過程：時，只有11個數(shù)；時，共有33個數(shù)：起，生成的的所有數(shù)數(shù)形成了了一個雙雙排單鏈鏈表，其其中箭頭頭代表生生成過程程：時的鏈表如如下：這個鏈表具具有這樣樣的規(guī)律律

31、：第一排從從左往右右，第二二排從右右往左，都都是公差差為3的的等差數(shù)數(shù)列；第第一排的的與第二二排的對對應(yīng)；兩排項數(shù)數(shù)相同但但是錯開開1項，除除掉第一一排的尾尾項與第第二排的的首項以以外，其其余項一一一對應(yīng)應(yīng)且互為為相反數(shù)數(shù)；在生成數(shù)數(shù)的過程程中，第第一排的的數(shù)只能能生成其其右邊和和下邊的的數(shù)，第第二排的的數(shù)只能能生成其其左邊和和上邊的的數(shù)，箭箭頭表明明了生成成的過程程；從到時，根根據(jù)，鏈表的中中間段不不可能再再生成新新數(shù)，只只有第一一排尾項項與第二二排首項項能生成成新數(shù)，第第一排尾尾項為兩兩排右邊邊各加一一項，變變成兩排排的新尾尾項；第第二排首首項為兩兩排左邊邊各加一一項，變變成兩排排的新首首

32、項；根據(jù)，的鏈表表每排項項數(shù)比的的鏈表多多2，每每排有33項，每每排有55項，每排有有項；當時，的的第一排排被3除除余1，第第二排被被3除余余2，所所以兩排排的項不不會重復(fù)復(fù)，從而而列出了了前次生成成的所有有不同的的數(shù)；為鏈表表的項數(shù)數(shù)，即；另外，下面給出了了鏈表：（20100朝陽一一模文114）一個數(shù)字生生成器，生生成規(guī)則則如下：第1次次生成一一個數(shù)，以以后每次次生成的的結(jié)果可可將上一一次生成成的每一一個數(shù)生生成兩個個數(shù)，一一個是 ，另一一個是設(shè)第次次生成的的數(shù)的個個數(shù)為，則則數(shù)列的的前項和和 ；若，前前次生成成的所有有數(shù)中不不同的數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)為，則則 ；，每次次生成數(shù)數(shù)的個數(shù)數(shù)都比上上一次

33、翻翻倍，所所以，；，時，生成成的所有有數(shù)為：（20100東城一一模理114）如果對任意意一個三三角形，只只要它的的三邊長長，都在函函數(shù)的定定義域內(nèi)內(nèi)，就有有，也是某某個三角角形的三三邊長，則則稱為“型函數(shù)數(shù)”則則下列函函數(shù)：； ； ，是“型函函數(shù)”的的序號為為 ；若，則，故故滿足；若，則，故滿足；反例：，時，構(gòu)成成三角形形，但，故故不構(gòu)成成三角形形（20100石景山山一模理理14文114）在數(shù)列中，若若，（，為常數(shù)數(shù)），則則稱為“等等方差數(shù)數(shù)列”下列是是對“等等方差數(shù)數(shù)列”的的判斷：若是等方方差數(shù)列列，則是是等差數(shù)數(shù)列；是等方差差數(shù)列；若是等方方差數(shù)列列，則（，為常數(shù)數(shù)）也是是等方差差數(shù)列；若

34、既是等等方差數(shù)數(shù)列，又又是等差差數(shù)列，則則該數(shù)列列為常數(shù)數(shù)列其中正確命命題序號號為 （將將所有正正確的命命題序號號填在橫橫線上）由定義可知知，是公公差為的的等差數(shù)數(shù)列，正確；為常數(shù)，故故是等方方差數(shù)列列，正確；若，則為常數(shù)，對；設(shè)公差為，則則，結(jié)合合，兩式式相減可可得，故故是常數(shù)數(shù)列，對（20100西城一一模理114）設(shè)函數(shù)的定定義域為為，若存存在非零零實數(shù)使使得對于于任意，有有，且，則則稱為上的高調(diào)調(diào)函數(shù)如果定義域域是的函函數(shù)為上的高調(diào)調(diào)函數(shù)，那那么實數(shù)數(shù)的取值值范圍是是 如果定義域域為的函函數(shù)是奇奇函數(shù)，當當時，且且為上的高調(diào)函函數(shù)，那那么實數(shù)數(shù)的取值值范圍是是 ；第一問，依依定義，在上恒

35、成立，即在上恒成立；由于，分兩種情況討論：時，若，矛盾盾；所以以這種情情形不存存在；時，在上上，一次次函數(shù)在在處取到到最小值值，根據(jù)據(jù)題意，只只需要最最小值即即可，解解得；實數(shù)的取取值范圍圍是；第二問，用用數(shù)形結(jié)結(jié)合的思思想來解解決如圖所示，先先作出的的圖象，其其圖象是是由三條條直線構(gòu)構(gòu)成的折折線，與與軸有三三個交點點、；極大大值點；極小值值點；而是沿軸向向左平移移個單位位得到的的圖象，當當且僅當當?shù)挠叶硕酥本€整整體處于于的左端端直線上上方時，才才有恒成成立（如如圖所示示的實線線與虛線線）；即即當且僅僅當時才是高調(diào)調(diào)函數(shù)，解解得的取取值范圍圍是（20100西城一一模文114）設(shè)函數(shù)的定定義域為

36、為，若存存在非零零實數(shù)使使得對于于任意，有有，且，則則稱為上的高調(diào)調(diào)函數(shù)現(xiàn)給出下列列命題：函數(shù)為上上的高調(diào)調(diào)函數(shù)；函數(shù)為上上的高調(diào)調(diào)函數(shù)；如果定義義域為的的函數(shù)為為上高調(diào)函函數(shù)，那那么實數(shù)數(shù)的取值值范圍是是；其中正確的的命題是是 （寫出出所有正正確命題題的序號號）；中為減函函數(shù)，故故不可能能是高調(diào)調(diào)函數(shù)；中，故故正確；的圖象象如下圖圖所示，要要使得，有有；時，恒恒有，故故即可，正確（20100西城二二模文88）給出函數(shù)的的一條性性質(zhì)：“存存在常數(shù)數(shù)，使得得對于定定義域中中的一切切實數(shù)均均成立” 則下下列函數(shù)數(shù)中具有有這條性性質(zhì)的函函數(shù)是（ ）A B C DD條件需存在在常數(shù)使使得恒成成立，這這

37、就意味味著必須須在定義義域上存存在上界界；對于選項AA，無上界；對對于選項項B，無無上界；對于選項CC，無上界，對對于選項項D，有有上界（20100西城二二模文114）我們可以利利用數(shù)列列的遞推推公式求求出這個個數(shù)列各各項的值值，使得得這個數(shù)數(shù)列中的的每一項項都是奇奇數(shù)則則 ；研究發(fā)現(xiàn)，該該數(shù)列中中的奇數(shù)數(shù)都會重重復(fù)出現(xiàn)現(xiàn)，那么么第個是該數(shù)數(shù)列的第第 項，同時，因因此；第個出現(xiàn)在在第項，因因此第個個是該數(shù)數(shù)列的第第（20100海淀二二模理114）給給定集合合，映射射滿足：當時，；任取若，則則有則稱映射：是一個個“優(yōu)映映射”例如：用表11表示的的映射：是一個個“優(yōu)映映射” 表表1 表221232

38、3112343 已知表表2表示的的映射： 是一一個優(yōu)映映射，請請把表22補充完完整（只只需填出出一個滿滿足條件件的映射射）； 若映射射：是“優(yōu)優(yōu)映射”，且且方程的的解恰有有6個，則則這樣的的“優(yōu)映映射”的的個數(shù)是是 1234或123423142341考慮怎樣的的映射才才能構(gòu)成成優(yōu)映射射，設(shè)是是一個優(yōu)優(yōu)映射，則則：若，不難知知道此時時，即是恒恒等映射射；若，則可知知，此時時如果，則又又有；若，則又有有，此時時又轉(zhuǎn)化化成對還還是的討討論：若若，則；若，類似地地；如此過程反反復(fù)進行行，至多多進行次次，最終終我們可可以得到到：是的優(yōu)映映射，當當且僅當當存在一一個單增增序列，使使得在該該序列上上是右輪輪

39、換映射射，在其其余值是是恒等映映射，即即：，在本題中，滿滿足的解解恰有個個的優(yōu)映映射，其其輪換序序列為，有有種情形形，所以以滿足題題意的優(yōu)優(yōu)映射有有個（20100海淀二二模文114）給給定集合合，若是的映射射，且滿滿足： 任取若若，則； 任取若若，則有有則稱映射為為的一個個“優(yōu)映映射”例如：用表表1表示示的映射射：是一個個“優(yōu)映映射”表1123231表212343 已知：是一個個“優(yōu)映映射”，請請把表22補充完整整（只需需填出一一個滿足足條件的的映射）； 若：是是“優(yōu)映映射”， 且，則則的最大大值為 1234或123423142341考慮怎樣的的映射才才能構(gòu)成成優(yōu)映射射，設(shè)是是一個優(yōu)優(yōu)映射，則

40、則：若，不難知知道此時時，即是恒恒等映射射；若，則可知知，此時時如果，則則又有；若，則又有有，此時時又轉(zhuǎn)化化成對還還是的討討論：若若，則；若，類似地地；如此過程反反復(fù)進行行，至多多進行次次，最終終我們可可以得到到：是的優(yōu)映映射，當當且僅當當存在一一個單增增序列，使使得在該該序列上上是右輪輪換映射射，在其其余值是是恒等映映射，即即：，本題中，由由于，所所以輪換換序列滿滿足，于于是，（20099西城二二模理114，20110東城城二模理理8）已知集集合，函函數(shù)的定定義域、值值域都是是，且對對于任意意， 設(shè)設(shè)，是1，22，3，44的任意意一個排排列，定定義數(shù)表表，若兩兩個數(shù)表表的對應(yīng)應(yīng)位置上上至少有

41、有一個數(shù)數(shù)不同，就就說這是是兩張不不同的數(shù)數(shù)表，那那么滿足足條件的的不同的的數(shù)表的的張數(shù)為為_；是的排列，且且的排列列中，有有1個位位置相同同的排列列有個，有有2個位位置相同同的排列列有個，有有3個位位置相同同（即完完全相同同）的排排列有11個，所所以4個個位置全全不相同同的排列列有個即函數(shù)數(shù)的取值值有9種種情形；而可以以為的任任一排列列，故表表總張數(shù)數(shù)為個（20100東城二二模理114）已知數(shù)列中中，是其其前項和和，若，且且，則= ， 6，易算出，即即是周期期為的數(shù)數(shù)列，故故，（20100二模東東城文88）已知數(shù)列中中，（），（），能能使的可以等等于（ ）A B CC DC；，接著，是周期期

42、為的周周期數(shù)列列；當且僅當當為周期期的整數(shù)數(shù)倍，即即，符合合條件的的只有CC項（20100豐臺二二模理114）對對于各數(shù)數(shù)互不相相等的正正數(shù)數(shù)組組（是不小小于的正正整數(shù)），如如果在時時有，則則稱“與與”是該該數(shù)組的的一個“順順序”，一一個數(shù)組組中所有有“順序序”的個個數(shù)稱為為此數(shù)組組的“順順序數(shù)”例如，數(shù)數(shù)組中有有順序“”，“”，其“順序數(shù)”等于若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“順序數(shù)”是，則的“順序數(shù)”是 ；原先的“倒倒序”經(jīng)經(jīng)過逆序序排列之之后變成成“順序序”，“順順序”變變成“倒倒序”，所所以逆序序排列中中的“順順序數(shù)”為（20100豐臺二二模文88）在一個數(shù)列列中，若若每一項項與它的的后一項

43、項的乘積積都同為為一個常常數(shù)（有有限數(shù)列列最后一一項除外外），則則稱該數(shù)數(shù)列為等等積數(shù)列列，其中中常數(shù)稱稱公積若數(shù)列列是等積積數(shù)列，且且，公積積為，則則的值是是（ ）A BB C DD分析條件可可知，該該數(shù)列為為，也就就是說所所有的奇奇數(shù)項都都是于是（20099朝陽二二模理88）已知滿足條條件的點點構(gòu)成的的平面區(qū)區(qū)域的面面積為，滿滿足條件件的點構(gòu)成成的平面面區(qū)域的的面積為為，（其其中、分別表表示不大大于、的最大整整數(shù)），則則點一定定在（ ）A直線左左上方的的區(qū)域內(nèi)內(nèi) B直線上上 C直線右右下方的的區(qū)域內(nèi)內(nèi) DD直線線左下方方的區(qū)域域內(nèi) A就是單位圓圓面，所所以而而求就要要費一番番周折了了：，根

44、據(jù)取整整函數(shù)的的定義可可以畫出出其圖像像如下：可見代表的的區(qū)域是是一個十十字，所所以所所以A，B，CC中只有有A對，DD也是錯錯誤的，注：此題如如果直接接根據(jù)而而試圖得得到是錯錯誤的（雖雖然結(jié)果果正確）由圖示示可以看看到，兩兩塊區(qū)域域并不是是互相包包含的關(guān)關(guān)系，各各自都含含有對方方?jīng)]有的的部分，是錯誤的，例如（20099朝陽二二模理113）對對于任意意兩個正正整數(shù)，定定義運算算（用表表示運算算符號）：當，都是正正偶數(shù)或或都是正正奇數(shù)時時，；而而當，中一個個為正偶偶數(shù)，另另一個為為正奇數(shù)數(shù)時，例如，在上上述定義義中，集集合的元元素有 個15；同奇偶時有有11組組：；異奇偶偶時有44組：（2009

45、9朝陽二二模文88，100-111年上學(xué)學(xué)期昌平平高三期期末統(tǒng)考考理8）已知滿足條條件的點點構(gòu)成的的平面區(qū)區(qū)域的面面積為，滿滿足條件件的點構(gòu)成成的平面面區(qū)域的的面積為為，（其其中、分別表表示不大大于、的最大大整數(shù)），例例如，則與的關(guān)系是是（ ）A B C DD就是單位圓圓面，所所以而而求就要要費一番番周折了了：，根據(jù)取整整函數(shù)的的定義可可以畫出出其圖像像如下：可見代表的的區(qū)域是是一個十十字，所所以所所以B，CC，D中中只有DD對，AA也是錯錯誤的（20099崇文二二模理114）定義“和常常數(shù)列”：在一個個數(shù)列中中，如果果每一項項與它的的后一項項的和都都為同一一個常數(shù)數(shù)，那么么這個數(shù)數(shù)列叫做做和

46、常數(shù)數(shù)列，這這個常數(shù)數(shù)叫做該該數(shù)列的的和常已知數(shù)數(shù)列是和和常數(shù)列列，且，和和常為55，那么么的值為為 ，若若為偶數(shù)數(shù)，則這這個數(shù)列列的前項項和的計計算公式式為 ； 該數(shù)列為22，3，22，3，2，33，偶數(shù)數(shù)頂為33，故若為偶數(shù)，（20099海淀二二模理114，110-111年上上學(xué)期石石景山高高三期末末統(tǒng)考理理8）下圖展示了了一個由由區(qū)間到到實數(shù)集集的映射射過程：區(qū)間中中的實數(shù)數(shù)對應(yīng)數(shù)數(shù)軸上的的點，如如圖1；將線段段圍成一個個圓，使使兩端點點、恰好重重合，如如圖2；再將這這個圓放放在平面面直角坐坐標系中中，使其其圓心在在軸上，點點的坐標標為，如如圖3圖3中中直線與與軸交于于點，則則的象就就是

47、，記記作 方程的的解是 ； 下列說說法中正正確命題題的序號號是 （填填出所有有正確命命題的序序號）；是奇奇函數(shù)；在定義義域上單單調(diào)遞增增；的圖象象關(guān)于點點對稱；解法一（根根據(jù)的映映射方式式）： 象點與與原點重重合是直直徑點的的初始坐坐標是；所對的的圓心角角為直線線的傾角角為的斜斜率為點點在原點點左側(cè)且且點坐標標為；的定義域域是，所所以肯定定不是奇奇函數(shù)；增大弧長長增大所所對的圓圓心角增增大直線線的傾角角增大直直線的截截距即點點坐標增增大的值值增大；如右圖，設(shè)設(shè)將點映射射到，點映射射到，設(shè)設(shè)所對的的值分別別為則關(guān)于軸對稱稱當且僅僅當也關(guān)關(guān)于軸對對稱當且且僅當當當且僅當當當且僅僅當?shù)膱D圖象關(guān)于于點

48、對稱稱解法二（寫寫出的解解析式）：如圖所示，的映射方式是將弧長映射到的有向長度設(shè)圓心為，若若點對應(yīng)應(yīng)的值為為，即弧弧長，注注意到圓圓周長為為1，則則弧長所所對的圓圓心角，根據(jù)正切函函數(shù)的定定義，其其中，；解得得；根據(jù)的的解析式式，易知知的解為為，命題題中只只有成立（20099海淀二二模文114）如圖1，有有一條長長度為的的鐵絲，先先將鐵絲絲圍成一一個圓，使使兩端點點、恰好重重合（如如圖2），再再把這個個圓放在在平面直直角坐標標系中，點點的坐標標為，圓圓心為，鐵鐵絲上有有一動點點，且圖圖1中線段段，在圖圖形變化化過程中中，圖11中線段段的長度度對應(yīng)于于圖3中的弧弧的長度度圖33中線段段所在直直線

49、與軸軸交點為為，當時，等于于 ；當當時，則則圖3中線段段所在直直線的傾傾斜角的的取值范范圍是 ；解法一（根根據(jù)的映映射方式式）：當時，弧長長，圓周周長為，所所以是直直徑與軸軸重合，所所以點與與原點重重合，；由于圓半徑徑為1，當時，弧長的長度介于到之間，所對的圓心角介于和之間，如圖所示，設(shè)圓心為，此時，不難求得此時，的傾角分別為；當介于優(yōu)弧上時，的傾角也介于到之間；傾角的取值范圍為類似上題可可以寫出出的解析析式為（20099西城二二模文114）已知三個函函數(shù)：； ； 其中滿足性性質(zhì)：“對對于任意意，若，則有有成立”的的函數(shù)是是 （寫出全全部正確確結(jié)論的的序號） 容易舉舉出反例例：，取，則，顯顯然

50、； 注意到到在上單調(diào)調(diào)遞減，恒成立； 在上單單調(diào)遞增增，恒成立立可以證明，對對于連續(xù)續(xù)函數(shù)，滿足題題干中的的性質(zhì)等等價于是是（嚴格格）單調(diào)調(diào)函數(shù)：若是單調(diào)函函數(shù)，完完全類似似解析中中的辦法法，可知知必定恒恒成立；反之，若滿滿足題干干中的性性質(zhì)，則則必定不不存在不不同的兩兩點，使使得，否否則，矛矛盾；于于是對于于任意三三點，不不可能出出現(xiàn)或者者這兩種種情形，否否則由介介值定理理知存在在使得，矛矛盾；于于是只能能有或者者，前者者說明單單調(diào)遞增增，后者者說明單單調(diào)遞減減（20099宣武二二模理114）在平面直角角坐標系系中，定定義點、之間的的“直角角距離”為為若到點點，的“直直角距離離”相等等，其中

51、中實數(shù)滿滿足，則則所有滿滿足條件件點的軌軌跡的長長度之和和為 根據(jù)題意，點點滿足，移移項得若，得，解解得；這這是一條條水平射射線；若，得，解解得；這這也是一一條水平平射線；若，得，解解得，這這是一條條斜率為為的斜線段段最后結(jié)合可可知的軌軌跡是如如圖所示示的折線線：全長長為結(jié)論可以推推廣到普普遍情形形：到兩兩定點的的直角距距離相等等的點的的軌跡如如下：若連線水水平或豎豎直，則則軌跡就就是的垂垂直平分分線；若構(gòu)成正正方形的的對頂點點，則軌軌跡是正正方形的的另一條條對角線線，外加加以為頂頂點的與與正方形形相對的的兩塊直直角區(qū)域域（包括括邊界）；若構(gòu)成長長寬不等等的矩形形對頂點點，則軌軌跡為兩兩條射線

52、線加一條條斜線段段，作法法如下： 過矩矩形中心心作斜的直直線，直直線方向向與方向向相反；設(shè)直線線與矩形形邊界交交于兩點點；分別過向向外作與與矩形邊邊界垂直直的射線線，則折折線為所所求上圖就是一一個典型型的例子子，其它它情況是是類似的的這是是歐氏距距離下垂垂直平分分線的近近似（20099石景山山一模理理8）設(shè) ，又記記，則_A B C DA，一般地地，是以為周周期的數(shù)數(shù)列，選A本題的函數(shù)數(shù)列稱為為迭代函函數(shù)列一般地地，可以以用如下下方式構(gòu)構(gòu)造以任任意正整整數(shù)為周周期的迭迭代函數(shù)數(shù)列：，把該該函數(shù)寫寫成一般般形式：，顯見，本題題中的函函數(shù)就是是的特殊殊情形（20099石景山山一模文文8）設(shè)，又記，

53、則（ ）A B CC DC，一般般地，是以為周周期的數(shù)數(shù)列，選C（20088朝陽二二模理88文8）集合由滿足足以下條條件的函函數(shù)組成成：對任任意時，都都有對對于兩個個函數(shù)，以以下關(guān)系系成立的的是（ ）A BC DD解法一（應(yīng)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)數(shù)中值定定理思想想）：即時，即函函數(shù)所有有的弦（割割線）的的斜率都都在間如下圖左所所示，若若所有的的弦斜率率在間，在曲曲線上任任取一點點，由于于與點的切切線平行行的弦的斜率率在間，所以以點的切線線斜率必必定在之之間，即即曲線所有有的切線線斜率在在間；反之之，若曲曲線所有有的切線線斜率都都在間，那那么對于于任一弦弦，由于于其平行行于弦間間的某條條切線，所所以弦的的斜率

54、也也在間恒成立恒恒成立對于，如如下圖中中，時，所以以滿足題題設(shè)性質(zhì)質(zhì)，；對對于，易易知其在在原點存存在切線線，所以以其導(dǎo)數(shù)數(shù)在附近近無上界界，不滿滿足題設(shè)設(shè)性質(zhì)，解法二（直直接法）：先直接根據(jù)據(jù)定義證證明；再再結(jié)合圖圖像舉出出反例，證證明這類涉及到到函數(shù)弦弦斜率的的問題，直直接應(yīng)用用導(dǎo)數(shù)中中值定理理思想是是比較快快速的解解決方案案雖然然學(xué)生由由于知識識所限無無法嚴格格證明，但但這種思思想?yún)s是是可由圖圖形簡單單闡釋的的這自自然比解解法二逐逐一依據(jù)據(jù)定義驗驗證要省省時許多多（20099朝陽一一模理114文114）定義映射，其其中，已知知對所有有的有序序正整數(shù)數(shù)對滿足足下述條條件：；若，；，則的值值

55、是 ；的表達達式為 （用含的代代數(shù)式表表示），如下圖所示示，用一一個表格格來表示示這個二二元函數(shù)數(shù)的取值值，用行行代表的的取值，用用列代表表的取值值123456110000021200003166000411436240051301502401200616254015601800720根據(jù)條件，第一一列的元元素都是是；根據(jù)條件，在對對角線以以上的上上半三角角部分的的元素都都是；根據(jù)條件，每個個格子的的元素，由由其上面面和左上上角格子子的元素素決定；，；再根據(jù)遞推推公式，以以及，不難求求得（20099海淀一一模理88文8）對于數(shù)列，若若存在常常數(shù)，使使得對任任意，與中至少少有一個個不小于于，則記

56、記：，那那么下列列命題正正確的是是（ ）A若，則則數(shù)列的的各項均均大于或或等于B若，則則C若，則則D若，則則D；A錯誤，例例如數(shù)列列：，奇數(shù)數(shù)項全為為1偶數(shù)數(shù)項全為為0，則則，但其其偶數(shù)項項均小于于1；B錯誤，同同樣類似似的數(shù)列列：，也滿滿足，但但為各項項為1的的常數(shù)列列，不成成立；C錯誤，恒恒為0的的常數(shù)列列滿足，但但不成立立；D正確，因因為，與中至少少有一個個不小于于，與中至少少有一成成立；與中至少少有一成成立；（20099西城一一模理114）已知函數(shù)由由下表給給出01234其中等于在在中所出現(xiàn)現(xiàn)的次數(shù)數(shù)則 ； 因為等于在在總共個個數(shù)中出出現(xiàn)的次次數(shù)，由由于次數(shù)數(shù)必定為為整數(shù)且且最多為為，所以以必定有有；不存在的的情形；即；否則若，則則代表出出現(xiàn)次，于于是這個個數(shù)為；而又，所所以這個個數(shù)只能能為；于于是但出現(xiàn)次，矛矛盾；一方面，中中共個數(shù)數(shù)，這些些數(shù)的和和為；另一方面，中只有個，個，個，個，個，除此之外沒有別的數(shù)（由），所以總共只有個數(shù)，這些數(shù)的和為；兩方面對比比即得；由知（否否則）；下面我我們證明明；不然，若，則則，這個方程組組只有唯唯一解（由由）：，于于是這里里但出現(xiàn)次，矛矛盾；，這里已已經(jīng)可以以解答原原題，如如果想求求出每個個數(shù)的值值，還要要繼續(xù)往往