曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

1、 /13例2計(jì)算曲面積分1=川(ax+by+cz+n)2dS，其中為球面x2+y2+z2=R2.解I=U(ax+by+cz+n)2dS(a2X2+b2y2+C2Z2+n2+2abxy+2acxz+2bcyz+2anx+2bny+2cnz)dS由積分曲面的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性知JJxydS=JJxzdS=JJyzdS=JJxdS=JJydS=JJzdS=0又由輪換對(duì)稱性知JJx2dS凡dSLdSI-a2JJx2dS+bJJ+c2Hz2dS+乙dS同，性.=(a2+b2+xdS+MJdSa2+:+同，性.=(a2+b2+xdS+MJdSa2+:+c2JJ(x2+y2+z2)dS+4R2n2a2

2、+b2+c2R2JJdS+4兀R2n2=4兀七R+b+c2)+n2方法技巧對(duì)面積的曲面積分的對(duì)稱性與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性不理解起來(lái)更容易些.若碰到積分曲面是對(duì)稱曲面，做題時(shí)可先考慮一下對(duì)稱例3計(jì)算曲面積分+y2+z)dS，其中為球面x+y2+z2=2ax.x2+y2+z2)dS=JJ2axdS=2ax一a)dS+2a2JJdS=0+dS=2a24兀a2=8兀a4方法技巧積分曲面是關(guān)于x-a二0對(duì)稱的，被積函數(shù)-a是x-a的奇函數(shù)，因此v(xa)dS=0其中L為圓周x2+y2=a其中L為圓周x2+y2=a2(a0)的逆，時(shí)針?lè)较?解法1直接計(jì)算.將積分曲線L表示為參數(shù)方程形式L:+y-x+y

3、P=,Q=x2+y2L:+y-x+yP=,Q=x2+y2x+y2代入被積函數(shù)中得Nxy2dy-x2ydx=aJ2叫cosesin2ecose-cos2esine(-sine)心+V22兀sin2ecos2e022兀sin2ecos2e02兀sin2e(1-sin2e)=8a3j2(sir2esin4e)d0=8aOr0解法2利用格林公式蜒xydy-xydx=103,1兀-31兀=1兀a312242252lx2+y2Jxy2dy-X2ydx=L1ir，(x2+y2)dxdyaD其中D:x2+其中D:x2+y2Q在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5計(jì)算曲線積分J（x+y）dx（x-y）dy，其中L為

4、沿y=兀cosx由點(diǎn)Lx2+y2A（-兀，兀）到點(diǎn)B（-兀，-兀）的曲線弧.解直接計(jì)算比較困難.由于由于OPx-y2-2xyOQ0y=(x2+y2)2Ox一因此在不包含原點(diǎn)0（0,0）的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無(wú)關(guān).取圓周x2+V2=2兀2上從A（-兀,兀）到點(diǎn)B（-兀，-兀）的弧段L，代替原弧段L，其參數(shù)方程為：l，:1x戶cos9J(x+其參數(shù)方程為：l，:1x戶cos9J(x+y)dx-(x-y)dy1|y=2兀sin。(。：二一幻),代入被積函數(shù)中得Lx2+y2(x+y)dx-(x-y)dyL，=J(coA+sinA)(-sin9)-(coA-sinA)cos0兀方法技巧本題的關(guān)鍵是選

5、取積分弧段L既要保證L，簡(jiǎn)單，又要保證不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).例6計(jì)算曲面積分+ydzdx+zdxdy，其中E為x+y+z=1的法E向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面解由于曲面E具有輪換對(duì)稱性，解由于曲面E具有輪換對(duì)稱性，xOy面的區(qū)域D=jx,y)x+y1JJxdydz=JJydzdxJJzdxdy，E投影到E，故+ydzdx+ydzdx+zdxdy=3JJzdxdy3JJ(1-y)2dxdy=3=3JJ(1-x-Dxyy)2dxdy=3JldxJ(1-x)2(1-x-、,1J，y)2dy=21(1-x)4dx20d1t=1-x-J0t4(1-t)dt=301因此可以將dydz,dzd遁方法技巧由于積分

6、曲面因此可以將dydz,dzd遁接轉(zhuǎn)換為dxdy，E只要投影到xOy面即可.例7計(jì)算曲面積分JJ(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy，其中E為錐E面z2=x2+y2在0zh部分的上側(cè).解利用高斯公式.添加輔助面E:z=h(x2+y2h2)，取下側(cè)，則JJ(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy=(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdye+e1TJ(x-y2)dydz+(y-z)dzdx(z-X2)dxdy二加3螭dzNdxdy-dxdydz+二加3螭dzNdxdy-其中Q為和圍成的空間圓錐區(qū)域，Dx其中Q為和圍成的空間

7、圓錐區(qū)域，Dxy1x,y)除+y2h2xyD為投影到xOy面的區(qū)域，即xy，由D的輪換對(duì)稱性，有xyJJx2dxdy=Dxy1IL、一2(x2+y2)dxdyDxyJJ(x-y)dydz+(y-z)dzdx+(z-X2)dxdy-4+hJJdxdy-D-4+hJJdxdy-D1=-兀h3+hg兀h2-21JJ2Dxy(X2+y2)dxdyhp3dp=-1兀h44方法技巧添加輔助面時(shí)，既要滿足封閉性，又要滿足對(duì)側(cè)的要求.本題由于積分錐面取上側(cè)(內(nèi)側(cè))因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時(shí)，前面要添加負(fù)號(hào).例8計(jì)算曲線積分N(z-y)dx+(x-z)dy+

8、(x-y)dz，其中L:+y2=1Lx-y+z=2從z軸的正向往負(fù)向看，L的方向是順時(shí)針?lè)较?解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令:面的投影區(qū)域?yàn)镈=x,y)x+y21xyx-y+z=2(x2+y21)取下側(cè)，在xOy，則JJ-y)dx+(x-JJ-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=Ldydzaaxzydzdxa0yx-zdxdyaazxy=JJ2dxdy=-2JJdxdy=-2兀xy方法技巧本題用斯托克斯公式計(jì)算比直接寫出曲線L的參數(shù)方程代入要簡(jiǎn)單，所有應(yīng)用斯托克斯公式的題目，曲面的選取都是關(guān)鍵，既要簡(jiǎn)單，又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習(xí).二、曲線積分與曲面積

9、分的物理應(yīng)用1.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下:(1)曲線或曲面形物體的質(zhì)量.(2)曲線或曲面的質(zhì)心(形心)(3)曲線或曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(4)1.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下:(1)曲線或曲面形物體的質(zhì)量.(2)曲線或曲面的質(zhì)心(形心)(3)曲線或曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(4)變力沿曲線所作的功.矢量場(chǎng)沿有向曲面的通量.(6)散度和旋度.2.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論:M=Jp(x,y)ds(1)平面曲線形物體空間曲線形物體曲面形構(gòu)件一JL,M=p(x,yz)dsLM=JJp(x,yz)dSE(2)質(zhì)心坐標(biāo)平面曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo):J-xp(x,y)dsx=Lp(x,y)dsLyp

10、(x,y)dsy=Lp(xy)dsL空間曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo):xyP(x,y)ds(xl,yxyP(x,y)ds(xl,y,z)d“P(x,yz)dS曲面形物體的質(zhì)心坐標(biāo):JJxp(x,yz)dSJy=yp(XLP(x,y)ds,y,z)dYP(x,y,z)dSJJyp(x,y,z)dSJzpp(xy)ds(xl,y,z)dsJJf/LJp(x,yz)dSJJzp(x,yz)dSE當(dāng)密度均勻時(shí)，質(zhì)心也稱為形心.IIx(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x平面曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:二，TJ-y2p(x,y)ds,I=x2p(x,y)dsTJ,TJ,一-I=(z2+x)p(x,y,z)dsL空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：T

11、J1=(丫2+z)p(x,y,z)dsTJI=(x2+y)P(x,yz)dsz10/1311/1311/13曲面形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I。2Z2)(x,y,z)dS,I(4X2)(x,y,z)dSxyI(X2y2)(x,y,z)dSz其中(x,y)和區(qū)丫區(qū)分別為平面物體的密度和空間物體的密度.(4)變力沿曲線所作的功平面上質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WP(x,y)dxQ(x,y)dyAB空間質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y,z)i+Q(x,y,zj+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WP(x,y,z)dxQ(x,y

12、,z)dyR(x,y,z)dzAB(2)矢量場(chǎng)沿有向曲面的通量矢量場(chǎng)AP(x,y,z)i+Q(x,y,zj+R(x,y,z)k通過(guò)有向曲面指定側(cè)的通量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(3)散度和旋度矢量場(chǎng)AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度丁APQRdivAxyz矢量場(chǎng)AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度RQPRQPr0tA(_)i()j+()kyzzxxyijkxyzPQR1.曲線積分或曲面積分應(yīng)用題的計(jì)算步驟：根據(jù)所求物理量，代入相應(yīng)的公式中;(2)計(jì)算曲線積分或曲面積分.例9設(shè)質(zhì)點(diǎn)在場(chǎng)力f

13、=卜y-x的作用下，沿曲線：y=ncosx由A(0,兀)r222移動(dòng)到B(50)，求場(chǎng)力所做的功.(其中r=x2+y2,k為常數(shù))y解積分曲線L如圖11.7所示.場(chǎng)力所做的功為W=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy.y.x.=kjdx-rdy(x+y00)圖11.7TOC o 1-5 h zAB(x+y00)圖11.7令P=y,Q=-2x，2則P=k(x2-y2)=0Qr2r2y22yr4x即在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無(wú)關(guān),另取由A到B的路徑:L:x=ncos,y=nsin0(0:：0)1222W=kydx-rxdy=k0-(sirO+cos20)d0=nkL1r22兀22方法技巧

14、本題的關(guān)鍵是另取路徑L，一般而言，最簡(jiǎn)單的路徑為折線1路徑，比如AOOB，但不可以選取此路徑，因?yàn)镼在原點(diǎn)處不連續(xù),換句話說(shuō)，所取路徑不能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)然路徑L的取法不是唯一的.1例10設(shè)密度為1的流體的流速v=xz2i+sinxk，曲面是由曲線y=1+z2(1z2)饒z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，其法向量與2軸正向的夾角為x=0銳角，求單位時(shí)間內(nèi)流體流向曲面正側(cè)的流量Q.解旋轉(zhuǎn)曲面為:x2+y2-z=1(1z2)，令為平面z=1在內(nèi)的部分i取上側(cè)，為平面z=2在內(nèi)的部分取下側(cè)，則+為封閉曲面的內(nèi)側(cè)，Q=JJP(x,y,z)dydz+Qx,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy二Hxz2dydz+sinxdxdyJJxz2dydz+JJxz2d