七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)(含解析)專題24相交線與平行線

1、專題24訂交線與平行線閱讀與思慮在同一平面內(nèi)，兩條不同樣直線有兩種地點(diǎn)關(guān)系：訂交或平行當(dāng)兩條直線訂交或兩條直線分別與第三條直線訂交，就產(chǎn)生對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等地點(diǎn)關(guān)系角，善于從訂交線中辨別出以上不同樣名稱的角是解有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，掌握對(duì)頂角有公共極點(diǎn)，而同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角沒(méi)有公共極點(diǎn)且有一條邊在截線上，這是識(shí)圖的重點(diǎn).兩直線平行的判斷方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問(wèn)題的主要依據(jù).1.平行線的判斷(1)同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(2)平行于同素來(lái)線的兩條直線平行；(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同素來(lái)線的兩條直線平行.平行線的性質(zhì)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直

2、線和這條直線平行；兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)若是一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】(1)如圖，AB/DEZABO80,ZCDIB140，則ZBCd.(安徽省中考試題)(2)如圖，已知直線AB/CDZC=115,ZA=25,則ZE=.(浙江省杭州市中考試題)1C解題思路：作平行線，運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特點(diǎn)進(jìn)行求解【例2】如圖，平行直線ABCD與訂交直線EF,GHf交，圖中的同旁內(nèi)角共有A.4對(duì)B.8對(duì)C.12對(duì)D.16對(duì)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路:每一個(gè)“三線八角”基本圖形都有兩對(duì)同旁內(nèi)角，從對(duì)原圖進(jìn)行

3、分解下手.例2題圖例3題圖【例3】如圖，在ABC中，CHAB于E,DHAB于F,AC/EDCE是ZACB勺均分線，求證:ZEDQZBDF（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：綜合運(yùn)用垂直定義、角均分線、平行線的判斷與性質(zhì)，由于圖形復(fù)雜，因此，證明前注意分解圖形.【例4】如圖，已知AB/CDZEAR1ZEAB/FC已1ZECD求證：ZAFQ-ZAEC444（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）2解題思路：分別過(guò)點(diǎn)E,F作平行線，利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系例4題圖例5題圖【例5如圖，已知Z1=Z2,ZCZD,求證：ZA=ZF.解題思路：從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的地點(diǎn)關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的地點(diǎn)關(guān)系,是解這類

4、問(wèn)題的基本思路.【例6】(1)已知平面內(nèi)有4條直線a,b,c和d,直線a,b和c訂交于一點(diǎn)，直線b,c和d也訂交于一點(diǎn)，試確定這4條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？并說(shuō)明你的原因.作第5條直線e與(1)中的直線d平行.說(shuō)明：以這5條直線的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思路：(1)先設(shè)直線a,b,c的交點(diǎn)為P,直線b,c,d的交點(diǎn)為Q證得P與Q實(shí)為同一點(diǎn)，得出結(jié)論.(2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質(zhì).3能力訓(xùn)練1.在同一平面內(nèi)有ai,a2,a3，a十條直線，若是a/a?,a2Xa3,ana4,a4!_a5,a5/a6,a6a?,，那么a與可。的地點(diǎn)關(guān)系是2.如圖，已知AE/B

5、DZ1=130/2=,30,則Z.（湖南省常德市中考試題）3.如圖，直線a,b都與直線c訂交，以下命題中，能判斷allb的條件是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上）Z1=72;Z3=76;Z1=Z8;Z5+Z8=180.（陜西省中考試題）第2題第3題第4題圖將兩張矩形紙片以以下圖擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)極點(diǎn)碰巧落在另一張矩形紙片的一邊上，貝U/1+Z2.（山東省煙臺(tái)市中考試題）5.下面四個(gè)命題中正確的選項(xiàng)是（）4A.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角B.和等于1800的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角連結(jié)兩點(diǎn)的最短線是過(guò)這兩點(diǎn)的直線兩條直線訂交所成的四個(gè)角都相等，則這兩條直線相互垂直（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）以下命題兩條訂

6、交直線組成的四個(gè)角相等，則這兩直線垂直.兩條訂交直線組成的四個(gè)角中，若有一個(gè)直角，則四角都相等.兩條直線訂交，一角的兩鄰補(bǔ)角相等，則這兩直.線垂直.兩條直線訂交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則這兩直線垂直.其中正確的有（）.A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè).如圖，DHEG/BC且DCEF,那么圖中與/BFE相等的角（不包括/BFE）的個(gè)數(shù)是（）A.2B（山東省荷澤地域中考試題）8.如圖，AB/CD/EF/GHAE/DG點(diǎn)C在AE上，點(diǎn)F在DG上，設(shè)與Z部目等的角的個(gè)數(shù)為m（不包括/a自己），與ZE互補(bǔ)的角的個(gè)數(shù)為n.若a乒E，貝Unun的值是（）A.8第7題59.如圖，已知AB/ED/NC&30分求Z

7、B的度數(shù).,CZBCEChCM610.如圖，已知E是ABCB卜一點(diǎn)，/BZEZE,求證：AB/CD11.平面上有10條直線，無(wú)任何3條交于一點(diǎn)，要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到?（吉林省競(jìng)賽試題）12.如圖，已知CD/EF,Z1+Z2=ZABC求證：AB/GF（重慶市競(jìng)賽試題）71.如圖，.zA=60,Z1=Z2,則ZADC勺度數(shù)是2.如圖，直線allb,那么Nx的度數(shù)是（五城市聯(lián)賽試題）第1題3.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D,C分別落在D,C的地點(diǎn)，若/EFA65,貝UZAED=_（山東省中考試題）4.如圖，已知DE/BCZ2=70Z,1=40,那ZEBA勺度數(shù)是第5題圖

8、5.如圖，直線k/l,z4-Z3=Z3Z2=Z2Z3=d0.其中Z3v90，/1=50,則Z4最大可能的整數(shù)值是（）.A.107B.1088C.109.1106.如圖，AB/CDEEE電CDTH,貝UZBAOZACBZCEF#于().1800?2700C.3600（北京市競(jìng)賽試題）.如圖，兩直線ABCDW,貝UZ1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().6300B.720.8000D.900（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）第7題圖.兩條直線a,b相互平行，直線a上按次有10個(gè)點(diǎn)A,A2，A10,直線b上按次有9個(gè)點(diǎn)Bi,B2,，B3,將a上每一個(gè)點(diǎn)與b上每一個(gè)點(diǎn)相連可得線段.若沒(méi)有三條線段訂交于同一點(diǎn)，

9、則這些線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.90B.1620C.6480D.20069.如圖，已知兩條平行線ABCD被直線EF所截，交點(diǎn)分別為GH,P為HD上隨意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，求證：/HORZAGRZHPO9如圖，在ABK,AA7,AO11,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是ZBAC的均分線，M刊AD求FC的長(zhǎng).（2013年“數(shù)學(xué)周報(bào)”杯競(jìng)賽試題）11.平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于26.（莫斯科八年級(jí)競(jìng)賽試題）1012.如圖，MA/NA,則ZA+ZA=如圖，MA/NA,則ZA+Z如圖A+ZA=.，MA/NA,則ZA+Z如圖，MA/NA,則ZA+ZA+ZA+ZA4=.A+

10、ZA+ZA+ZAs=從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)?jiān)趫D，圖，圖中選一個(gè)證明你的結(jié)論|(第21題)(2)如圖5,MA1|NAn，則A1中A2+NA3十+4n=(3)利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖已知AB|CD,2ABE和ZCDE的均分線訂交于F,NE=140，求NBFD的度數(shù).11專題24訂交線與平行線例1(1)40過(guò)點(diǎn)C作CFAB則ZBCFZABO80.ZDCF180140=40二,ZBC#80-40=40.(2)90過(guò)點(diǎn)E作EM/AB?AB/CD?EM/CDZAEM18025=155.ZCEM180115=65?,E=Z.AZCEM155-65=90.例2D提示：原圖可分解為8個(gè)基本圖形.例3

11、提示:由DF/CE得，/例4過(guò)E作EM/ABAB/BD=ZBCE/FDE=ZDECAC/DE得ZDE(=ZECA于CD?-EM/CD?.?ZAEC=ZAEMZCEMZEABZECD同理：ZAFC=ZFA8ZFCD.ZAEC=ZFABZFCDZEAF+ZECF=ZAFG?ZEAB14+ZEC9ZAFG?ZAEC故ZAFC=?ZAEC例5提示：先證BD/CE再證DF/BC例6（1）直線a,b,c,d共有1個(gè)交點(diǎn)，原因以下：設(shè)直線a,/b,c的交點(diǎn)為P,直線b,c,d的交點(diǎn)為Q這意味著點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是直線b和c的交點(diǎn).而兩條不同樣直線至多有一個(gè)交點(diǎn).因此P、和Q必為同一個(gè)點(diǎn).即4條直線a,b,c和d訂

12、交于同一個(gè)點(diǎn).因此e這4條直線只有一個(gè)交點(diǎn).a不如設(shè)（1）中交點(diǎn)為O由于作的第5條直線e與（1）中的直線d平行，因此直線e和直線d沒(méi)有公共點(diǎn)，因此這些e可是點(diǎn)O而直線a,b,c與直線e一定都訂交以以下圖.設(shè)直線e與直線a,b,c分別訂交于點(diǎn)A,B,C這時(shí)有A,B,C,。共四個(gè)不同樣的點(diǎn).能夠連出OAOBOCARACBC共6條不同樣的線段.A級(jí)1.a1/a102.203.4.905.D6.B7.C8.D提示：m=5,n=6,m+n=5+6=11.9.6010.提示：過(guò)點(diǎn)E作EF/AB11以以下圖.12.作CK/FG延伸GFCg于H點(diǎn)，則Z1+Z2=ZABC故ZABCZBCK180,12即CK/A

13、AB/GF13級(jí)1.1202.723.50提示4.：30Z2=505.C+d,/3=50+2d,/4=50又Z+3d,3=50+290,d20,Z4=50110+3故.Z4的最大整數(shù)值為109.dd6.B7.D8.B提示：由題意知每一個(gè)交點(diǎn)由a上兩點(diǎn)和b上兩點(diǎn)所確定.在a上取兩點(diǎn)有偵ZOx勺-鈕種情況，在b上取兩點(diǎn)有12X9X8=36種情況，故友點(diǎn)個(gè)數(shù)為45*36=1620個(gè).提示：過(guò)點(diǎn)O作CD勺平行線.如圖，設(shè)N是AC的中點(diǎn)，連結(jié)MN貝UMNIAB又MF/ADFMNZBADZDACZMFNFN=MN=?AB因此FC=FN+NC=?ABH2AC=?(ABAC=?(7+11)=9.11.提示：在平面上任取一點(diǎn)O將已知的七條直線平移過(guò)點(diǎn)Q