概率統(tǒng)計(jì)~宗序平課件

1、 主講宗序平概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 柯爾莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德 等國(guó)的外籍院士 及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 為 20 世紀(jì)最有影響的俄國(guó)數(shù)學(xué)家.俄國(guó)數(shù)學(xué)家 概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年建立. 1.3 概率的公理化定義 柯爾莫哥洛夫?yàn)殚_創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一系列重要分支作出重大貢獻(xiàn). 他建立了在測(cè)度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng), 奠定了近代概率論的基礎(chǔ). 他又是隨機(jī)過程論的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 關(guān)于強(qiáng)大數(shù)定律、重對(duì)數(shù)律的基本工作; 1933年在概率論的基本概念一文中提出的概率論公理體系(希爾伯特第

2、6問題) 30年代建立的馬爾可夫過程的兩個(gè)基本方程; 用希爾伯特空間的幾何理論建立弱平穩(wěn)序列的線性理論; 40年代完成獨(dú)立和的弱極限理論,經(jīng)驗(yàn)分布的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計(jì)量等; 在動(dòng)力系統(tǒng)中開創(chuàng)了關(guān)于哈密頓系統(tǒng)的微擾理論與K系統(tǒng)遍歷理論; 50年代中期開創(chuàng)了研究函數(shù)特征的信息論方法, 他的工作及隨后阿諾爾德的工作解決并深化了希爾伯特第13問題用較少變量的函數(shù)表示較多變量的函數(shù) ;60年代后又創(chuàng)立了信息算法理論;一個(gè)實(shí)數(shù)P ( A )與之對(duì)應(yīng), 且P(A)滿足 非負(fù)性： 規(guī)范性： 可列可加性：P(A)稱為事件 A 的概率。一、定義設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)T 的樣本空間，若能找到為兩兩互不相容事件，其中一個(gè)法則，

3、使得對(duì)于T 的每一事件A ,總有P(A)是事件A的函數(shù)，自變量為事件A，其稱(, ,)為概率空間.值域?yàn)?,1.定義域?yàn)锳A二、概率的性質(zhì)性質(zhì)1 P()=0性質(zhì)5.(加法公式) 對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 推廣：半可加性加法公式加法公式一般：半可加性右端共有項(xiàng).加法公式例1 對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB應(yīng)用性質(zhì)2例3 設(shè)A , B滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在什么條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解 最小值 最大值最大值在 時(shí)取得. 最小值在時(shí)取

4、得.例4一只口袋中有45只白球，5只黑球，今從中任取3只球，求其中有黑球的概率. 這個(gè)問題也可用如下的方法： 解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分別表示“取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3, 顯然AA 1A 2A 3, 且A 1, A 2, A 3兩兩互不相容球全為白球” ，則表示“取出的三個(gè)性質(zhì)6. (連續(xù)性) 對(duì)任意的單調(diào)事件組 有稱概率P是連續(xù)的。則稱m是下連續(xù)的。定義 對(duì)事件域上的非負(fù)集函數(shù)m，若對(duì)的非降的事件組，即有則稱m是上連續(xù)的。同理 對(duì)事件域上的非負(fù)集函數(shù)m，若對(duì)的非增的事件組，即m既是下連續(xù)的又是上連續(xù)的，則稱m是連續(xù)的。引理：m是上非負(fù)、規(guī)范的集函

5、數(shù)，則m具有可列可加性的充要條件是：（1）m具有有限可加性；（2）m在是下連續(xù)的。證明：（1）顯然成立。（2）設(shè)則且兩兩互不相容。由m的可列可加性，得由m的可列可加性，不難推出(i)(ii)兩兩互不相容，上式兩邊取極限m具有有限可加性，得令由m是下連續(xù)的，得性質(zhì)6. (連續(xù)性) 對(duì)任意的單調(diào)事件組 有證明：由引理知P具有下連續(xù)性；另一方面，設(shè)由下連續(xù)性有即P具有上連續(xù)性。這個(gè)例子是歷史上有名的匹配問題。例7 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有1,2,3,4 的 4 個(gè)盒子中，每盒放一球，求至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致的概率解 設(shè) A 為所求的事件設(shè) Ai 表示 i 號(hào)球入 i 號(hào)盒， i = 1,2,3,4則例8某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙. 沒有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解:設(shè)A,B