2023級高數(shù)A下復(fù)習(xí)題(習(xí)題)

1、高等數(shù)學(xué)A(下)期末考試復(fù)習(xí)知識要點多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。討論二元函數(shù)的可微性。偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)取得極值的必要條件與充分條件。利用對稱性簡化重積分的計算。二重積分計算、極坐標(biāo)系下二重積分的計算。球坐標(biāo)系下三重積分的計算。功的計算，曲線積分與路徑無關(guān)性。對坐標(biāo)的曲面積分的定義與計算。高斯公式的應(yīng)用。數(shù)項級數(shù)斂散性判別法，比值判別法。冪級數(shù)的收斂性質(zhì)以及收斂區(qū)間。函數(shù)展開成周期為2的正弦級數(shù)、余弦級數(shù)。一、多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)1、設(shè)函數(shù)由方程所確定，那么=。2、設(shè)函數(shù)由方程所確定，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么=。3、設(shè)，那么=。4、考慮二元函數(shù)的下面四條性質(zhì)：在點處

2、連續(xù)； 在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；在點處可微； 在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。假設(shè)用“表示可由性質(zhì)推出性質(zhì)，那么有 5、假設(shè)，那么= (A) (B) (C) (D) 6、設(shè)在極坐標(biāo)：下不依賴于，即，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么= 。(A) ； (B) ； (C)；(D) 。7、設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而，那么= 。(A) ；(B) ； (C) ； (D) ；8、設(shè)，那么 。A 0； B不存在； C 1； D ；答案：1、；2、；3、；4A；5、D6、A；7、C；8、C9、具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求。10、設(shè)由方程確定，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明。11、設(shè)，而由方程所確定，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。二、討論二元函數(shù)

3、的可微性1、設(shè)，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義求。2、設(shè) ，那么在原點處( D ).(A)偏導(dǎo)數(shù)不存在； (B)不可微； (C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)； (D)可微 .3、設(shè)，證明在處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微三、偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)取得極值的必要條件與充分條件1、函數(shù)在條件下的極大值是( C )(A) (B)(C) (D)2、點 A 是二元函數(shù)的極小點。2、設(shè)函數(shù)在點處可微，那么點是函數(shù)的極值點的必要條件為3、假設(shè)函數(shù)在點處取得極小值3，那么常數(shù)之積_。答：304、假設(shè)函數(shù)在點處取得極值，那么常數(shù)。答：。5、討論函數(shù)的極值。四、利用對稱性簡化重積分計算1、計算，其中是閉區(qū)域:。2、計算二重積分，其中3、設(shè)是由曲面所圍的

4、有界閉區(qū)域，計算。4、設(shè)(其中那么。答：。5、其中是由球面所圍成的閉區(qū)域 .答：0五、二重積分的計算，極坐標(biāo)系下二重積分的計算1、二次積分在極坐標(biāo)系下的累次積分為 。答：2、假設(shè)，那么區(qū)域D為 。答：A3、設(shè)域是域D上的連續(xù)函數(shù)，那么( )(A) (B) (C) (D) 答：A4、設(shè)為,當(dāng)( )時,. (A) 1； (B) ； (C) ； (D) .答：B5、當(dāng)是 圍成的區(qū)域時，二重積分(A)； (B)；(C)； (D).答：A6、計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域。7、,其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域。8、計算二次積分9、計算二重積分其中D是以為頂點的三角形區(qū)域。10、計算二次積分11、試求曲面x

5、2+y2=6z與所圍立體的體積。六、球坐標(biāo)系下三重積分的計算1、設(shè)是由所確定的球體，試將化成球面坐標(biāo)下的三次積分式。答：2、設(shè)是由閉曲面所圍的立體，計算。答：3、設(shè)連續(xù)，且，求，其中是由球面圍成的立體。答：1七、功的計算，曲線積分與路徑無關(guān)性1、設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么在內(nèi)與路徑無關(guān)的條件是( ).(A)充分條件; (B)必要條件; (C)充要條件.答：C2、設(shè)，因為，所以 。A對任意閉曲線C，有； B在曲線C不圍住原點時，有；C因與在原點不存在，故對任意的閉曲線C，有；D在閉曲線C圍住原點時，不圍住原點時。答：B3、曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，其中可微，那么應(yīng)滿足的微分方程

6、是。答：4、力場，質(zhì)點從原點出發(fā)沿著軸運動到點，然后再沿直線段到，再沿著軸回到原點，求力所做的功。解：5、證明:在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的開區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分,并求出一個這樣的二元函數(shù) .答：6、設(shè)，求原函數(shù)。7、函數(shù)，1是否存在函數(shù)，使得?2如果存在，試求出它。8、設(shè)是某二元函數(shù)的全微分，那么 )A 0 B 1 C 2 D 3答：A9、假設(shè)是某二元函數(shù)的全微分，那么的關(guān)系是答：B八、對坐標(biāo)的曲面積分的定義與計算1、曲面積分在數(shù)值上等于 ； ；答：C2、求向量通過區(qū)域的邊界曲面流向外側(cè)的通量 .答：33、設(shè)是柱面的介于平面及間的局部曲面的外側(cè)，那么。4、計算，其中是由半錐面、平面

7、和所圍成的圓臺的側(cè)面的下側(cè)。5、計算其中是球面在第一卦限局部的上側(cè)，R為正數(shù)。6、計算，其中是以、三點為頂點的平面三角形，并取其法向量指向不包含原點的一側(cè)。7、計算，其中是柱面上由及所限定的那局部曲面的前側(cè)，R是正數(shù)。8、設(shè)有空間流速場求通過曲面位于平面以下局部的下側(cè)的通量(流量)。九、高斯公式的應(yīng)用1、計算其中是球面的下半局部曲面的下側(cè)，a為正數(shù)。2、求，其中為錐面的下側(cè)。3、計算積分，其中是介于和之間的圓柱體的整個外表的外側(cè)。4、計算積分，其中是球面的外側(cè)。5、計算曲面積分，其中是由曲面與所圍成立體外表的外側(cè)。6、設(shè)空間閉區(qū)域由曲面平面所圍成，為的外表外側(cè)，V是的體積，a為正數(shù)。試證明：十

8、、數(shù)項級數(shù)收斂性判別法，比值判別法1、為任意正的實數(shù)，假設(shè)級數(shù)，都收斂，那么有A ; B； C ; D。答：C級數(shù)是收斂的，那么 A必收斂； B未必收斂； C； D發(fā)散；答：B3、設(shè)有級數(shù)1與級數(shù) 2那么( )A級數(shù)12都收斂； B級數(shù)12都發(fā)散；C級數(shù)1收斂，級數(shù)2發(fā)散； D級數(shù)1發(fā)散，級數(shù)2收斂。答：C4、級數(shù)常數(shù) 。A發(fā)散； B條件收斂； C絕對收斂； D斂散性與有關(guān)。答：C5、極限的值為。答：0。6、判別以下級數(shù)的斂散性1；2;(3)；(4)7、判別級數(shù)的斂散性。8、證明: 假設(shè)級數(shù)滿足：12收斂，那么收斂。十一、冪級數(shù)的收斂性質(zhì)以及收斂區(qū)間1、逐項求導(dǎo)與逐項積分之后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的。答：收斂半徑2、冪級數(shù)的收斂區(qū)間是，收斂域是。答：，3、如果冪級數(shù)的收斂半徑是1，那么級數(shù)在開區(qū)間內(nèi)收斂。答：。4、設(shè)級數(shù)的收斂半徑是1，那么級數(shù)在點 (A)發(fā)散； (B)條件收斂； (C)絕對收斂； (D)不能確定斂散性。答：A5、如果，那么冪級數(shù)在開區(qū)間內(nèi)收斂。答：6、冪級數(shù)的收斂半徑，冪級數(shù)的收斂半徑為，那么 。答：B7、假設(shè)冪級的收斂半徑為;的收斂半徑為,那么冪級數(shù)的收斂半徑至少為( )(A)； (B)； (C)； (D)答：D8、試求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域。9、求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。10、試求級數(shù)的和。11、試求冪級數(shù)和函數(shù)