高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）

1、第一章 集合與常用邏輯用語本章知識結(jié)構(gòu)圖互逆互為逆否互逆互逆互為逆否互逆互否互否等價(jià)關(guān)系關(guān)系原命題：若p，則q逆命題：若q，則p否命題：若p,則q逆否命題：若,則集合集合元素的特征確定性、互異性、無序性集合的分類無限集有限集空集集合間的基本關(guān)系子集真子集相等集合間的基本運(yùn)算交集AB并集ABVenn圖、數(shù)軸充要條件充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件簡易邏輯命題全稱命題與存在性命題全稱量詞：任意；存在量詞：存在復(fù)合命題且：pq或：pq非：p一假則假，兩真為真一真便真，兩假為假補(bǔ)集考綱解讀1.集合的含義與表示了解集合的含義、元素與集合的關(guān)系；能用自然語言、圖形語言和集

2、合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題2.集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義能識別給定集合的子集；在具體的情境中，了解全集與空集的含義3.集合的基本運(yùn)算理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算命題趨勢探究有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分近年來試題加強(qiáng)了對集合計(jì)算和化簡能力的考查，并向無限集方向發(fā)展，考查學(xué)生的抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡的

3、訓(xùn)練預(yù)測2019年高考，將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具性作用，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨(dú)立具體估計(jì)為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)北京、重慶等地也可能以集合為基礎(chǔ)，綜合其他知識在最后一題的位置出現(xiàn)考查學(xué)生的綜合推理能力（2）熱點(diǎn)是集合間的基本運(yùn)算、數(shù)軸法的應(yīng)用和體現(xiàn)集合的語言工具作用知識點(diǎn)精講一、集合的有關(guān)概念1集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對象外，還可以是其他對象2集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互

4、不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn)（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān)如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法4常用數(shù)集的表示R一實(shí)數(shù)集 Q一有理數(shù)集 Z一整數(shù)集 N一自然數(shù)集或一正整數(shù)集 C一復(fù)數(shù)集二、集合間的關(guān)系1元素與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種空集：不含有任何元素的集合，記作2集合與集合之間的關(guān)系（1）包含關(guān)系子集：如果對任意，則集合是集合的子集，記為或，顯然規(guī)定：（2）相等關(guān)系對于兩個(gè)集合與，如果，同時(shí)，那么集合與相等，記作（3）真子集關(guān)系對于兩個(gè)集合與，若，且存在，但，則集合是集合

5、的真子集，記作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算包括集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，如表所示表交集AAB并集AAB補(bǔ)集AAI1交集由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即2并集由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，叫做與的并集，記作，即3補(bǔ)集已知全集，集合，由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合相對于全集的補(bǔ)集，記作，即四、集合運(yùn)算中常用的結(jié)論1集合中的邏輯關(guān)系（1）交集的運(yùn)算性質(zhì)， ，（2）并集的運(yùn)算性質(zhì)， ，（3）補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)， ，補(bǔ)充性質(zhì)：（4）結(jié)合律與分配律結(jié)合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的補(bǔ)

6、補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)補(bǔ)的交”2由個(gè)元素組成的集合的子集個(gè)數(shù)的子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)3容斥原理題型歸納及思路提示題型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無序性、互異性例1.1 設(shè)，集合，則（ ）A B C D解析：由題意知，又，故，得，則集合，可得，故選C。變式1 已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）A B C D解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 所以 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT ,B中所含元素的個(gè)數(shù)為10.故選D變式2 (2017濟(jì)

7、南調(diào)研)設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，則PQ中元素的個(gè)數(shù)是()A9 B8 C7 D6解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，ab1,2,6；當(dāng)a2時(shí)，ab3,4,8；當(dāng)a5時(shí)，ab6,7,11.由集合中元素的互異性知PQ中有1,2,3,4,6,7,8,11共8個(gè)元素故選B題型2 集合間的基本關(guān)系思路提示（1）判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法（2）已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足

8、的關(guān)系，解決這類問題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析一、集合關(guān)系中的判斷問題例1.2 若，則，之間的關(guān)系為（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列舉，因此，故選C評注：解法一是數(shù)學(xué)中“求同比異”的思想，值得學(xué)習(xí)；解法二是列舉法，易于入手，也是做選擇題的常用方法變式1 設(shè)集合，則 B C D解析 集合M中的元素 QUOTE * MERGEFORMAT ，分子為奇數(shù)；集合N中的元素 QUOTE * MERGEFORMAT ，分子為整數(shù)，則M N，故選B.已知集合間的關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍例1.3 設(shè).若，則實(shí)數(shù)組成的集合為（ ）.AB.C.D.分析：解方程，建立的

9、關(guān)系式求，從而確定集合.解析：因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，則方程無解，則；當(dāng)時(shí)，則，由，得，所以或，即或故答案選C.評注：（1）研究集合的子集問題時(shí)應(yīng)首先想到空集，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?（2）含參數(shù)的一元一次方程解的確定：當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程有無數(shù)多個(gè)解，可為為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，方程無解.變式1 已知集合，則（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故選B.例1.4 已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由，解得，故，又，如圖所示，可得.變式1 若將例1.4中的集合B改為，其他條件不變，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析Ax|1x2 015且ab”的逆否命題是_解析：若ab2

10、015或ab，則a）不大于（）小于（）不小于（）是不是都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)至少有一個(gè)一個(gè)也沒有任意存在所有某個(gè)（些）至多有n個(gè)至少有n+1個(gè)任意兩個(gè)某兩個(gè)特別地，聯(lián)結(jié)詞“且”的否定為“或”， “或”的否定為“且”“p且q”的否定是“或”，“p或q”的否定是“且”即，與集合的德摩根法則可類比記憶變式1 命題“存在，”的否定是（ ）A不存在，B存在，C對任意的，D對任意的，解析 對于存在性命題的否定，要先改變量詞，再否定結(jié)論，所以原命題的否定為“對任意的 QUOTE * MERGEFORMAT ”故選D變式2（2017成都七中半期）設(shè)命題，則為（）BD解析 A由全稱命題與特稱命題之間的互

11、化關(guān)系知選A題型9 根據(jù)命題真假求參數(shù)的范圍例 117 命題p:關(guān)于x的不等式，對一切恒成立，q：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析 由命題p或q為真，p且q為假，則p與q中有且只有一個(gè)為真命題，由此進(jìn)行討論解析 解法一：由p或q為真，p且q為假，則p與q中有且只有一個(gè)為真 = 1 * GB3 若p真q假，p真則不等式對一切恒成立，故，即，得-2a2,q假，得03-2a1,得a1,故綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為解，大前提是法二：由指數(shù)函數(shù)的定義可知或a1得ag(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：f(x)x22x3(x1)22，當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)minf(1

12、)2，g(x)maxg(4)2m，則f(x)ming(x)max，即22m，解得m0則（ ）A命題是假命題B命題是真命題C命題是假命題D命題是真命題5已知命題命題若命題p且q是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD6下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A如果命題與命題都是真命題，那么命題q一定是真命題B命題“若a=0則ab=0”的否命題是“若a0，則ab0”C若命題，則D是的充分不必要條件7已知命題，則p的否定形式為_8給出以下四個(gè)命題: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若為真命題，則為真命題 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 命題“若,則”的逆命題 = 3 * GB3 *

13、 MERGEFORMAT 設(shè)a,b,c分別是ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=,則是的必要不充分條件 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 命題“若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)”的否命題其中真命題的序號是_9已知命題恒成立,命題為減函數(shù),若為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_10(2016鄭州一模)已知函數(shù)f(x)xeq f(4,x)，g(x)2xa，若x1eq f(1,2)，3，x22,3使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa1 Ba1Ca0 Da0已知才c0設(shè)命題p:函數(shù)為減函數(shù)命題q:當(dāng)時(shí),函數(shù)恒成立如果p或q為真命題,p且q為假命題,求c的取值范圍12已知函

14、數(shù)且又給定(1)在p的條件下,求的最大值和最小值;(2)若又給定條件q：且p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍13.已知函數(shù)f(x)eq f(x2x1,x1)(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若x02，)，使f(x0)m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_；(2)若x12，)，x22, )使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_ 最有效訓(xùn)練題3D解析 由全稱命題與特稱命題之間的互化關(guān)系知選D2A 解析 由“ QUOTE * MERGEFORMAT 是真命題”，得命題 QUOTE * MERGEFORMAT 均為真命題，“ QUOTE * MERGEFORMAT 是假命題”，則 QUOT

15、E * MERGEFORMAT 是真命題，因此“ QUOTE * MERGEFORMAT 是真命題”是“ QUOTE * MERGEFORMAT 為假命題”的充分不必要條件故選A3B解析 由基本不等式可得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故命題 QUOTE * MERGEFORMAT 為假命題， QUOTE * MERGEFORMAT 為真命題；任意 QUOTE * MERGEFORMAT ，命題 QUOTE * MERGEFORMAT 為真命題， QUOTE * MERGEFORMAT 為假命題， QUOTE * MERGEFORMAT 為假命題，故選B4D 解析 對于命題 QUO

16、TE * MERGEFORMAT 成立，因此命題 QUOTE * MERGEFORMAT 是真命題；對于命題 QUOTE * MERGEFORMAT ，顯然 QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí) QUOTE * MERGEFORMAT 不滿足 QUOTE * MERGEFORMAT ，因此命題 QUOTE * MERGEFORMAT 是假命題，所以命題 QUOTE * MERGEFORMAT 是真命題，故選D5A解析 由已知可知 QUOTE * MERGEFORMAT 均為真命題，由命題 QUOTE * MERGEFORMAT 為真得 QUOTE * MERGEFORMAT ，由命題 Q

17、UOTE * MERGEFORMAT 為真得 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故選A6D解析 因?yàn)椤?QUOTE * MERGEFORMAT ”真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 為假，又“ QUOTE * MERGEFORMAT ”為真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 為真，故A正確；B,C顯然正確；因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí)， QUOTE * MERGEFORMAT ,但 QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí), QUOTE * MERGEFORMAT 不一定為300，故 QUO

18、TE * MERGEFORMAT 是 QUOTE * MERGEFORMAT 的必要不充分條件故選D7 QUOTE * MERGEFORMAT 解析 特稱命題的否定是全稱命題，求特稱命題的否定時(shí)，先將“ QUOTE * MERGEFORMAT ”改為“ QUOTE * MERGEFORMAT ”，再否定結(jié)論，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的否定形為 QUOTE * MERGEFORMAT 8 解析 因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 為真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 真或 QUOTE * MERGEFORMAT 真，故 QUOTE * MERGEFO

19、RMAT 不一定為真命題，故假；逆命題：若 QUOTE * MERGEFORMAT ，則 QUOTE * MERGEFORMAT ，因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故真；由條件得， QUOTE * MERGEFORMAT ，當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí)，有 QUOTE * MERGEFORMAT ，注意 QUOTE * MERGEFORMAT ，故 QUOTE * MERGEFORMAT ,但當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí)，有 QUOTE * MERGEFORMAT ，故真；否命題：若 QUOTE

20、 * MERGEFORMAT 不是奇函數(shù)，則 QUOTE * MERGEFORMAT 不是奇函數(shù)，這是一個(gè)真命題，假若 QUOTE * MERGEFORMAT 為奇函數(shù)，則 QUOTE * MERGEFORMAT ，即 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 為奇函數(shù)，與條件矛盾故填9 QUOTE * MERGEFORMAT 解析 因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 恒成立知 QUOTE * MERGEFORMAT ,即 QUOTE * MERGEFORMAT ,由 QUOTE * MERGEFORMAT 為減函數(shù)得 QUOTE * M

21、ERGEFORMAT ，即 QUOTE * MERGEFORMAT ，又因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 為真命題，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 均為真命題，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 QUOTE * MERGEFORMAT 10C 解析：xeq f(1,2)，3，f(x)2 eq r(xf(4,x)4，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)，f(x)min4，當(dāng)x2,3時(shí)，g(x)min22a4a，依題意f(x)ming(x)min，a0，故選C.11解析 解法一：由 QUOTE * MERGEFORMAT 為減函數(shù)得 QUOTE * MERGEFO

22、RMAT ；當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí)，因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT ，故函數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 在 QUOTE * MERGEFORMAT 上為減函數(shù)，在 QUOTE * MERGEFORMAT 上為增函數(shù)，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 在 QUOTE * MERGEFORMAT 上的最小值為 QUOTE * MERGEFORMAT 當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 時(shí)，由函數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 恒成立，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，解得 QUOTE * MERGEFOR

23、MAT ，如果 QUOTE * MERGEFORMAT 真且 QUOTE * MERGEFORMAT 假，則 QUOTE * MERGEFORMAT ；如果 QUOTE * MERGEFORMAT 假且 QUOTE * MERGEFORMAT 真，則 QUOTE * MERGEFORMAT 所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的取值范圍為 QUOTE * MERGEFORMAT 解法二： QUOTE * MERGEFORMAT ,如圖1-20所示， QUOTE * MERGEFORMAT 1圖1-201圖1-2012解析 （1）因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 又因?yàn)?Q

24、UOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT 。所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的最大值為5，最小值為3（2）因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，又因?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 是 QUOTE * MERGEFORMAT 的充分條件， QUOTE * MERGEFORMAT ，所以實(shí)數(shù) QUOTE * MERGEFORMAT 的取值范圍是 QUOTE * MERGEFORMAT 13.解析(1)因?yàn)閒(x)eq f(x2x

25、1,x1)xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號成立，所以若x02，)，使f(x0)m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為3，)(2)因?yàn)楫?dāng)x2時(shí)，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)使得f(x1)g(x2)，則eq blcrc (avs4alco1(a23，,a1，)解得a(1，eq r(3)第二章 函數(shù)映射定義映射定義表示解析法列表法三要素圖象法定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域性質(zhì)奇偶性周期性對稱性單調(diào)性定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在x0處有定義的奇函數(shù)f (0)01、2、證明單調(diào)性：作差（商）、導(dǎo)數(shù)法；3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性最值二次函數(shù)、基本不等式、打鉤（耐克）函數(shù)、三角

26、函數(shù)有界性、數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù).冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)基本初等函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)賦值法、典型的函數(shù)函數(shù)與方程二分法、圖象法、二次及三次方程根的分布零點(diǎn)函數(shù)的應(yīng)用建立函數(shù)模型使解析式有意義函數(shù)換元法求解析式分段函數(shù)注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求值域周期為T的奇函數(shù)f (T)f ( eq f(T,2)f (0)0復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象、性質(zhì)和應(yīng)用平移變換對稱變換翻折變換伸縮變換圖象及其變換函數(shù)八字圖圖像方程不等式式式圖像方程不等式式式函數(shù)性質(zhì)質(zhì)本章以函數(shù)為核心,其內(nèi)容包括函數(shù)的圖像與性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的定義域、解析式、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性及對稱性函

27、數(shù).的圖像包括基本初等函數(shù)的圖像及圖像變換.函數(shù)知識的外延主要結(jié)合于函數(shù)方程（函數(shù)零點(diǎn)）及函數(shù)與不等式的綜合.函數(shù)方程（函數(shù)零點(diǎn)）問題常借助函數(shù)圖像求解函數(shù)與不等式的綜合可通過函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化求解.第一節(jié) 映射與函數(shù)考綱解讀1、了解函數(shù)的構(gòu)成要素，了解映射的概念.2、在實(shí)際情況中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù).3、了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.命題趨勢探究 有關(guān)映射與函數(shù)基本概念的高考試題，考查重點(diǎn)是函數(shù)的定義、分段函數(shù)的解析式和函數(shù)值的求解，主要以考查學(xué)生的基本技能為主，預(yù)測2019年試題將加強(qiáng)對分段函數(shù)的考查，考試形式多以選擇題或填空題為主

28、.知識點(diǎn)精講1、映射 設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種確定的對應(yīng)法則f，對A中的任何個(gè)元素x，在B中有且僅有一個(gè)元素y與之對應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射.注 由映射的定義可知，集合A到集合B的映射，元多個(gè)元素對應(yīng)一個(gè)元素，但不允許個(gè)元素對應(yīng)多個(gè)元素， 即可以一對一，也可多對一，但不可一對多.注 象與原象如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么與A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫a的象記作bf(a),a叫b的原象A的象記為f(A)2、一一映射設(shè)A，B是兩個(gè)集合，f是A到B的映射，在這個(gè)映射下，對應(yīng)集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一個(gè)元素都有唯一的原象，那么該映射

29、f為AB的一一映射.注 由一一映射的定義可知，當(dāng)A，B都為有限集合時(shí)，集合A到集合B的一一映射要求一個(gè)元素只能對應(yīng)個(gè)元素，不可以多對一更不能一對多；同時(shí)還可知道，集合A與集合B中的元素個(gè)數(shù)相等.3、函數(shù)設(shè)集合A，B是非空的數(shù)集，對集合A中任意實(shí)數(shù)x按照確定的法則f集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)值y與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A到集合B上的一個(gè)函數(shù)記作yf(x)xA其中叫做自變量，其取值范圍（數(shù)集A）叫做該函數(shù)的定義域，如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作yf（a）或y|x=2，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做該函數(shù)的值域，可見集合C是集合B的子集 .注 函數(shù)即非空數(shù)集之間

30、的映射注 構(gòu)成函數(shù)的三要素構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)法則決定的，所以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則一致，就稱兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)，定義域和對應(yīng)法則中只要有一個(gè)不同，就是不同的函數(shù).題型歸納及思路提示題型10 映射與函數(shù)的概念思路提示 判斷一個(gè)對應(yīng)是不是映射，應(yīng)緊扣映射的定義，即在對應(yīng)法則f下對應(yīng)集合A中的任一元素在B中都有唯的象，判斷一個(gè)對應(yīng)是否能構(gòu)成函數(shù)，應(yīng)判斷：（1）集合A與是否為非空數(shù)集；（2）f：AB是否為一個(gè)映射.例2.1 若f：AB構(gòu)成映射下列說法中正確的有（ ） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT A中任元素在B中必須有

31、象且唯一； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B中的多個(gè)元素可以在A中有相同的原象； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT B中的元素可以在A中無原象； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 象的集合就是集合BA = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT C. = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT D. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT

32、 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 解析 由映射的定義可知, = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 集合A中任一元素在B中必須有象且唯是正確的；集合A中元素的任意性與集合B中元素的唯一性構(gòu)成映射的核心，顯然不正確，“一對多”不是映射；因A在對應(yīng)法則f下的值域C是B的子集，所以正確； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 不正確，象的集合是集合B的子集，并不一定為集合B故選C變式1 在對應(yīng)法則f下，給出下列從集合A到集合B的對應(yīng) (2) ；（3）Ax|是平面內(nèi)的三角形，By|y是平面內(nèi)的圓，f：:xy是x的外接圓；

33、（4）設(shè)集合Ax|是平面內(nèi)的圓，By|y是平面內(nèi)的矩形，f:：xy是x的內(nèi)接矩形其中能構(gòu)成映射的是_分析 判斷一個(gè)對應(yīng)是不是映射，應(yīng)緊扣映射定義，即在對應(yīng)法則 QUOTE * MERGEFORMAT 下，對應(yīng)集合A中的任一元素在B中能否都有唯一的象.解析 在（1）中，元素0在B中沒有象，不滿足“任意性”，因此，（1）不能構(gòu)成映射。在（2）中，當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 為偶數(shù)時(shí)，其象為1；當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 為奇數(shù)時(shí)，其象為-1，而1，-1 QUOTE * MERGEFORMAT ，即A中任一元素在B中都有唯一的象，因此（2）能構(gòu)成映射。在（3）中，因?yàn)?/p>

34、任一三角形都有唯一的外接圓，所以（3）能夠成映射.在（4）中，因?yàn)槠矫鎯?nèi)的任一個(gè)圓，其內(nèi)接矩形有無數(shù)個(gè)，因此（4）不能構(gòu)成映射.綜上所述，能構(gòu)成映射的有（2）（3）評注 判斷一個(gè)對應(yīng)是否能夠成映射，應(yīng)緊扣映射定義，在映射 QUOTE * MERGEFORMAT 中，A,B的地位是不對等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A中元素的象的集合為C，則 QUOTE * MERGEFORMAT ，同時(shí)要注意映射中集合元素的對象是任意的，可以是數(shù)、點(diǎn)或其它任意對象.變式2 已知函數(shù)yf(x),定義域?yàn)锳1,2,3,4值域?yàn)镃5,6,7,則滿足該條件的函數(shù)共有多少個(gè)？分析 由函數(shù)

35、定義，本題等價(jià)于將4件不同的東西分配給3人，且每人至少1件.解析 利用捆綁法，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故滿足條件的函數(shù)有36個(gè)例2.2有以下判斷：與表示同一函數(shù)；函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)；與是同一函數(shù)；若，則.其中正確判斷的序號是_解析對于，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于，若不是定義域內(nèi)的值，則直線與的圖象沒有交點(diǎn)，如果是定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即的圖象與直線最多有一個(gè)交點(diǎn)；對于，與的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以和表示同一函數(shù)；對于，由于，所以.綜上可知，正確的判斷是.變式1 下列所給圖象是

36、函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析A中函數(shù)的定義域不是2,2，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是0,2，故選B.題型11 同一函數(shù)的判斷思路提示 當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)例2.3 在下列各組函數(shù)中，找出是同一函數(shù)的一組與y=1與（3）與解析 （1）的定義域?yàn)?y=1的定義域?yàn)镽,故該組的兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；的定義域?yàn)?的定義域?yàn)镽，故該組的兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的定義域均為0，且對應(yīng)法則也相同,故該組的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)故為同一函數(shù)的一組是（3）評注 由函數(shù)概念的三要素容易看出，函數(shù)的表示法只與定義域和對應(yīng)法則有

37、關(guān)，而與用什么字母表示變量無關(guān)這被稱為函數(shù)表示法的無關(guān)特性變式1下列函數(shù)中與y是同一函數(shù)的是( ) (2) (4)A (1)(2) B(2)(3) C(2)(4) D(3)(5)分析 首先判定定義域，再判斷對應(yīng)法則，也可快速判斷值域.解析（1） QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式不同，不是同一函數(shù)；（2） QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域和解析式完全相同，為同一函數(shù)（3） QUOTE * MERGEFORMAT ，但函數(shù)的定義域?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域不相同，故不是同一函數(shù)；（4） QUOTE * MERGEFORMAT ，其定義域與解

38、析式與 QUOTE * MERGEFORMAT 完全相同，為同一函數(shù)；（5） QUOTE * MERGEFORMAT 解析式不同，故不是同一函數(shù)，故選C評注 由于值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù)，即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，因此函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則。題型12 函數(shù)解析式的求法思路提示 求函數(shù)解析式的常用方法如下：當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解.當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方

39、程組法.求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求.一、待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例2.4已知二次函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)都不在直線y=x的下方.求證:a+b+c1;設(shè)，若F(0)5，且F（x）的最小值等于2，求的解析式.解析（1）因?yàn)榈膱D像上任點(diǎn)都不在直線yx的下方，所以，即abc1.因?yàn)榈膱D像上任意一點(diǎn)都不在直線yx的下方，取相同x，二次函數(shù)值總大于一次函數(shù)值，所以，即，得，對任意xR成立.因?yàn)閍0.所以a0且 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又得C=2所以.所以F（x）的最小值為.整理得. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 將 = 2 * GB3 * MERGE

40、FORMAT 式與c=2代人 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式，整理得且即=0，所以b=5，a=2.故變式1已知是一次函數(shù)，若，求.解析 設(shè) QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT .評注 當(dāng)已知 QUOTE * MERGEFORMAT 的函數(shù)類型，要求 QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式時(shí)，可根據(jù)類型設(shè)出解析式，再確定系數(shù)得出解析式二、換元法或配湊法（適用于了型）例2.5已知，求函數(shù)的解析式.分析 把看成一個(gè)整體，可用換元法求解析式解析 解法一（換元法）令=t（），則得，所以，即解法二(配湊法）：,即評注 利用換

41、元法求函數(shù)解析式時(shí)，應(yīng)注意對新元t范圍的限制變式1 已知,求的解析式.分析 利用換元法求解.解析：令 QUOTE * MERGEFORMAT 評注 對于 QUOTE * MERGEFORMAT 形式的表達(dá)式求解 QUOTE * MERGEFORMAT 的有效方法：令 QUOTE * MERGEFORMAT ，解出 QUOTE * MERGEFORMAT ，代入函數(shù)表達(dá)式，但應(yīng)注意新元的范圍。變式2設(shè)=，又記(k=1,2,),則=( ). B. C. D.解析 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT , 可看作周期為4的變換，所以 QUOTE * ME

42、RGEFORMAT ，故選C.評注 QUOTE * MERGEFORMAT 只表示表達(dá)式相同，其定義域不同， QUOTE * MERGEFORMAT .本題亦可用特殊值法. QUOTE * MERGEFORMAT .故選 C例2.6 已知函數(shù)滿足,則的表達(dá)式為_.解析 ,又或2,故(x2或x0時(shí),1-a1.得 解得 .（不符，故舍去）；當(dāng)a1,1+a1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a解得.綜上, . 變式1 已知實(shí)數(shù)a0,函數(shù)若則a的值為_分析 以分段函數(shù)的分界點(diǎn)為討論的標(biāo)準(zhǔn).解析 分段函數(shù)的分界點(diǎn)為1，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí). = 1 * GB3 當(dāng)時(shí)，由得：解得； = 2 * GB3 當(dāng)時(shí)，

43、因此滿足，得，滿足； = 3 * GB3 當(dāng)時(shí)，因此解得，不滿足.綜上，的值為或.變式2 (2017武漢調(diào)研)函數(shù)滿足，則a所有可能的值為()A1或eq f(r(2),2) Beq f(r(2),2)C1 D1或eq f(r(2),2)解析：，；當(dāng)時(shí)，.最有效訓(xùn)練題4（限時(shí)45分鐘）1.下列對應(yīng)法則中，構(gòu)成從集合A到集合B的映射的是( )A. B . C. D. 2.如圖2-2所示，（a），（b），（c）三個(gè)圖像各表示兩個(gè)變量x，y的對應(yīng)關(guān)系則有A 都表示映射，且（a），（b），（c）表示y為x的函數(shù)B 都表示y是x的函數(shù)C 僅（b）（c）表示y是x的函數(shù) D 都不能表示y是x的函數(shù)3.下列各

44、組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與 4.設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，映射f：AB使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（xy，x-y），則在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.(3，1) B. C. D. 5(2016安徽六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為()A2 B2C2或2 D.eq r(2)6.(2016唐山期末)已知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是()A(，1 B(1，eq f(1,2)C1，eq f(1,2) D(0，eq f(1,2)7.定義在R上的函數(shù)滿足，則f(-3)=_.8.設(shè)函數(shù) ,則 的值為_.9

45、.設(shè)函數(shù) ,若 則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為_.10若 是從集合 到集合 的一個(gè)映射,則A_，B=_.11.求下列函數(shù)的解析式：(1)已知求;(2已知是一次函數(shù),且滿足求 ;(3)已知,求;(4)為二次函數(shù)且f(0)=3,求 ;(5)已知定義域?yàn)椋?,）的單調(diào)函數(shù) 若對任意的都有求的解析式.12.已知 (1)求和的值（2）求和的表達(dá)式. 最有效訓(xùn)練題41.D 解析 根據(jù)映射的定義知，構(gòu)成從集合A到集合B的映射是D，故選D.2.C 解析 根據(jù)映射的定義，對于x的每一個(gè)確定的值，y有唯一確定的值與之對應(yīng)，在3個(gè)圖象中，（a）不能表示映射，更不能表示函數(shù)；（b）（c）是映射，也是函數(shù)，故選C.3.D.解

46、析 A與B選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域都不相同，C選項(xiàng) ，與的對應(yīng)法則不同，故選D.4.B 解析 根據(jù)題意有解得，所以象原象是.故選B.5.A 解析 解分段函數(shù)方程，由解析式可知，則，當(dāng)時(shí)，方程無解，當(dāng)時(shí)，得，故選A.6.A 解析 根據(jù)表中的對應(yīng)關(guān)系得，故選A.7.6 解析 先令，得，則，解得，所以.8. 解析 由函數(shù)解析式可知故 .9.3 解析 由可得，從而方程等價(jià)于或，解得到，從而方程的解的個(gè)數(shù)是3.10. 解析 ，因?yàn)?，由映射的定義知（1）或（2），因?yàn)椋苑匠探M（1）無解.解方程組（2）得（舍），所以11.解析 （1）令，則. 所以 ，即.(2)設(shè)，則所以，故.(3)令，則，故，所以.(4

47、)設(shè)則所以解得，又得，所以.(5)依題意，對任意的，且，令得，即，解得.12.解析 （1）由已知，所以，.(2)當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故所以當(dāng)或時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故所以第二節(jié) 函數(shù)的定義域與值域（最值）考綱解讀 會(huì)求些簡單函數(shù)的定義域和值域命題趨勢探究 考查重點(diǎn)是求解函數(shù)的定義域和值域知識點(diǎn)精講一、函數(shù)的定義域求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：定義域是指自變量的取值范

48、圍； = 2 * GB3 在同一對應(yīng)法則下，括號內(nèi)式子的范圍相同；（7）對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.二、函數(shù)的值域求解函數(shù)值域主要有以下十種方法：（1）觀察法；（2）配方法；（3）圖像法；（4）基本不等式法，（5）換元法；（6）分離常數(shù)法；（7）判別式法；（8）單調(diào)性法，（9）有界性法；（10）導(dǎo)數(shù)法.需要指出的是，定義域或值域的結(jié)果必須寫成區(qū)間或集合的形式. 題型歸納及思路提示題型13 函數(shù)定義域的求解思路提示 對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式. 二

49、、給出函數(shù)解析式求解定義域例2.10.函數(shù)的定義域?yàn)椋?）A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1分析 本題考查對數(shù)、分式根式有關(guān)的函數(shù)定義域的求解解析 得，故選C變式1 函數(shù) 的定義域?yàn)椋ǎ〢.(0，1) B0，1） C.(0，1 D0，1解析 由得，故選B.變式2求函數(shù) 的定義域. 解析 ，得. 所以的定義域?yàn)?三、抽象函數(shù)定義域已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域.解題時(shí)注意：（1）定義域是指自變量的取值范圍；（2）在同一對應(yīng)法則的作用下括號內(nèi)式子的范圍相同.例2.11 （1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）求的定義域（2）

50、已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，4）求的定義域（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2）求的定義域.分析 已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，求函數(shù)的定又域，只需;已知函數(shù) 的定義域,求函數(shù)了的定義域，只需，即求的值域.解析 （1）的定義域?yàn)椋?，1），即0 x1.故，所以且0，所以的定義域?yàn)?(2) 的定義域?yàn)?2，4).即2x4.所以4 0成立；當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，綜上所述，的取值范圍是.變式3若函數(shù) 的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析 依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立.(1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?此時(shí)有可知對任意，恒成立，所以符合題意.(2)當(dāng)時(shí)，由題意得，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型15 函數(shù)值域的求解思路提示 函數(shù)

51、值域的求法主要有以下幾種 (1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域.（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的元二次方程，利

52、用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如 ，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）.(8) 單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac0時(shí)可利用單調(diào)性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域.因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法. (10) 導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域.一 觀察法例 2.14 求函數(shù)的值域.分析 由觀察法直接得到函數(shù)的值域.解析 因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?變式1 函數(shù)的值域是 .解析 由，故函數(shù)的值

53、域?yàn)?變式2 函數(shù)的值域是 .解析 由得由，得，故函數(shù)的值域?yàn)? 二 配方法例 2.15 求函數(shù)的值域.分析 對于根式中的二次函數(shù)，利用配方法求解.解析 由，得.變式1 求函數(shù)的值域.解析 ，故函數(shù)的值域?yàn)?變式2 求的值域.解析 因?yàn)?函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值16，當(dāng)或5時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故值域?yàn)?，所以的值域?yàn)?變式3 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則a的值為（ ）.A -2 B -4 C -8 D 不能確定解析 如圖2-36所示，設(shè)二次函數(shù)，由，則拋物線開口方向向下，函數(shù)的定義域D為不等式的解集，設(shè)兩根為，則,依題意，點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，

54、所以則滿足 ,得,故選B三 圖像法（數(shù)形結(jié)合） 例 2.16 求函數(shù)的值域.分析 由函數(shù)表達(dá)式易聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，可將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之和.解析 如圖2-4所示，所示動(dòng)點(diǎn)P（x,1）到兩定點(diǎn)A（-1,0）和B（1,0）的距離之和，作點(diǎn)B（1,0）關(guān)于直線y=1的對稱點(diǎn)，連接BA交y=1于點(diǎn)P（0,1）,此時(shí)AB的長即為PA與PB的長之和的最小值，點(diǎn)P（0,1）到A,B兩點(diǎn)的距離之和為，故函數(shù)的值域?yàn)?+.BBOP(x,1)ABABA圖2-4P評注 本題中也可看著動(dòng)點(diǎn)P（x,0）與兩定點(diǎn)A(-1,1),B(1,1)的距離之和，同理利用數(shù)形結(jié)合思想，|PA|+|PB|，則|PA|+|

55、PB|的最小值為.變式1 求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.解析 由絕對值的幾何意義，如圖2-37所示知表示數(shù)軸上的點(diǎn)與定點(diǎn)和的距離之和，因此，所以函數(shù)的值域?yàn)樽兪? 函數(shù)的值域是（ ）.A B C D 解析 ，的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（1，1）的距離，如圖2-38所示，,所以.故選B變式3 函數(shù)的值域是（ ）.A B C D 解析 令，則，于是，而的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所確定直線的斜率，如圖2-39所示，所以，直線AC與單位圓上半部分相切，所以圓心到直線AC的距離為1，即，得，由圖知，負(fù)根舍去.所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選D.四 基本不等式法例2.17 已知

56、x2,求函數(shù)的值域.解析 令,則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即t=2,x=3時(shí)取等號）.故函數(shù)的值域?yàn)?變式1 求函數(shù)的值域.解析 由，若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“=”）；若時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“=”），因此函數(shù)的值域?yàn)?五、換元法（代數(shù)換元與三角換元）【例2.18】求函數(shù)的值域.解析 令，則，得.因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)?故函數(shù)的值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.解析 令，則，原式可化為，因?yàn)椋?，所以函?shù)的值域是評注 對于含根號的無理函數(shù)，通過換元將根號脫去，轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)（特別是二次函數(shù)）求值域.變式2：求函數(shù)的值域.解析 令，則.又，所以.所以，函數(shù)的值域是分離常數(shù)法

57、【例2.19】求的值域.分析 本例中的函數(shù)是關(guān)于的齊次分式，故可以考慮使用分離常數(shù)法加以求解.解析 由題意得，因?yàn)椋?，故值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.解析 因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?評注 對于分式型函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?若本題中將x的范圍限定在區(qū)間，其答案如何？.變式2：求函數(shù)的值域.解析 因?yàn)?，所以且（?dāng)時(shí)，1-）.評注 一般地，值域?yàn)榍遥ㄒ驗(yàn)榍?，所以把帶入約分后的式子即可）判別式法【例2.20】求函數(shù)的值域.解析 因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)的定義域?yàn)镽.原式可化為.整理得.若，即，即；若，因?yàn)?，即有，所以，解得?綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?變式1：已知函數(shù)的值域?yàn)?，求的?由得，即，其解集為，則

58、方程的兩根為，由韋達(dá)定理得解析 由得，即，所以.變式2：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，求的?解析 由題意知，令，則 ，即 .由，得，即方程的兩根是1，9.即，所以.單調(diào)性法【例2.21】求函數(shù)的值域.解析 由函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.解析 由，得為的單調(diào)遞減函數(shù)，又，因此.所以函數(shù)的值域?yàn)樽兪?：函數(shù)的值域是_.解析 函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，從而可知的值域?yàn)?3，.變式3：求函數(shù)的值域.解析 因?yàn)?，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值3，故函數(shù)的值域?yàn)?變式4：求函數(shù)的值域.解析 ，令，則，在單調(diào)遞減

59、，當(dāng)時(shí)，因此，故函數(shù)的值域?yàn)?有界性法【例2.22】求函數(shù)的值域.解析 解法一（有界性法）：由題意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函數(shù)的值域?yàn)?解法二（分離常數(shù)法）：，由，可知，故，因此函數(shù)的值域?yàn)?變式1：已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.解析 解法一：（反解有界性）由題意可得，即有，故需可求得，因此所求函數(shù)的值域?yàn)? 本題具備齊次分式的結(jié)構(gòu)特征，還可以利用分離常數(shù)法求解，解法如下：解法二： ，在上函數(shù)單調(diào)遞增，故，因此所求函數(shù)的值域?yàn)?變式2：已知函數(shù)，若有，則的取值范圍為（ ） 析 由題意可知，若有，即，解得，故選B.【例2.23】已知，求函數(shù)的值域.解析 由，得，且，故.得或.又，則.故

60、.因此函數(shù)的值域?yàn)?評注 本題也可以用數(shù)形結(jié)合思想求解，設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所確定直線的斜率，其中為單位圓在軸左側(cè)部分.變式1：已知，求函數(shù)的值域.解析 ,則，得，故值域?yàn)?導(dǎo)數(shù)法【例2.24】求函數(shù)的值域.解析 由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域?yàn)?評注 對于三次函數(shù)以及復(fù)雜的函數(shù)求值域一般都用導(dǎo)數(shù)法求解，此類解法在第三章導(dǎo)數(shù)中有更為系統(tǒng)的介紹.變式1：若函數(shù)在區(qū)間及上都是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域.解析 ,由題意是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即，故，得.所以當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng) ，單調(diào)遞增.如表2-8所示.表2-8x-1(-1,0)0(0,2)2(2,4)4