函數(shù)奇偶性與奇偶函數(shù)圖象

1、關(guān)于函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象第1頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四函數(shù) y = f ( x ) 在定義域 A 內(nèi)任取一個(gè) x A，且 x A1) 都有 f (x ) = f ( x )2) 都有 f (x ) = f ( x )3) 都有 f (x ) f ( x ) 且 f (x ) f ( x ) 則 f ( x ) 是偶函數(shù)則 f ( x ) 是非奇非偶函數(shù)則 f ( x ) 是奇函數(shù)問(wèn)題：1）奇偶性在什么范圍內(nèi)考慮的？2）在定義域 A 內(nèi)任取一個(gè) x , 則 x 一定在定義域 A 內(nèi)嗎？注意：1）奇偶性在整個(gè)定義域內(nèi)考慮；2）定義域若不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則

2、 f ( x ) 是非奇非偶函數(shù)；3）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出定義域。第2頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四例1、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5解：此函數(shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3 x 2 + 1= f ( x ) f ( x ) 是偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5 = x 3 x 5 = (x 3 + x 5 )= f ( x ) f ( x ) 是奇

3、函數(shù)3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 解：此函數(shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4 = x 2 2x + 4 f ( x ) 是非奇非偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)?2 , + ) f ( x ) 是非奇非偶函數(shù)第3頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四例2：判斷函數(shù) f ( x ) = 的奇偶性解：由題4101 函數(shù)的定義域?yàn)?1 , 0 ) ( 0 , 1 此時(shí) f ( x ) = = f ( x )故 f ( x ) 是奇函數(shù)第4頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四判定函數(shù)

4、的奇偶性的步驟：1）先求函數(shù)的定義域；若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)若定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，進(jìn)入第二步；2）計(jì)算 f (x ) 化向 f ( x ) 的解析式；若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是偶函數(shù)若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是奇函數(shù)若不等于 ，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3）結(jié)論。第5頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四奇偶函數(shù)的圖象第6頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四想一想觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？xyoy = x 2 2xyoy = x 3xyoy = x + 1圖象奇偶性圖 象 特 征（1）（2）（3

5、）奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱關(guān)于 y 軸成軸對(duì)稱偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)簡(jiǎn)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱簡(jiǎn)稱關(guān)于 y 軸對(duì)稱不關(guān)于原點(diǎn)及 y 軸對(duì)稱第7頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四定理：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y 軸）對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)。此定理的作用：簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫(huà)法。例3、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對(duì)稱法作出下列函數(shù)的圖象：xyoxyo1）若函數(shù)是奇函數(shù)2）若函數(shù)是偶函數(shù)第8頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四例4、作出函數(shù) y = x 2 | x | 6 的圖象解：當(dāng) x 0 時(shí)，

6、y = x 2 x 6 當(dāng) x 0 時(shí)， y = x 2 + x 6 xyo若利用對(duì)稱法作圖：先作出 x 0 的圖象再用對(duì)稱法作出另一半的圖象；可知 函數(shù)是偶函數(shù)第9頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四例5、已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x ) = x 2 2x，求當(dāng) x 0 時(shí)，f ( x ) 的解析式，并畫(huà)出此函數(shù) f ( x ) 的圖象。xyo解： f ( x ) 是奇函數(shù) f (x ) = f ( x )即 f ( x ) = f ( x )任意取x 0 時(shí)，則 x0 x0時(shí) f ( x ) = x 2 2x f ( x )= (x ) 2 2(x ) = x 2 + 2x f ( x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ）第10頁(yè)，共12頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)4分，星期四例6、已知 f ( x ) 是偶函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，問(wèn) f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設(shè) 0 x 1 x 2 + 在所證區(qū)間上取值則 x 2 x 1 0 f ( x ) 在 ( , 0 ) 上是增函數(shù) f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函數(shù) f ( x 2 ) f (