高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案8．3《空間點、線、面之間的位置關(guān)系》(含詳解)

1、PAGE PAGE 1083空間點、線、面之間的位置關(guān)系1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)它的作用是可用來證明點在平面內(nèi)或_(2)公理2：過_上的三點，有且只有一個平面公理2的推論如下：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面公理2及其推論的作用是可用來確定一個平面，或用來證明點、線共面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們_過該點的公共直線它的作用是可用來確定兩個平面的交線，或證明三點共線、三線共點等問題2空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq

2、 blc(avs4alco1(共面直線blc(avs4alco1(相交直線：同一個平面內(nèi)，有且只有 .,平行直線：同一個平面內(nèi)，.),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，.)(2)異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線注：異面直線定義中“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”是指“不可能找到一個平面能同時經(jīng)過這兩條直線”，也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”，但是不能理解為“分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線”異面直線的畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行又不相交，也不共面的特點，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O

3、作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)異面直線所成角的范圍是_若兩條異面直線所成的角是直角，則稱兩條異面直線_，所以空間兩條直線垂直分為相交垂直和_3平行公理公理4：平行于_的兩條直線互相平行(空間平行線的傳遞性)它給出了判斷空間兩條直線平行的依據(jù)4等角定理等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角_自查自糾：1(1)兩點直線在平面內(nèi)(2)不在一條直線(3)有且只有一條2(1)一個公共點沒有公共點沒有公共點(2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)互相垂直異面垂直3同一條直線4相等或互補(bǔ) 若l1，l2，l3是空間三條

4、不同的直線，則下列命題正確的是 ()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面解：易知僅B正確故選B (eq avs4al(2018廈門調(diào)考)設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，給出以下幾個命題：設(shè)ab，bc，則ac；若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交其中真命題的個數(shù)是 ()A0 B1 C2 D3解：因為ab，bc，所以a與c可能相交、平行、異面，故錯因為a，b異面，b，c異面，則a，c可能異面、相交、平行，故錯由a，b相交，b，c相交，則a，

5、c可能異面、相交、平行，故錯故選A (eq avs4al(2017黑龍江哈師大附中月考)若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是 ()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB與O1B1不平行DOB與O1B1不一定平行解：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，如圓錐的母線與軸的夾角故選D 有下列四個命題：若ABC在平面外，它的三條邊所在的直線分別交平面于P，Q，R，則P，Q，R三點共線；若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；空間中不共面的五個點一定能確定10個平面；若直線a不平行于平面，且a，則

6、內(nèi)的所有直線與a異面其中正確命題的序號是_解：在中，因為P，Q，R三點既在平面ABC上，又在平面上，所以這三點必在平面ABC與平面的交線上，即P，Q，R三點共線，所以正確在中，因為ab，所以a與b確定一個平面，而l上有A，B兩點在該平面上，所以l，即a，b，l三線共面于；同理a，c，l三線也共面，不妨設(shè)為，而，有兩條公共的直線a，l，所以與重合，即這些直線共面，所以正確在中，不妨設(shè)其中有四點共面，則它們最多只能確定7個平面，所以錯在中，由題設(shè)知，a與相交，設(shè)aP，如圖，在內(nèi)過點P的直線l與a共面，所以錯故填 (eq avs4al(2018廣東百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，E是正方體ABCDA1B1C1D

7、1的棱長C1D1上的一點，且BD1平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為_解：不妨設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，連接BC1，設(shè)B1CBC1O，連接EO，如圖所示，在BC1D1中，當(dāng)點E為C1D1的中點時，BD1OE，則BD1平面B1CE，據(jù)此可得OEC為直線BD1與CE所成的角在OEC中，邊長ECeq r(5)，OCeq r(2)，OEeq r(3)，則OEC是直角三角形，即異面直線BD1與CE所成角的余弦值為eq f(r(3),r(5)eq f(r(15),5)故填eq f(r(15),5)類型一基本概念與性質(zhì)問題(eq avs4al(2017福建閩侯三中月考)A

8、BCDA1B1C1D1是正方體，在圖1中，E、F分別是D1C1、B1B的中點，畫出圖1、2中有陰影的平面與平面ABCD的交線，并給出證明解：在圖3中，過點E作EN平行于B1B交CD于點N，連接NB并延長交EF的延長線于點M，連接AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線在圖4中，延長DC，過點C1作C1MA1B交DC的延長線于點M，連接BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線證明：在圖3中，因為直線ENBF，所以B、N、E、F四點共面，因此EF與BN相交，交點為M因為MEF，且MNB，而EF平面AEF，NB平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點又因為點A是平面AE

9、F和平面ABCD的公共點，故AM為兩平面的交線在圖4中，C1M在平面DCC1D1內(nèi)，因此與DC的延長線相交，交點為M，則點M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點，又點B是這兩個平面的公共點，因此直線BM是兩平面的交線點撥：本題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，可考慮過一條直線及另一條直線上的點作平面，進(jìn)而找出兩面相交的交線如圖所示，E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1，AA1的中點，試畫出平面BED1F與平面ABCD的交線解：如圖所示，在平面AA1D1D內(nèi)，D1F與DA不平行，分別延長D1F與DA，則D1F與DA必相交，設(shè)交點為M因為MD1F，MDA，D1F平面BED1F，DA平面AB

10、CD，所以M平面BED1F平面ABCD，又B平面BED1F平面ABCD，連接MB，則平面BED1F平面ABCDMB故直線MB即為所求兩平面的交線類型二點共線、線共點問題如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線證明：(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFBD在BCD中，因為eq f(BG,GC)eq f(DH,HC)eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH所以E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)因為EGFHP，PEG，EG平面ABC，所

11、以P平面ABC同理P平面ADC所以P為平面ABC與平面ADC的公共點又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，即P，A，C三點共線點撥：證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可要證明點共線問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理3，即證點在兩個平面的交線上，本題即采用這種證法；或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在直線上證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，如變式2已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C

12、1B1的中點，ACBDP，A1C1EFQ求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點證明：(1)如圖所示因為EF是D1B1C1的中位線，所以EFB1D1在正方體AC1中，B1D1BD，所以EFBD所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面(2)在正方體AC1中，設(shè)平面AA1C1C為，又設(shè)平面BDEF為因為QA1C1，所以Q又QEF，所以Q所以Q是與的公共點同理，P是與的公共點所以PQ又A1CR，所以RA1C，R，且R則RPQ，故P，Q，R三點共線(3)因為EFBD且EFBD，所以DE與BF相交，設(shè)交

13、點為M，則由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，點M平面B1BCC1又平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，所以MCC1所以DE，BF，CC1三線交于點M類型三共面問題如圖，已知直線abc，laA，lbB，lcC求證：直線a，b，c和l共面證明：方法一：(輔助平面法)因為ab，所以a，b確定一個平面因為Aa，Bb，所以A，B又Al，Bl，所以l因為Cl，所以C，所以直線a與點C同在平面內(nèi)又ac，所以直線a，c確定一個平面因為Cc，c，所以C，即直線a與點C同在平面內(nèi)，由公理2的推論1，可得平面和平面重合，則c所以a，b，c，l共面方法二：(納入平面法)因為ab，所以a，

14、b確定一個平面因為Aa，Bb，所以A，B又Al，Bl，所以l則a，b，l都在平面內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)因為過a與l只能確定一個平面，所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面，即直線a，b，c和l共面點撥：證明點、線共面的主要依據(jù)是公理1、公理2及其推論，常用的方法有：輔助平面法，先證明有關(guān)點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明平面，重合；納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關(guān)的點、線在此平面內(nèi)下列如圖所示的正方體和正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是_(填所有滿足條件圖形的序號)解：易知中PSQR，所以四點共面

15、在中構(gòu)造如圖所示的含點P，S，R，Q的正六邊形，易知四點共面在中，由點P，R，Q確定平面，由圖象觀察知點S在平面外，因此四點不共面綜上知，故填類型四異面直線問題如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點問：(1)AM和CN是否為異面直線？并說明理由；(2)D1B和CC1是否為異面直線？并說明理由解：(1)AM和CN不是異面直線，理由如下：如圖，連接A1C1，AC，MN，因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MNA1C1又A1A綊C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一個平面內(nèi)故AM和CN

16、不是異面直線(2)D1B和CC1是異面直線，理由如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個平面CC1D1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1，所以BC平面CC1D1，這與ABCDA1B1C1D1是正方體相矛盾，所以假設(shè)不成立，故D1B和CC1是異面直線另解：D1在CC1D1內(nèi)，B不在CC1D1內(nèi)，CC1不過D1點撥：空間兩條直線的位置關(guān)系共有三種：異面，平行，相交要證兩條直線是異面直線，要否定其為平行、相交兩種情況，另外，也可由“與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線”證明要證兩條直線相交，只要證其共面不平行即可(eq avs4al(2017清原縣高級中學(xué)月考)在長方體ABC

17、DA1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖所示，其中P點不在對角線B1D1)上(1)過P點在空間作一直線l，使l直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由；(2)過P點在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成角，其中eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解：(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使lB1D1，則l即為所求作的直線因為B1D1BD，lB1D1，所以l直線BD(2)在平面A1C1內(nèi)作直線m，使直線m與B1D1相交成角，因為BDB1D1，所以直線m與直線BD也成角，即直線m為所求作的直線，如圖由圖知m與BD是異面直線

18、，且m與BD所成的角eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)當(dāng)eq f(,2)時，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)eq f(,2)時，這樣的直線m有兩條(eq avs4al(2018四川瀘州模擬)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE與FD1所成的角的余弦值等于解：取BC的中點G，連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH因為E是CC1的中點，所以GC1EH所以O(shè)EH即為異面直線OE與FD1所成的角在OEH中，OEeq r(3)，HEeq f(r(5),2)，OHeq f(r(

19、5),2) cosOEHeq f(f(OE,2),EH)eq f(r(15),5)故填eq f(r(15),5)點撥：求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角，先選擇適當(dāng)?shù)狞c，如線段的中點或端點，再平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；然后證明所作的角是異面直線所成的角；接著在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；最后注意取舍，因為異面直線所成角的取值范圍是0 90，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角(eq avs4al(2018湖南師大附中一模)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，則異面直線AB1和A1C所成角的余弦值為 ()Aeq f(1,4)

20、Beq f(1,4)Ceq f(1,2) Deq f(1,2)解：設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1各條棱長為1，取AB1中點M，BC中點N，易知所求角為AMN(或其補(bǔ)角)，cosAMNeq f(f(1,2)f(1,2)f(3,4),2f(r(2),2)f(r(2),2)eq f(1,4)故選A1判斷空間線面關(guān)系命題的真假，是一類常見的客觀題解這類題，一要準(zhǔn)確把握、理解相關(guān)概念；二要熟悉“推理論證加反例推斷”的方法；三要借助空間直觀如教室就是一個長方體，建議同學(xué)們學(xué)立體幾何時充分借助這一模型2要重視三種數(shù)學(xué)語言文字語言、符號語言、圖形語言的互譯，特別要培養(yǎng)準(zhǔn)確使用符號語言的能力在空間圖形中，點是最基

21、本的元素，點與線、點與面是元素與集合的關(guān)系，直線與平面是集合與集合的關(guān)系，防止出現(xiàn)符號“”“”混用的錯誤3求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖，再證明，后計算作圖，往往過其中一條直線上一點作另外一條直線的平行線，或過空間一特殊點分別作兩條直線的平行線，即平移線段法，此法是求異面直線所成角的常用方法，其實質(zhì)是把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題；證明，即證明作圖中所產(chǎn)生的某個角是異面直線所成的角；計算，一般在一個三角形中求解，這往往需要運(yùn)用正弦定理或余弦定理來解決，如果計算出來的角是鈍角，則需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的銳角，因為異面直線所成角的范圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)4證明“線共面”

22、或者“點共面”問題時，可以先由部分直線或者點確定一個平面，再證明其余的直線或者其余的點也在這個平面內(nèi)5證明“點共線”問題時，可以將這些點看做是兩個平面的交線上的點，只要證明這些點是兩個平面的公共點，根據(jù)公理3就可以確定這些點都在同一條直線上，即點共線1下面三條直線一定共面的是 ()Aa，b，c兩兩平行 Ba，b，c兩兩相交Cab，c與a，b均相交 Da，b，c兩兩垂直解：因為ab，所以a，b確定了一個平面，又c與a，b均相交，所以c只能在a，b確定的平面內(nèi)，即a，b，c共面故選C2如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是 ()解：A

23、，B中PQ綊RS，D中直線PQ與RS相交(或RPSQ)，即直線PQ與RS共面，均不滿足條件；C中的直線PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，即直線PQ與RS是異面直線故選C3(eq avs4al(2018安徽馬鞍山質(zhì)檢)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A直線CC1與B1E是異面直線BAC平面ABB1A1CA1C1平面AB1ED直線AE與B1C1為異面直線，且AEB1C1解：直線CC1與B1E均在平面BCC1B1內(nèi)，兩直線不是異面直線，故A錯誤；因為A1B1C1是正三角形，所以ABC是正三角形，所以CA

24、B60，可知AC平面ABB1A1不成立，故B錯誤；因為ACA1C1，AC與平面AB1E相交，所以A1C1平面AB1E不成立，故C錯誤；由ABC是正三角形，得AEBC，又AECC1，所以AE平面BCC1B1，所以直線AE與B1C1為異面直線，且AEB1C1，故D正確故選D4(eq avs4al(2018云南大理模擬)給出下列命題，其中正確的兩個命題是 ()直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行；夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；直線m平面，直線n直線m，則n；a，b是異面直線，則存在唯一的平面，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等A與 B與 C與 D與解：直

25、線上有兩點到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m平面，直線m直線n，則直線n可能平行于平面，也可能在平面內(nèi)，因此為假命題故選D5(eq avs4al(2017撫順市第六中學(xué)月考)如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的12條棱中，共有異面直線 ()A12對 B24對 C36對 D48對解：因為每條棱都有4對，但其中都有2次重復(fù)，故所求為eq f(412,2)24故選B6(eq avs4al(2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BC CC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 ()Aeq f(r(3),2) Beq f(

26、r(15),5) Ceq f(r(10),5) Deq f(r(3),3)解：如圖所示，將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1BC1，所以B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角因為ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1eq r(5)，AD1eq r(2)在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1eq r(1222212cos60)eq r(3)，所以 cosB1AD1eq f(523,2r(5)r(2)eq f(r(10),5)故選C7(eq avs4al(2018陜西西安期末)如圖，在

27、正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_解：A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理，AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，錯，正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直線BN與MB1是異面直線，正確故填8(eq avs4al(2017武漢市第十五中學(xué)月考)在空間四邊形ABCD中，已知E、F分別是A

28、B、CD的中點，且EF5，又AD6，BC8，則AD與BC所成角的大小是_解：如圖所示，取BD的中點G，連接EG，GF，易知直線AD與BC所成的角即EGF又EF2EG2GF2所以EGF90，則異面直線AD與BC所成的角為90故填909(eq avs4al(2017鞍山市第三中學(xué)月考)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為8 cm，M，N，P分別是AD、A1B1、B1B的中點(1)畫出過M，N，P三點的平面與平面AC的交線以及與平面BC1的交線；(2)設(shè)過M，N，P三點的平面與BC交于點R，求PR的長解：(1)延長NP、AB交于點Q則Q平面MNP，Q平面AC又M平面MNP，M平面AC所以平面MNP

29、平面ACMQ設(shè)MQBCR則平面MNP平面BC1PR(2)因為P為BB1中點，所以BQB1Neq f(1,2)AB，所以BReq f(1,3)AMeq f(4,3)(cm)所以PReq r(BP2BR2)eq f(4,3)eq r(10)(cm)10(eq avs4al(2018合肥模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點(1)求三棱錐B1A1BE的體積；(2)試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行，如果不平行，請說明理由；如果平行，請在平面A1BE上作出一條與B1F平行的直線，并說明理由解：(1)VB1A1BEVEA1B1Beq f(1,3)SA1B1BDAeq f(1,3)eq f(1,2)222eq f(4,3)(2)B1F平面A1BE如圖，延長A1E交AD的延長線于點H，連接BH交CD于點G，連接EG，則BG即為所求理由如下：因為A1B平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE又因為A1BCD1，所以GECD1，且E為DD1的中點，所以G為CD的中點，又F為C1D1中點，所以BG