七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)8.1冪的運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案滬科版

1、冊(cè) 1了解冪的運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)利用的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算2通過(guò)冪的運(yùn)算性質(zhì)的形成和用，養(yǎng)成觀察、歸納、猜想、論證的能力，提高計(jì)算 和口算的能力3了解和體會(huì)“特殊一般殊”的認(rèn)知規(guī)律，體驗(yàn)和學(xué)習(xí)研究問(wèn)題的方法，培養(yǎng) 思維嚴(yán)謹(jǐn)性，做到步步有據(jù)，正確熟練，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣1同底數(shù)冪的乘法(1)同底數(shù)冪的意義“同底數(shù)冪”顧名思義，是指底數(shù)相同的冪如 3 (a)等表示的都是同底數(shù)的冪 與 3，(5) 與5)ab與(2)冪的運(yùn)算性質(zhì) 1同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加用字母可以表示為：am， 都正整數(shù)(3)性質(zhì)的推廣運(yùn)用當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，如aa(m， p 是正數(shù)(4)在應(yīng)用同底數(shù)冪

2、的乘法的運(yùn)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：冪的底數(shù) a 可以任意的有理也以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式底數(shù)是和差其他形 式的冪相乘，應(yīng)把這些和或差看作一個(gè)“整體”底數(shù)必須相同才能使用同底數(shù)冪的乘法公式，若底數(shù)不同，則不能使用；注意： 與)n 不同底數(shù)的冪，不能直接用性質(zhì)不要忽視指數(shù)是 1 的數(shù)或因【例 11】(1)計(jì)算 x 的果是_(2)(a)()_.解：(1)中的底數(shù)都是 x，是兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算式子，需運(yùn)用同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，即 xx；(2)應(yīng)先把底數(shù)分別是 ， 的化成同底數(shù)的冪，才能應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)，原式a()(a)a. 答：(1) a正確運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)解題的前提是明確性質(zhì)的條件和結(jié)論例

3、如同底數(shù)冪 的乘法，條件是底數(shù)相同，且運(yùn)算是乘法運(yùn)算，結(jié)論是底數(shù)不變，指數(shù)相加 【例 12】計(jì)算：(1)()()；(2)(2)(2b).分析(1)把x)看作底數(shù)，可根據(jù)同底數(shù)冪乘法性質(zhì)來(lái)解題(a2) 可 化為(2)，或者(ba) 轉(zhuǎn)為(2)，就是兩個(gè)同底數(shù)的冪相乘了1 解(1)原式x)(x；(2)方法一：原式(2)(2a)(2b)；方法二：原式a2)()ab).本題應(yīng)用了整體的數(shù)學(xué)思想，(xy)和(a2看作一個(gè)整體，(2)題中的 兩種解法所得的結(jié)果實(shí)質(zhì)是相等的，因?yàn)榛橄喾磾?shù)的奇次冪仍是互為相反數(shù) 2冪的乘方(1)冪的乘方的意義：冪的乘方指幾個(gè)相同的冪相乘a) 是三個(gè) 相，讀作“ 的次冪的三次

4、方”，即(a)a；()n 表 n 個(gè) 相，讀作 的 m 次的 次方”，即(a a ，n 是正整數(shù)nm個(gè)個(gè)n個(gè)(2)冪的運(yùn)算性質(zhì) 2冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘用字母可以表示為：(， 都正整數(shù))這個(gè)性質(zhì)的最大特點(diǎn)就是將原來(lái)的乘方運(yùn)算降次為乘法運(yùn)算，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘 (3)性質(zhì)的推廣運(yùn)用冪的乘方性質(zhì)可推廣為：()(， 均正整(4)注意a) 與 n的區(qū)別()n 表 n 個(gè) 乘，而 am 表 (a).個(gè) a 相，例如(5)555.因此，【例 2】(1)計(jì)算)的結(jié)果是( )A B Cx D(2)計(jì)算 3()2(a)_.解：(1)根據(jù)性質(zhì)，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，結(jié)果應(yīng)選B；(2)根據(jù)冪的乘方、同底數(shù) 冪

5、相乘進(jìn)行計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)得到結(jié)果3()2()3232a3a25.答：(1)B (2)5防止“指數(shù)相乘”變?yōu)椤爸笖?shù)相加”，同時(shí)防止“指數(shù)相乘”變?yōu)椤爸笖?shù)乘方”如a) 與a)2a 3積的乘方都是錯(cuò)誤的(1)積的乘方的意義：積的乘方指底數(shù)是乘積形式的乘方)，()等(2)(2)(2)(2)(乘方意義 (222)()(b)(乘法交換律、結(jié)合律 2a.() ( 為整)個(gè)(2)冪的運(yùn)算性質(zhì) 3個(gè)個(gè)積的乘方等于各因式乘方的積也就是說(shuō)，先把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的結(jié)果相乘 用字母可以表示為：ab( 是正整數(shù))(3)性質(zhì)的推廣運(yùn)用三個(gè)或三個(gè)以上的乘方也具有這一性質(zhì)，(abc)c(n 是整數(shù) 【例 3

6、】計(jì)算：(1)()；(2)(xy；1(3)()()；(4) ab 2 .分析：(1)要注意2 含， 兩因數(shù)；(2) 含三個(gè)因數(shù)：，y；(3)2 把 xy 作 x 與 y 積，把xy 看作，1 1， 的； c 含四個(gè)因數(shù) ，2 2b，先運(yùn)用積的乘方性質(zhì)計(jì)算，再運(yùn)用冪的乘方性質(zhì)計(jì)算解(1)(2)(2)x8；(2)()(1)y；(3)()()()()xyxy；1 1 (4) ab 2 1a()c) bc.16(1)在計(jì)算時(shí)把 與 分別看成一個(gè)數(shù)便于運(yùn)用積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算把個(gè)式子看成一個(gè)或字母的方法的實(shí)質(zhì)是換元法以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化， 它是數(shù)學(xué)的常用方法(2)此類(lèi)題考查積的乘方運(yùn)算，算時(shí)應(yīng)特別注

7、意底數(shù)含有的因式，每個(gè)因式都分別乘 方，不要漏掉，尤其要注意系數(shù)及系數(shù)的符號(hào)，對(duì)系數(shù)是 不可忽略負(fù)數(shù)的奇次方是 一個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方是一個(gè)正數(shù)4同底數(shù)冪的除法(1)冪的運(yùn)算性質(zhì) 4同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減用字母可以表示為：aa， 都是正整數(shù)，且 這個(gè)性質(zhì)成立的條件是：同底數(shù)冪相除，結(jié)論是：底數(shù)不變，指數(shù)相減和 同底數(shù)冪的乘法類(lèi)似被除式和式都是冪的形式且底數(shù)一定要相同商也是一個(gè)冪其 數(shù)與被除式和除式的底數(shù)相同中的指數(shù)是被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)之差為不 能作除數(shù)，所以底數(shù) a0.(2)性質(zhì)的推廣運(yùn)用三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪連續(xù)相除時(shí)，該性質(zhì)仍然成立，例如 a am n (0，n， 為整數(shù)

8、mn【例 4】計(jì)算：(1)()()；(2)(1)；(3)()()(x).分析同數(shù)冪的除法性質(zhì)行運(yùn)算時(shí)關(guān)鍵要找準(zhǔn)底數(shù)和指數(shù)中的底數(shù)是， (2)中的底數(shù)是a1)，(3)中的底數(shù)可以是，可以是 .解(1)()()()；(2)(1)(1)(1)；(3)方法 1：()(x)()()()()() 方法 2：()(x)() ()(x) .運(yùn)用同底數(shù)冪除法性質(zhì)的關(guān)鍵是看底數(shù)是否相同，若不相同則不能運(yùn)用該性 質(zhì)，指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)；冪的前三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)中字母 ， 可表 示任何實(shí)數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式和多項(xiàng)式；第四個(gè)性質(zhì)即同底數(shù)冪的除法性質(zhì)中，字母 只表示不為零的實(shí)數(shù)，或表示其值不為零的單項(xiàng)式和多

9、項(xiàng)式注意指數(shù)是“”的情況，如 a，不是 a.5零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(1)零指數(shù)冪：任何一個(gè)不等于的數(shù)的零次冪都等于 35 b 5 b 用字母可以表示為：1(a0)a1 的前提是 a0，如x2)1 成的條件是 2.(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何一個(gè)不于零的數(shù)的( 正整次冪，等于這個(gè)數(shù)的 p 次 冪的倒數(shù)1用字母可以表示為： (0 是整)1a 的件是 a， 為正整數(shù)，而 0 a等是無(wú)意義的當(dāng) a 時(shí)，a的值一定為1 1正；當(dāng) a0 時(shí)，p 的值視 p 的偶性而定，如2) ，(3) .8 9規(guī)定了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，就可 以推廣到整數(shù)指數(shù)冪了是同數(shù)冪除法的性質(zhì)推廣到整

10、數(shù)指數(shù)冪 a(0，1m， 都整如 ；正整數(shù)指數(shù)冪的某些運(yùn)算，在負(fù)整數(shù)指數(shù)冪中也a能適用如 aa 【例 5】計(jì)算：等 (1)1.610；(2)(；(3) 3；1 1 2(4)(3.14)；(5) 3 3.1分析：此題是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的計(jì)算，可根據(jù) a p 是整數(shù)0)和a1(a0)計(jì)其(1)應(yīng)先求出 10的值，再運(yùn)用乘法性質(zhì)求出結(jié)果1解：(1)1.6101.6 1.60.000 1 16.101 1(2)( .3 27 5 3 9(3) . 3 5 25(4)因?yàn)?3.141 592 ，所以 3.140.故3.14)1.1 1 3 1(5)原式 19 8 1 2 2 2 3只要底數(shù)不為零，

11、而指數(shù)是零，不管底數(shù)多么復(fù)雜，其結(jié)果都是 當(dāng)個(gè)負(fù)a 整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，它等于底數(shù)倒數(shù)的正整數(shù)次冪， 6用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較的數(shù)(1)絕對(duì)值小于 1 的可記成10n的形式，其中 1a10，n 正整數(shù)n 等于原數(shù)中第一個(gè)不等于零的數(shù)字前面的零的個(gè)(括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零)種記數(shù)方法也是 科學(xué)記數(shù)法(2)把一個(gè)絕對(duì)值小于 1 的數(shù)科學(xué)記數(shù)法表示分兩步：確定 a1，它是將原 數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)后的結(jié)果；確定 n，n 是整數(shù)，它等于原數(shù)化為 后數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位 數(shù)(3)利用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，不簡(jiǎn)便，而且更便于比較數(shù)的大小，如：顯然大于 2.5710，前者是后者的 10倍【例 61 年甲型 H1N1

12、流感墨西哥暴發(fā)并在全球蔓延們通過(guò)注意個(gè)人 衛(wèi)生加強(qiáng)防范研究表明，甲型 H1N1 流球形病毒細(xì)胞的直徑約為 0.000 001 56 用4學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)( )A0.15610 B0.15610C1.5610 D1.5610解：題考查科學(xué)記數(shù)法，將一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為10 (1a10)的形 式，其中 a 是整數(shù)數(shù)位只有一的數(shù)，所以 A 不正確 是整數(shù) 等原數(shù)中第一 個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù) (包小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零 )，所以 n6，即 0.000 001 56 1.5610.故選 C答：n 的也等于將原數(shù)寫(xiě)成科學(xué)記法10n時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)如本題中將 0.000 001 56 寫(xiě)科學(xué)記數(shù)法

13、表示時(shí) 1.56即將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了 6 位，所以 n 值是 6.【例 62】已知空氣的單位體質(zhì)量為 1.2410 g/cm1.2410 ( )用小數(shù)表示為A0.000 124 B0.012 C0.001 24 0.001 24解：為 1.243，因此原數(shù)是 1 前有 3 個(gè)零包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零)， 即 0.001 24.答：本題可把 1.24 的數(shù)點(diǎn)向左移 3 得到原數(shù)，也可利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪算出10的值，再與 1.24 相乘到原數(shù)7冪的混合運(yùn)算冪的四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)是整式(除)的基礎(chǔ)是整式除)法的主要依據(jù)行的運(yùn)算，關(guān)鍵是熟練掌握冪的四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，深刻理解每個(gè)性質(zhì)的意義，避免互相混淆 冪的

14、混合運(yùn)算順序是先乘方，再乘除，最后再加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的因此，運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先細(xì)心觀察，合理制定運(yùn)算順序，先算什么，后算什么，做到心中有數(shù)(1)同數(shù)冪相乘與冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)混淆，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤如： aa(.解題時(shí)應(yīng)首先分清是哪種運(yùn)算若是同底數(shù)冪相乘應(yīng)指數(shù)相加若冪的乘方，應(yīng)將指數(shù)相乘正解：a；a).(2)同底數(shù)冪相乘與合并同類(lèi)項(xiàng)淆從而導(dǎo)致錯(cuò)誤a2.是同底數(shù)冪相乘，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相加；是合并同類(lèi)項(xiàng)，應(yīng)系數(shù)相加作系數(shù)，字母和 字母的指數(shù)不變正解：a；aa2.【例 71】下列運(yùn)算正確的( AB3Ca36D)解：于 A，者不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并；對(duì)于 B，結(jié)果應(yīng)為 a；于 C，結(jié)果是正 確的；對(duì)于 D

15、，()a.選 答：【例 72】計(jì)算：2y8()()().分析：按照運(yùn)算順序，先利用積的乘方化簡(jiǎn)，即 (2x) 8()( x)()8再用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法化簡(jiǎn)乘方后的結(jié)果后并 同類(lèi)項(xiàng)解(2y8()(x)(y)8()8xyxy80.8冪的運(yùn)算性質(zhì)的逆用5 b 1 y1 b 1 y1 1對(duì)于冪的運(yùn)算性質(zhì)的正向運(yùn)用大家一般比較熟練有些問(wèn)題需要逆用冪的運(yùn)算性 質(zhì)，可以使問(wèn)題化難為易、求解更加簡(jiǎn)單(1)逆用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：a(m， 為整)如 222.當(dāng)遇到冪的指數(shù)是和的形式時(shí)了計(jì)算的需要往逆用同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)冪 轉(zhuǎn)化成幾個(gè)同底數(shù)冪的乘法但是一定要注意，轉(zhuǎn)化后指數(shù)的和應(yīng)等于原指數(shù)(2)逆用冪的乘

16、方性質(zhì)：a()(a)(m， 均為正整數(shù)逆用冪的乘方性質(zhì)的方法是冪底數(shù)不變將的指數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積轉(zhuǎn) 化成冪的乘方的形式如 x()，于選擇哪一個(gè)變結(jié)果，要具體問(wèn)題具體分 析(3)逆用積的乘方性質(zhì)：ab()(n 為正整數(shù))當(dāng)遇到指數(shù)相差不大，且指數(shù)比較大時(shí)以慮逆用積的乘方性質(zhì)解題注必 是同指數(shù)的冪才能逆用性質(zhì)，逆用時(shí)一定要注意：底數(shù)相乘，指數(shù)不變(4)逆用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)：a(a0， 為數(shù))當(dāng)遇到冪的指數(shù)是差的形式時(shí)了計(jì)算的需要往逆用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)冪 轉(zhuǎn)化成幾個(gè)同底數(shù)冪的除法但是一定要注意，轉(zhuǎn)化后指數(shù)的差應(yīng)等于原指數(shù)【例 81】(1)已知 3 2,3 6則 的值為_(kāi)；1 7(2)若 ，

17、，則 mr5 5的值為_(kāi)解：(1)為 2,3 62所以 33(3)(3)26 91 7(2)m)()() 51 52 1 答：(1) (2)9 5【例 82】(1)計(jì)算：2 2 ；(2)已知 10 3，求 10y 的分析：(1)本的指數(shù)較大，按規(guī)方法計(jì)算很難，觀察式子特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)4 是 2 012的兩倍，可逆用冪的乘方性質(zhì)，把 2 化為2) ，樣與 2 逆用積的乘方性質(zhì)，此1 時(shí)發(fā)現(xiàn)底數(shù)互為倒數(shù)，但指數(shù)不相同，因此逆用同底數(shù)冪的乘法及逆用積的乘方性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；(2)可用冪的方，把 為條件中的形式1解(1)原式 (2) (用冪的乘方) (22) (逆積的乘)1 1 8(用同底數(shù)冪的乘) 8(逆用積

18、的乘)8.(2)因?yàn)?10(10)28,10(10)39 所以 1010108972.69利用冪的運(yùn)算性質(zhì)比較大小在冪的運(yùn)算中常會(huì)遇到比較正整數(shù)指數(shù)冪的大小問(wèn)題于一些冪的指數(shù)較小的問(wèn) 題，可以直接計(jì)算出冪進(jìn)行比較；但當(dāng)冪的指數(shù)較大時(shí)過(guò)先計(jì)算出冪再比較大小，就 會(huì)很繁瑣甚至不可能這時(shí)可利用冪的運(yùn)算性質(zhì)比較冪的大小比較冪的大小，一般有以下幾種方法：(1)指數(shù)比較法：利用乘方，將較大小的各個(gè)冪的底數(shù)化為相同的底數(shù)，然后根據(jù)指 數(shù)的大小關(guān)系確定出冪的大小(2)底數(shù)比較法：利用乘方，將較大小的各個(gè)冪的指數(shù)化為相同的指數(shù)，然后根據(jù)底 數(shù)的大小關(guān)系確定出冪的大小(3)作商比較法：a a a當(dāng) 00 時(shí)利用“

19、若 ， ； 1則 a； 1則 ab”比b b較有關(guān)冪的大小比較的技巧和方法除靈活運(yùn)用冪的有關(guān)性質(zhì)外應(yīng)意策略利特 殊值法、放縮法等【例 9】(1)已知 81，27，9，則 ， 的小關(guān)系( A BbC D(2)345 的大小關(guān)系是 )A45 B54C43 D4399 11(3)已知 P ， ，那么 P， 的大小關(guān)系( )9 9A C 無(wú)法比較解：因?yàn)?81(3)3，b(3)3，c9(3)又 123122，所以 333即 c故選 A(2)因?yàn)?3(3)2434(4)256(5)125 125243256以 125243256， 534.選 P 99 9 911 9 11 9(3)因?yàn)?1所以 P.故選 Q 9 11 9 11 11答：(1)A (2)B (3)B10冪的運(yùn)算性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用利用冪的運(yùn)算可以解決一些實(shí)際問(wèn)題以要熟練掌握好冪的運(yùn)算性質(zhì)在際問(wèn)題 中靈活地運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)求解問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)必須認(rèn)真審題據(jù)題意列出相關(guān)的算式進(jìn)而利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn) 行運(yùn)算或化簡(jiǎn)，特別地，當(dāng)計(jì)算的結(jié)