八年級數(shù)學(xué)下冊 勾股定理知識點和典型例習(xí)題1 人教新課標(biāo)版

1、梯 形梯 形新教八級冊股理章識和型習(xí) 一基知點勾定內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為 a ， ，邊為 ，么 a勾股定理的由來勾股定理也叫高定理在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理國古代把直 角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股邊稱為弦早三千多年前，周 朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三股四弦五”形式的勾股定理后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明 了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾定的明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是D圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積

2、不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：HF方法一： 4 S 方正方形，14 ab 2，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積角三1角形的面積與小正方形面積的和為 ab 2大正方形面 D積 為 a a b所 以 b 三 ：梯形1 1 ( a ， S c2 2 2，化簡得證勾定的用圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系適用于直角三角形于 角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征而應(yīng)用勾股定理時必須明了所考察 的對象是直角三角形勾定的用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在 ABC 中 則 ，a 知道直角三角形一邊得外兩邊之間數(shù)量

3、關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題勾定的定如果三角形三邊長 a ， b ， 滿足 a ，么這個三角是直角三角形，其中 c 為 斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀運用這一定理時用小邊的平方和 與較長邊的平方 作比較，若它們相等時，以 a ， b ， c 為邊的三角形直角三角形；若用心愛心專心1a，時以 b ， 為邊的三角形是鈍角三角形若 a，時以 ，b c 為邊的三角形是銳角三角形；定理中 ， ， c 及 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三 邊長 a ， b ， 滿 a ，么以 b ， 為三邊的三角形是直角三形，

4、但是 為 斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時能成斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和 時，這個三角形是直角三角形勾數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù) 中a b c 為 正整數(shù)時，稱 ， b ， 為組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如,4,5 ； ； 5,12,13 ； 等 用含字母的代數(shù)式表示 勾股數(shù)： n n （ 2, 正整數(shù) n n,2 n n （ 為正整數(shù)m ,2 m （ m 為正整數(shù)） 勾定的用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的 證明問題在用勾股定理時必須把握直角三角形的前提條件了直角三角形中斜 和直角邊各是什么，以便運用

5、勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線 直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解股理定的用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角 三角形在具體推算過程中應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較切不可不加思 考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論勾定及逆理應(yīng)勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不 可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常 見 圖 形 ： DC30ABA D BB A10、逆題概如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命

6、題的結(jié)論和題設(shè)的兩個命題叫做互逆 命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。二、經(jīng)例精題一直考勾定例.在 中 已知 AC ， BC 求 的已知 17 ， AC ，求 的分析：直接應(yīng)用勾股定理 解： BC用心愛心專心2 BC ABAC題二利勾定測長例 1 如梯子的底端離建筑物 9 米么 15 米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解：是一道大家熟知的典型“知二求題實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！ 根據(jù)勾股定理 AC+BC=AB, 即 AC+9=15,以 AC=144,以 AC=12.例 2 如8），水池離岸邊 D

7、點 1.5 的 處，立長著一根蘆葦，出水部分B C 的是 0.5 米，把蘆葦拉到岸，它的頂端 好落到 ，并求水池的深度 解：例題 一樣先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 2. 由題可知 中ACD=90在 RtACD 中只知道 CD=1.5是典型的利用勾股定知求一的型。 標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解如圖 2，根據(jù)勾股定理AC+CD=AD設(shè)水深 AC= x 米，么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x+1.5=（ x+0.5）解之得 x=2.故水深為 2 米題三：勾股理逆理用例 3 如 3，正方形 ABCD 中， 是 BC 邊的中點F 是 AB 上點，且FB AB那么 是直角三角形嗎？為么？解：

8、道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細(xì)題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，F(xiàn)B AB可以設(shè) AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= 那么在 eq oac(,Rt) 、 eq oac(,Rt) 和 eq oac(,Rt)CDE 中分別利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的長反過來再利用勾股定理逆定理去判 DEF 是否是直角三角形。用心愛心專心3詳細(xì)解題步驟如下：解設(shè)正方形 ABCD 的邊為 4a,則 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 eq oac(,Rt)CDE 中，=CD+CE=(4a)+(2 a)=20 a同理 EF=5a,

9、 DF=25a在 中，+ DE=5a+ 20a=25a=DF 是角三角形，且DEF=90.注本利了次股理是握股理必習(xí)。題四：利用股理線長例 4 如圖 4，已知方形 ABCD AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD 上一點 E， eq oac(,將) 折 疊使點 恰落在 BC 邊的點 ，求 CE 的長.解：題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是詳解過如：解根據(jù)題意得 eq oac(,Rt)ADEAFE=90, AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm，則 DE=EF=CDCE=8在 eq oac(,Rt)ABF 中勾股定理得：AB+BF=AF， 8+BF=10，CF=BCBF=106=4

10、(cm)在 eq oac(,Rt)ECF 中勾股定理可得：EF=CE+CF，(8x) =x+46416x+x=2+16x=3(cm),即 cm注本接來可折的度求疊分面。 題五利勾定逆理斷直例 5 如圖 5師想要檢測桌子的表面 AD 邊否垂直與 AB 邊 D 邊他測得 AD=80cm，AB=60cmBD=100cmAD 邊與 AB 邊垂嗎怎樣去 驗證 邊與 CD 邊是垂直？關(guān)鍵。用心愛心專心4解：于實物一般比較大長度不容易用直尺來方測量們通常截取部分長度來驗證。如圖 4，矩形 ABCD 表桌面形狀，在 上截 AM=12cm,在 AD 上取 AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度)，結(jié) MN測量

11、 MN 的長。如果 MN=15,則 +AN,所 AD 與 AB 邊直；如果 MN=a15,則 9+12=81+144=225, 225, +12 a，以A 不直角。利用勾股定理解決實際問題例 6 有一個傳感器制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5 米內(nèi)，燈就自動打開，一個身高 1.5 米學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的方燈剛好打開？解：先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈 米是腳先距離燈 5 米可想而知應(yīng)該是頭先離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 6 所示A 點示控制燈，BM 表人的高度BCMN,BCAN 當(dāng)頭B 點）離 A 有 5 米時，求 BC 的長度。已知 米所以 AC=

12、3 米，由勾股定理，可計算 BC=4 米即要走到離門 4 米時候燈剛好打開。題六：旋轉(zhuǎn)題例 1、如圖， 是角三角BC 是斜， 繞點 逆時旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合若 AP=3， PP的長。變式 1：如圖，P 是邊三角形 ABC 一點PA=2,PB= ,PC=4,求ABC 的長分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA點逆時針選6，將三條線段集中到同一個三角形中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角變式2、如圖，為等腰直角角形，BAC=90，E、是C上點，且EAF=45，試探究、CF 2EF 間的關(guān)系，并說明理.題七關(guān)于折題例 1如矩紙片 ABCD 的 BC=6cm BC 上一點將形紙片沿 折疊

13、點 B 恰好在 CD 邊上點 G 處求 BE 的.變式：如圖 是 的線ADC=45把ADC 沿線 AD 翻折，點 落點 C的位置BC=4,求 BC的長題八關(guān)于股理實中應(yīng)用用心愛心專心5例 1、如圖，公路 MN 和路 PQ 在 P 點交匯，點 處有所中學(xué)AP=160 米點 A 到路 MN 的距 離為 80 米假使拖拉機(jī)行駛時，周圍 100 以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN 上 PN 方 向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是 8 千米小， 那么學(xué)校受到影響的時間為多少？題九關(guān)于短問例 5、如右圖 1，虎在一底面半徑為 2 米，為 米的油罐的下底邊沿

14、處它現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B 有一只害蟲便定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害（ 3.14，結(jié)果保留 1 位數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為 3cm 的正體，把所有面都分為 9 個正方形，其邊長都是 1cm，設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下地面 A 點沿面爬行至右側(cè)面的 B 點 最少要花幾秒鐘？三、課訓(xùn)：一、填空題1如圖1)，在高 2 米坡角為 30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少_米DCBEDOC第 4 題圖A圖1)AF第 題

15、圖B2種盛飲料的圓柱形杯（如圖內(nèi)部底面半徑為 2.5 ，高為 12 ，管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露 出 問吸管要做 3已知：如圖，ABC 中，C 90，點 O 為ABC 的三條角平分線的交點，OD，OFAB，點 D 、 E 、 F 分 別 是 垂 足 ， 且 BC = 8cm CA = 6cm ， 則 O 到 三 邊 AB ， AC 和 BC 的 離 分 別 等于cm4在棵樹的 10 米處有兩只猴子一只猴子爬下樹走到離樹 20 米處池塘的 A 處另一只爬到樹頂 D 直 接躍到 A 處距以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹。5.如圖是一個三級臺階，它的每級的長寬和高分別為 20dm

16、、3dm、A 202dm， 和 B 是這臺階兩個相的端點A 有一只螞蟻，想到 B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到 B 點最短路程_.23二、選擇題1已知一個 eq oac(,Rt)的邊長分別為 3 和 ，則第三邊長的平方是（ ）A、25 B、14 C、 D7 或 252 eq oac(,Rt)一直角邊的長為 ，兩邊為自然數(shù)，則 eq oac(,Rt)周長為（ ）A、 B、 、132 、不能確定3如果 eq oac(,Rt)兩直角邊的比為 512則斜邊上的高與斜邊的比為（ ）A、60 B、5 C1213 D、4已知 eq oac(,Rt)ABC 中若 a+b=14cmc=10cm則 eq

17、oac(,Rt) 的面積是（ ） A、24cm B、36cm C、48cm D60cm5等腰三角形底邊上的高為 8，長為 ，則三角形的面積為（ ）A、56 B、 C、40 、32B用心愛心專心66某市在舊城改造中計在內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境知種皮每平方米售價 a 元，購買這種草皮至少需要（ ）A、450a 元 B、 元 C、150a D 元AE D20m30m150第 6 題圖B第 7 題圖FC7已知，如圖長方形 ABCD 中，AD=9cm，此長方形折疊，使點 B 與點 D 重，折痕為 EF， ABE 的面積為（ ）A、6cm B、8cm C、10cm D12cm8在 中

18、，=15AC，高 AD=12， 的長為A42 B32 C42 或 32 D 或 33 9. 如，正方形網(wǎng)格中的ABC若小方格邊長為 ，則ABC 是 （ ）CB（）角三角形 銳三角形 鈍角三角形 以上答案都不對A三、計算1、如圖AB 是直公路 l 同的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m 和 ，村莊之間的距 離為 d(已知 d=400000m)，現(xiàn)要公路上建一汽車?？空荆箖纱宓酵？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？BAl2、如圖 1-3-11，有一塊塑料矩模板 ABCD長為 10cm，寬為 ，你手中足夠大的直角三角 PHF 的直角 頂點 P 落在 AD 邊（不與 A、 重合 AD 上當(dāng)移動三角板頂點 P：能否使你的三角板兩直角邊分