普通物理學(xué)教程第二版課件：5-2 卡諾定理

1、5.2 卡諾定理 熱力學(xué)第二定律無(wú)論是利用兩種表述，還是利用四種不可逆因素來(lái)判別可逆與不可逆都有很多局限性。正如馬克斯所說(shuō)：一門(mén)學(xué)科只有在能成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才可說(shuō)它真正的發(fā)展了。聯(lián)想到第一定律是因?yàn)檎业搅藨B(tài)函數(shù)內(nèi)能，建立了第一定律數(shù)學(xué)表達(dá)式才能成功地解決很多實(shí)際問(wèn)題。若要方便地判斷可逆與不可逆，要更進(jìn)一步揭示不可逆性的本質(zhì)，也應(yīng)找到一個(gè)與可逆,不可逆性相聯(lián)系的態(tài)函數(shù)熵，再在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)分析和判斷可逆與不可逆過(guò)程。為了能引入態(tài)函數(shù)熵，要分三步走:(1) 建立卡諾定理，這是本節(jié)討論的主要內(nèi)容;(2) 建立克勞修斯等式及不等式；(3) 引入熵并建立熵增

2、加原理。 5.2.1卡諾定理卡諾定理表述如下： (1)在相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩撮g工作的一切可逆熱機(jī)其效率都相等，而與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)。 (2)在相同高溫?zé)嵩磁c相同低溫?zé)嵩撮g工作的一切熱機(jī)中，不可逆熱機(jī)的效率都不可能大于可逆熱機(jī)的效率。 由于歷史的局限性，卡諾信奉當(dāng)時(shí)在科學(xué)界中據(jù)支配地位的“熱質(zhì)學(xué)”?？ㄖZ是在“熱質(zhì)說(shuō)”的錯(cuò)誤思想的指導(dǎo)下得出卡諾定理的.“熱質(zhì)學(xué)”認(rèn)為熱是相當(dāng)于物質(zhì)的熱質(zhì),它是狀態(tài)的函數(shù),不是過(guò)程的改變量,當(dāng)然就不存在絕熱過(guò)程.所以卡諾定理中所說(shuō)的“在相同的高溫?zé)嵩春拖嗤牡蜏責(zé)嵩撮g工作的一切可逆熱機(jī)”就是由兩個(gè)等溫過(guò)程和兩個(gè)絕熱過(guò)程所組成的卡諾熱機(jī).反證法證明卡諾定理 現(xiàn)有兩

3、部熱機(jī)，一為可逆機(jī) a.以圓圈表示.另有一任意熱機(jī) b( 是可逆的，也可是不可逆的 )，以方框表示.它們都工作在相同的高溫?zé)嵩? 溫度為 T1 )及低溫?zé)嵩? 溫度為 T2 )之間。若熱機(jī) a 從高溫?zé)嵩次鼰?Q1 ,向外輸出功 W 后，再向低溫?zé)嵩捶懦?Q2 的熱，圖所示。 設(shè)可逆機(jī) a 的效率為a 小于另一熱機(jī) b 的效率 b 即 a可 0則有Q1-Q2=Q1-Q2將它代入 a可 b任因Q1-Q1=Q2 -Q2則有熱量Q2 -Q2從低溫?zé)嵩床粩嗔鞯礁邷責(zé)嵩慈?，而外界并未?duì)聯(lián)合機(jī)器作功，因而違背克氏表述。l把 a 機(jī)與 b 機(jī)聯(lián)合運(yùn)轉(zhuǎn)，這時(shí)熱機(jī) b 的輸出功恰好用來(lái)驅(qū)動(dòng)制冷機(jī) a 。 聯(lián)合運(yùn)

4、轉(zhuǎn)凈效果是，高溫?zé)嵩磧舻脽崃縌1-Q1，低溫?zé)嵩磧羰崃浚?Q2 -Q2 說(shuō)明前面的假定是錯(cuò)誤的. 正確的只能是 b 機(jī)效率不能大于 a 機(jī)的效率，即 若 b 機(jī)也是可逆機(jī)，按與上類似的證明方法，也可證明兩個(gè)式子能同時(shí)成立的唯一可能是 B可 = A可也可以得到 B任A可這分別是卡諾定理的表述(1)，和表述(2)。任何可逆卡諾熱機(jī)的效率上述證明中并沒(méi)有對(duì)工作物質(zhì)作出任何規(guī)定，任何可逆卡諾熱機(jī)的效率應(yīng)該等于利用理想氣體作為工作物質(zhì)的熱機(jī)效率，所以有 這是一個(gè)不等式，也即表述了某種不可能性。這是第二定律所揭示的不可逾越的限度。不等式和熱力學(xué)基本定律 熱力學(xué)中還有其它的“限度”的表述，例如：“任何機(jī)器

5、不可能有大于1的效率”， 實(shí)際上這就是第一類永動(dòng)機(jī)不可能存在，是熱力學(xué)第一定律的另一表述方法。其它如“絕對(duì)零度是不可能達(dá)到的”，這是熱力學(xué)第三定律. 這種否定式的陳述方式，并不局限于熱力學(xué)范圍。 相對(duì)論和量子力學(xué)中的不可能性 例如在相對(duì)論中的“真空中光速的不可逾越性”； 在量子統(tǒng)計(jì)中的“粒子的不可區(qū)分性”(即全同粒子性)；在量子力學(xué)中的“不可能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)確一個(gè)粒子的位置和動(dòng)量”(即測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系)。 在熱力學(xué)、相對(duì)論和量子力學(xué)中，正是由于發(fā)現(xiàn)了上述的“不可能性”，并將它們作為各自的基本假定，熱力學(xué)、相對(duì)論與量子力學(xué)才能很準(zhǔn)確地表述自然界的各種規(guī)律。 卡諾的功績(jī)卡諾的偉大就在于，他早在1824 年，即

6、第二定律發(fā)現(xiàn)之前26年就得到了這一“不可能性”， 假如年輕的卡諾不是因病于1832年逝世，他完全可以創(chuàng)立熱力學(xué)第二定律.卡諾只要徹底拋棄熱質(zhì)說(shuō)的前提，同時(shí)引用熱力學(xué)第一定律與第二定律，就可嚴(yán)密地導(dǎo)出卡諾定理。事實(shí)上，克勞修斯就是從卡諾在證明卡諾定理的破綻中意識(shí)到能量守恒定律之外還應(yīng)有另一條獨(dú)立的定律的。 也就是說(shuō)作為熱力學(xué)理論的基礎(chǔ)是兩條定律，而不是一條定律.于是克勞修斯于1850年提出了熱力學(xué)第二定律。而當(dāng)時(shí)第一定律才得到普遍公認(rèn)。正如恩格斯所說(shuō)：“他(卡諾)差不多已經(jīng)探究到問(wèn)題的底蘊(yùn)，阻礙他完全解決這個(gè)問(wèn)題，并不是事實(shí)材料的不足，而只是一個(gè)先入為主的錯(cuò)誤理論”。 這個(gè)錯(cuò)誤理論就是“熱質(zhì)說(shuō)”

7、卡諾的科學(xué)思維方法 卡諾英年早逝，他能在短暫的科學(xué)研究歲月中作出不朽貢獻(xiàn)是因?yàn)?他善于采用科學(xué)抽象的方法，他能在錯(cuò)綜復(fù)雜的客觀事物中建立理想模型。 在抽象過(guò)程中，把熱機(jī)效率的主要特征以純粹理想化的形式呈現(xiàn)出來(lái)，從而揭示了客觀規(guī)律。 卡諾熱機(jī)與其他理想模型諸如質(zhì)點(diǎn)、剛體、理想氣體、理想流體、絕對(duì)黑體、理想溶液一樣都是經(jīng)過(guò)高度抽象的理想客體。它能最真實(shí)、最普遍地反映出客觀事物的基本特征。 *5.2.2卡諾定理的應(yīng)用 卡諾定理有很多重要應(yīng)用。 他除了給出了熱機(jī)效率的極限之外，還可用于求出平衡物質(zhì)所滿足的某些基本關(guān)系式。 5.2.3熱力學(xué)溫標(biāo) 在1.3.2中已提到熱力學(xué)溫標(biāo)是一種不依賴于任何測(cè)溫物質(zhì)的

8、，適用于任何溫度范圍的絕對(duì)溫標(biāo)。 實(shí)際上它是由開(kāi)爾文于1848年在卡諾定理基礎(chǔ)上建立起來(lái)的一種理想模型。 我們知道熱機(jī)效率定義為 按卡諾定理，工作于兩個(gè)溫度不同的恒溫?zé)嵩撮g的一切可逆卡諾熱機(jī)的效率與工作物質(zhì)無(wú)關(guān)，僅與兩個(gè)熱源的溫度有關(guān)， 說(shuō)明它從兩個(gè)熱源吸收或者釋放的熱量的比值僅決定于兩個(gè)熱源的溫度， 因而它僅是兩個(gè)熱源溫度的函數(shù)。為此開(kāi)爾文建議建立一種不依賴于任何測(cè)溫物質(zhì)的溫標(biāo)。設(shè)由這一溫標(biāo)表示的任兩個(gè)熱源的溫度分別為 1 及 2 ，在這兩個(gè)熱源間工作的可逆卡諾熱機(jī)所吸、放的熱量的大小分別為Q1及 Q2。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，規(guī)定有如下簡(jiǎn)單關(guān)系: 由 1 及 2 表示的溫標(biāo)稱為熱力溫標(biāo)，也稱為開(kāi)爾文溫標(biāo)。 因?yàn)榭赡婵ㄖZ熱機(jī)效率不依賴于任何測(cè)溫物質(zhì)的測(cè)溫屬性，而只與兩個(gè)熱源的溫度有關(guān)， 因而熱力學(xué)溫標(biāo)可作為適用于任何溫度范圍測(cè)溫的“絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)”，故又稱為絕對(duì)溫標(biāo)。 (其中 tr 及 Ttr 分別表示由熱力學(xué)溫標(biāo)及理想氣體溫標(biāo)所表示的水的三相點(diǎn)溫度) 這說(shuō)明用熱力學(xué)溫標(biāo)及用理想氣體溫標(biāo)表示的任何溫度的數(shù)值之比是一常數(shù)。 但注意到，在以前所有的可逆卡諾機(jī)效