近世代數(shù)基礎(chǔ)測驗(yàn)卷

1、測驗(yàn)題一、填空題(42分)1、設(shè)集合心與航分別有代數(shù)運(yùn)算。與且M瓦,則當(dāng)。時，：也滿足結(jié)合律;當(dāng)。時，：也滿足交換律。2、對群中任意元素。,有(?；?1=；3、設(shè)群G中元素a的階是n, nlm則血=；4、設(shè)是任意一個循環(huán)群，若也1=8,貝與 同構(gòu)；若a=n ,則與 同構(gòu)；5、設(shè)G=(。)為6階循環(huán)群，則G的生成元有；子群有；6、n次對稱群S的階 ；置換t = (1378)(24)的階是；n/1 23 4)c 口 23 4)7、設(shè)a=l 3 4 J昨 1 3 2/ 則郎=；8、設(shè)。=(14)(235), t = (136)(25),則 oe t =；9、設(shè)H是有限群G的一個子群，則IGI=；10

2、、任意一個群都同一個同構(gòu)。二、證明題(24)1、設(shè)G為n階有限群，證明：G中每個元素都滿足方程2、敘述群G的一個非空子集H作成子群的充要條件，并證明群G的任意兩個子群H與K 的交H D K仍然是G的一個子群。3、證明:如果群G中每個元素都滿足方程X2 = e,則G必為交換群。2、b-1 a-i ；32、b-1 a-i ；3、4、5、e；整數(shù)加群；n次單位根群；? ,a3 e,a2,a4 f,a,a2,a3,a4,a5 ；a, a5 ；6、n!;4(1 27、I4 1二、解答題(34)1、敘述群的定義并按群的定義驗(yàn)證整數(shù)集Z對運(yùn)算a b = a + b + 4作成群。2、寫出三次對稱群53的所有

3、子群并寫出%關(guān)于子群H=d), (23)的所有左陪集和所有右陪集。參考答案：一、填空題1、滿足交換律;1、滿足交換律;8、9、(456)(32)8、9、IHI:(G:H)10、(雙射)變換群;二、證明題1、已知 G =1 n I, lal=k，則kln令 n=kq,則 an = akq = (ak)q = e即G中每個元素都滿足方程xn = e2、充要條件：a, b g H, n ab g H; a g H n a-i g H ； 證明：已知H、K為G的子群，令Q為H與K的交設(shè) a, b g H，則 a, b g H, a, b g KH是G的子群，有ab e HK是G的子群，有ab e K:

4、.ab e QVa e H，則 a e H且a e K由定理1，可知a -i e H綜上所述，H也是G的子群。3、證：Va, b e G;ab e Ga - a -i = a - a = a 2由消元法得a = a -1ab = (ab) -1 = b -ia -1 = baG是交換群。三、解答題1、解：設(shè)G是一個非空集合，。是它的一個代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件:結(jié)合律成立，即對G中任意元素a, b, c，有(a b)。c = a。(b。c)G中有元素e，它對G中每個元素a，都有e。a = a對G中每個元素a,在G中有元素a-1，使a-1。a = e則G對代數(shù)運(yùn)算。作成一個群。對任意整數(shù)a,b

5、，顯然a+b+4由a,b唯一確定，故。為G的代數(shù)運(yùn)算。(a。b)。c=(a+b+4)。c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a。(b。c)=a+b+c+8即(a。b)。c= a0 (b。c)滿足結(jié)合律V a 均有(-4)。a=-4+a+4=a故-4為G的左單位元。(-8-a)。a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解：I S3 1= 6其子群的階數(shù)只能是1，2, 3, 61階子群(1)2 階子群(1) (12) (1) (13) (1) (23)3 階子群(1) (123) (132)6階子群S3左陪集：(1) H= (1) (23) = (23) HH= (12) (123) = (123) HH= (13) (132) = (132) H右陪集