慣性力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中的運(yùn)用

1、慣性力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中的運(yùn)用摘要：牛頓運(yùn)動(dòng)定律只適用于慣性參考系.在非慣性系中研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過引入慣性力，可以使牛頓 第二定律在形式上仍然成立，從而為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題的求解帶來便利.通過實(shí)例來說明慣性力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中的 靈活運(yùn)用.關(guān)鍵詞：牛頓運(yùn)動(dòng)定律 非慣性系 慣性力 離心力 科里奧利力在研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，參考系的選擇尤為 重要.根據(jù)問題的性質(zhì)，選擇合適的參考系，往往能 夠給問題的求解帶來便利.質(zhì)點(diǎn)在慣性系中的運(yùn)動(dòng) 遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律.但是如果所選擇的參考系是非 慣性系，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就不再符合牛頓第二定律.為了 使牛頓第二定律在形式上仍然成立，需要引入慣性 力.因此，慣性力并不是真實(shí)存在的

2、，而是為了使牛 頓運(yùn)動(dòng)定律在非慣性系中成立而引入的假想力.本 文首先給出在非慣性系中研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)須引入的慣 性力，然后通過實(shí)例說明慣性力在處理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問 題中的運(yùn)用.慣性力的引入設(shè)參考系K系和K系分別為靜參考系和動(dòng)參 考系，并且K系是慣性系，質(zhì)量為況的質(zhì)點(diǎn)相對于K 系和K系的位矢、速度和加速度分別為r，v，a和r， %，%，而K系的原點(diǎn)。相對于K系的位矢、速度、 加速度分別為r+#+，$+.若K系相對于K系平動(dòng)，如圖1(a)所示，則質(zhì) 點(diǎn)在這兩個(gè)參考系中的速度和加速度的變換關(guān)系 為&1v = v0 + # a = a0 + a(1)若a+ # 0，則K系是非慣性系，為了使質(zhì)點(diǎn)在 K系中的運(yùn)動(dòng)符

3、合牛頓第二定律，須引入平移慣性 力(:=,$o(2)若K系相對于K系除了平動(dòng)，還以恒定的角速 度c繞著通過原點(diǎn)。的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1(b)所示， 則質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度的變換關(guān)系為&1v = v v0 + c ) ra = a+a0 +cX (cX) + 2cX%(3)*K保(a)(b)圖1 K系和K系此時(shí),若要在系中研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，除了引 入平移慣性力(外，還須引入慣性離心力(和科里 奧利力，分別為(7 = , mc X (cXr)(78 =一2mc X v(4)以上給出了 3種慣性力的定義.需要指出的是，如果K系相對于K系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不恒定，則還須 再引入由于角速度變化而產(chǎn)生的慣性力這里不 再

4、贅述.光滑斜面上物塊的運(yùn)動(dòng)如圖2(a)所示，物塊從斜面體頂端靜止開始下 滑，物塊和斜面體的質(zhì)量分別為$和M,斜面的長 度為L,傾角為為簡單起見，各接觸面均光滑，物 塊和斜面體的受力如圖2(b)所示.設(shè)斜面體相對于 地面的加速度為a,對于斜面體的受力，沿水平和豎 直方向分別有Nsin #Ma(5)N Ncos Mg # +(6)式中N和3分別是物塊對斜面的壓力和地面對斜 面體的支持力的大小.以斜面體為參考系研究物塊 的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于斜面體向左加速運(yùn)動(dòng)，須引入平移慣 性力6： = $a ,如圖2(c)所示，設(shè)物塊沿斜面運(yùn)動(dòng)的 加速度為對于物塊的受力，沿斜面和垂直于斜面 方向分別有$gsin ( 6c

5、os = $a(7)N ( 6sin = $gcos (8)聯(lián)立式(5)(8),解得_ $gs in cos / _ (M ( $) gs in ()aM ( $ sin2a M ( $ sin2N = M$gcos n = M(M ($)g (# +) M ( $ sin2M ( $ sin2物塊下滑到斜面底部所需的時(shí)間為!2L _ l2L (M ( $ sin2)$ a $ (M ( $) g sin (11)如圖(11)如圖2(d)所示，此時(shí)斜面體和物塊相對于地面+m =2gL sin co s2 (M (1) (M ( sin2) $12)2gLsin(+m =2gL sin co s

6、2 (M (1) (M ( sin2) $12)(13)當(dāng)$ % M時(shí)，式(12)和(13)近似取aM & 0 a& $2gL sin 上述結(jié)果簡化為物塊沿固定不動(dòng)的光滑斜面下滑的 情況2.N(c)(d)圖2光滑斜面上物塊的運(yùn)動(dòng)分析圖轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上小球的運(yùn)動(dòng)!3一半徑為7的圓盤沿徑向開有一光滑的小槽, 圓盤以恒定的角速度w繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng).在槽內(nèi)距圓 心為/處釋放一質(zhì)量為$的小球，小球開始沿半徑 向外運(yùn)動(dòng).為了研究小球相對于圓盤的運(yùn)動(dòng)，建立如 圖3(a)所示的固定于圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系 Oxyzz軸垂直于紙面向外).由于以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓 盤為參考系，須引入慣性離心力(和科里奧利力 (coc,小球的受力如圖3(b

7、)所示，兀和(o的大小分 別為fc = $! x/cor = 2 $! +(14)圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上小球的運(yùn)動(dòng)分析圖上式中，0是小球在x時(shí)相對于圓盤的速度大小圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上小球的運(yùn)動(dòng)分析圖設(shè)小球相對于圓盤的加速度為/,根據(jù)牛頓第二定律有1 j 7 ( $b2 a2(23)(15)mg +1 +2 + （c （8 = $上式中,+1和+分別是小槽側(cè)壁和底部對小球的作用力，將式（15）投影到% % %和9軸方向并聯(lián)立4 總結(jié)式（14）,有(16)N# = 0(17)N , mg = 0由式( 16)有2 / _ / _ M+ _ M+ d% _ t/d% ! % =a = = 7 j = t dtdx dt d%(18)(19)分離變量并積分，有! 2 ! % = I + % M+0J aJ 0可得小球在槽內(nèi)處的速度大小為(20)/722+% a(21)在非慣性參考系中，通過引入慣性力，可以使牛 頓第二定律在形式上仍然成立.本文首先給出了在 平動(dòng)和勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中需要引入的慣性力，然后 通過實(shí)例說明慣性力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中的具體運(yùn) 用.可以看出，慣性力的引入，簡化了這些問題的求 解.當(dāng)然，選擇慣性系原則上也可以求解這些問題, 本文不再贅述.在研究具體的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情 況靈活地選擇參考系，從而為問題的求解帶來便利. 此外，慣性力在實(shí)際中也有很