151傅里葉級數(shù)解析課件

1、第十五章傅里葉級數(shù)本章內(nèi)容1. 傅里葉級數(shù)2. 以2l為周期的函數(shù)的展開式3. 收斂定理的證明2022/10/101第十五章傅里葉級數(shù)本章內(nèi)容1. 傅里葉級數(shù)2. 以215.1 傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、收斂定理2022/10/10215.1 傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性二、函一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類基函數(shù)：周期函數(shù)（整體性質(zhì)） Fourier級數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì) 三角級數(shù) 表達(dá)周期函數(shù)三角函數(shù)系2022/10/103一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩諧波分析稱為三角級數(shù).簡單

2、的周期運(yùn)動 :復(fù)雜的周期運(yùn)動 :得級數(shù)1.三角級數(shù) 2022/10/104諧波分析稱為三角級數(shù).簡單的周期運(yùn)動 :復(fù)雜的周期運(yùn)動 :得1757年，法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):1759年，拉格朗日在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù).1777年，歐拉在天文學(xué)的研究中，用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時的系數(shù).也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).2022/10/1051757年，法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采 在歷史上，三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方 1753年，丹伯努利首先提出將弦振動方程的解表程是分不開的.為為三角級數(shù)的形式,

3、這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理 1822年，傅立葉在 熱的解析理論 一書中對于對于歐拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理，發(fā)展成一般理論.基礎(chǔ)，促進(jìn)了它的發(fā)展.2022/10/106 在歷史上，三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方 175其中傅立葉指出:可以展開成級數(shù)2022/10/107其中傅立葉指出:可以展開成級數(shù)2022/10/972.三角級數(shù)的收斂性三角級數(shù) 證:用M判別法.2022/10/1082.三角級數(shù)的收斂性三角級數(shù) 證:用M判別法.2022/13.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系2022/10/1093.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系2022/10/991.

4、 三角級數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系 問題:我們形式地計(jì)算：要一致收斂二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)2022/10/10101. 三角級數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系 問題:我們形式地計(jì)算：要一致收斂2022/10/1011要一致收斂2022/10/911由上述討論，有： 2022/10/1012由上述討論，有： 2022/10/9122. Fourier系數(shù)和Fourier級數(shù) EulerFourier公式：為EulerFourier公式。 稱由EulerFourier 2022/10/10132. Fourier系數(shù)和Fourier級數(shù) EulerF記為 2022/10/1014記為 2022/10/91

5、4三、收斂定理 1. 按段光滑函數(shù) 2022/10/1015三、收斂定理 1. 按段光滑函數(shù) 2022/10/915 按段光滑函數(shù)的性質(zhì)： (用Lagrange中值定理證明) 2022/10/1016 按段光滑函數(shù)的性質(zhì)： (用Lagrange中值定理證明)2.收斂定理 (證明放到以后進(jìn)行) 2022/10/10172.收斂定理 (證明放到以后進(jìn)行) 2022/10/9172022/10/10182022/10/9183.函數(shù)的周期延拓 如圖所示，F(xiàn)ourier級數(shù)。 2022/10/10193.函數(shù)的周期延拓 如圖所示，F(xiàn)ourier級數(shù)。 2022解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖所示

6、, 2022/10/1020解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖所示, 2022/102022/10/10212022/10/9212022/10/10222022/10/922解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖所示. 2022/10/1023解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖所示. 2022/102022/10/10242022/10/924解所給函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件. 延拓的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于 .2022/10/1025解所給函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件. 延拓的周期函數(shù)的所求函數(shù)的Fourier展開式為2022/10/1026所求函數(shù)的Fourier展開式為2022/10

7、/926利用Fourier展開式求級數(shù)的和2022/10/1027利用Fourier展開式求級數(shù)的和2022/10/927解所給函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件.2022/10/1028解所給函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件.2022/10/928所求函數(shù)的傅里葉展開式為2022/10/1029所求函數(shù)的傅里葉展開式為2022/10/9292022/10/10302022/10/9302022/10/10312022/10/9312022/10/10322022/10/9322022/10/10332022/10/933傅里葉 (1768 1830)法國數(shù)學(xué)家. 他的著作熱的解析 理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性 書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和 三角積分, 他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分. 最卓