2019屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題39二項式定理與其他知識的交匯問題(含解析)3547

1、2019屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題39二項式定理與其余知識的交匯問題(含分析)_35472019屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題39二項式定理與其余知識的交匯問題(含分析)_354711/112019屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題39二項式定理與其余知識的交匯問題(含分析)_3547問題39二項式定理與其余知識的交匯問題一、考情剖析二項式定理是高考高頻考點,基本上每年必考,難度中等或中等以下,二項式定理作為一個工具,也常與其余知識交匯命題,如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等所以在一些題目中不只是考察二項式定理,還要考察其余知識,其解題的重點點是它們的交匯點,注意它們的聯(lián)系二、經(jīng)驗分享

2、二項睜開式形式上的特色項數(shù)為n1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.字母a按降冪擺列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪擺列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從01Cn，Cn，向來到n1nCn，Cn.2.求二項睜開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)切合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k1，代回通項公式即可整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常有的應用問題，整除問題中要關(guān)注睜開式的最后幾項，而求近似值則應關(guān)注睜開式的前幾項二項式定理的應用基本思路是正用或逆用二項式定

3、理，注意選擇適合的形式三、知識拓展1.“賦值法”廣泛合用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其睜開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只要令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其睜開式各項系數(shù)之和，只要令xy1即可2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)睜開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4f1f1，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5f1f1.22四、題型剖析(一)二項式定理與函數(shù)的交匯1【例1】設(shè)函數(shù)f()（xx）6，x0時,ff(x)表達式的睜開式中常數(shù)項為()則當xx，x0，A20B20C15D15【答

4、案】A1【分析】x0時,f(x)x0,故ff(x)f(x)(x6,其睜開式的通項公式為r1x)Trx)6r(1r(1)6rrx)62r,由620,得r33C()C(3,故常數(shù)項為(1)C20.6x6r6【評論】解決此題的重點是當x0時,將ff(x)表達式轉(zhuǎn)變?yōu)槎検健拘≡嚺５丁吭O(shè)f(x)是(x21)6睜開式的中間項,若f(x)mx在區(qū)間2,2上恒建立,則實數(shù)m的2x2取值范圍是（）A（,5）B（,5C（5,）D5,）【答案】D【分析】由題意可知f(x)C63x6135x3,由f(x)5x3mx得m5x2在區(qū)間2,2上恒2x2222建立,所以m5,應選D(二)二項式定理與數(shù)列的交匯1n111【例

5、2】將1（n）的睜開式中x4的系數(shù)記為an,則a3a2015x2a2【答案】40282015nr【分析】11（n）的睜開式的通項為Tr1r1rr2r,由題意可知r2,此x2Cnx21Cnx時,2n(n1)122(11anCn2,所以ann(n1),所以n1n1112(11)(11)(11)2(11)a2a3a2015223201420152015n【小試牛刀】設(shè)二項式x2n(N*)睜開式的二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和分別為()n1n1n1D1A23B2(21)C240282015a1a2anan、bn,則b1b2bn【答案】C1naaan【分析】由題意知an2n成等比數(shù)列,令x1則bn122也成等

6、比數(shù)列,所以bbb2n1,應選C.n12(三)二項式定理與不等式的交匯xy20【例3】若變量x,y知足拘束條件xy20,n2xy2,則n取最大值時,12xx20 xn二項睜開式中的常數(shù)項為.【答案】240【分析】畫出不等式組表示平面地區(qū)如圖,由圖象可知當動直線y2xn2經(jīng)過點A(2,4)時,n2xy2取最大值6.當n6時,故由二項式睜開式的通項公式C6r(2x)6r(1)r6r6rTr126rC6rx2r0可得r2,所以睜開式中的常數(shù)項是,由題設(shè)rx224C62240,故應填答案240.y=-2x+n+2x=2x+y-2=0yA(2,4)xOx-y+2=0【小試牛刀】已知的睜開式中與的項的系數(shù)

7、之比為，則的最小值為（）ABCD【答案】C【分析】在二項式的睜開式中項的系數(shù)是，在二項式的睜開式中項的系數(shù)是。由題設(shè)可得，即，所以（當且僅當取等號），應選答案C。(四)二項式定理與定積分的交匯【例4】【2017屆福建福州外國語學校高三理適應性考試三】已知(x1)6睜開式的常數(shù)項是540,則由曲ax線yx2和yx圍成的關(guān)閉圖形的面積為【答案】5121)6r(1)r(1)rCr6x62r【分析】二項式(x睜開式的通項Tr1C6rx6,令62r0,r3,所以有axaxa(1)3C63540,求出a11yx2(0,0),(1,1),所以由曲線yx2和,所以yxx3,聯(lián)立1,交點坐標為a3yx3yx圍成

8、的關(guān)閉圖形的面積S11234131315(x3x)dx(x33x)43.04012【小試牛刀】【山東省德州市2019屆高三模擬】在的睜開式中，項的系數(shù)等于264，則等于ABCD【答案】B【分析】（a）12的睜開式的通項為由，得r10，解得a2（舍）或a2（2）dx（lnx+x2）ln2+4ln11ln2+3x應選：B(五)二項式定理與導數(shù)的交匯【例5】12016a0a1x2a2x2a2015x2015a2016x220162x22xR,則a12a23a34a42015a20152016a2016（）A1008B2016C4032D0【答案】C【分析】設(shè)函數(shù)f(x)(12x)2016,求導得:f

9、(x)2016(12x)2015(2)4032(12x)2015又f(x)a0a1(x2)a2(x2)2.a2015(x2)2015a2016(x2)2016,求導得f(x)a12a2(x2)3a3(x2)2.2016a2016(x2)2015由令x1得:f(1)a12a23a34a42015a20152016a20164032(1)20154032應選C【小試牛刀】求證C1n2Cn23Cn3nCnnn2n11nC3nx3Cnnxn,【證明】由二項式定理可得x=Cn0+C1nxCn2x2n1n12Cn2x13Cn3x2nCnnxn1,兩邊取導數(shù)可得x=C1n令x1得C1n2Cn23Cn3nCn

10、nn2n1.(六)二項式定理與信息遷徙題的交匯【例6】已知是一個給定的正整數(shù),假如兩個整數(shù),b除以所得的余數(shù)同樣,則稱a與b對模同余,記mamm作(),比如：513(4)若22015(7),則r可能等于()abmodmmod.rmodA.2013B.2014C.2015D.2016【答案】A2015236716711)671671176706702015除以7的余數(shù)為4.【分析】222484(74(7C671C67171).所以2經(jīng)考證,只有2013除以7所得的余數(shù)為4.應選A.【小試牛刀】用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中拿出若干個球的全部取法

11、可由(1a)(1b)的睜開式1abab表示出來,如：“1”表示一個球都不取、“a”表示拿出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍球都拿出來.依此類推,以下各式中,其睜開式可用來表示從5個無區(qū)其余紅球、5個無區(qū)其余藍球、5個有區(qū)其余黑球中拿出若干個球,且全部的藍球都拿出或都不拿出的全部取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)【答案】A【分析】分三步：第一步,5個無區(qū)其余紅球可能拿出0個,1個,5個,則有(1aa2a3a4a5)種不一樣的

12、取法；第二步,5個無區(qū)其余藍球都拿出或都不拿出,則有(1b5)種不一樣的取法；第三步,5個有區(qū)其余黑球中任取0個,1個,51223344555種不一樣的取法,所以所求為(1a個,有(1CcCcCcCcCc)(1c)55555a2a3a4a5)(1b5)(1c)5,應選A.四、遷徙運用1【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】在的睜開式中，項的系數(shù)為，則的值為（）ABCD【答案】C【分析】因為，睜開式的通項為，所以在的睜開式中，項的系數(shù)為，即；所以.應選C2已知為知足（）能被整除的正數(shù)的最小值，則的睜開式中，系數(shù)最大的項為（）A第項B第項C第項D第項和第項【答案】B【分析】因為，所以，進而的

13、睜開式中系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差別，又中間項的二項式系數(shù)最大，中間項為第項，其系數(shù)為負，則第項系數(shù)最大3已知聽從正態(tài)散布N(1,2),aR，則“P(a)0.5”是“對于x的二項式(ax13的睜開式2)x的常數(shù)項為3”的（）A充分不用要條件B必需不充分條件C既不充分又不用要條件D充要條件【答案】A【分析】由P(a)0.5，知a1因為二項式(ax12)3睜開式的通項公式為Tr1C3r(ax)3r(12)rxxa3rC3rx33r，令33r0，得r1，所以其常數(shù)項為a2C313a23，解得a1，所以“P(a)0.5”是“對于x的二項式(ax12)3的睜開式的常數(shù)項為3”的充分不用要條件，應選Ax4

14、已知（），設(shè)睜開式的二項式系數(shù)和為，（），與的大小關(guān)系是（）ABC為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，D【答案】C【分析】由可令得；可令得；，而二項式系數(shù)和則比較易得；為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，5【山東K12結(jié)盟2018屆高三模擬】已知，在的睜開式中，記的系數(shù)為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，由已知有指的系數(shù)，指的系數(shù)，所以，選A.6將二項式(x2)6睜開式各項從頭擺列,則此中無理項互不相鄰的概率是（）x2B1C.87AD7353524【答案】A【分析】由Tr1C6rx6r(2)r2r63r,知當r0,2,4,6時為有理項,則二項式(x2)6睜開式中有C6rx2xx4項有理項,3項無理項,所以基本

15、領(lǐng)件總數(shù)為743A44A532A7,無理項互為相鄰有A4A5,所以所求概率P,A777應選A7若sin()2cos,則(xtan)6睜開式中常數(shù)項為（）xA5B160C5D16022【答案】B【分析】因為sin()2cos,所以sinx2cosx,tanx,2(xtan)6x2xx6常數(shù)項為3C63x32C6323160,應選B.x1n8.已知f(x)|x2|x4|的最小值為n,則二項式xx睜開式中x2項的系數(shù)為()A15B15C30D30【答案】A【分析】因為函數(shù)f(x)|x2|x4|的最小值為4(2)6,即n6.睜開式的通項公式為Tk1C6kx61kkk62k(1)k221)22,2項的系

16、數(shù)為15,選A.xCx,由62k2,得k2,所以TCx(15x即x6369.設(shè)復數(shù)x2i12233201520151i(i()是虛數(shù)單位),則C2015xC2015xC2015xC2015xAiBiC1iD1i【答案】C2i1222015201520152015【分析】x1i(1x)1i1i1.1i,C2015xC2015xC2015x10已知1x24a0a1xa2x2a7x7a8x8,則從會合Mxxai,xRaj（i0,1,2,8;j0,1,2,8）到會合N1,0,1的映照個數(shù)是（）A6561B316C2187D210【答案】A【分析】(1x2)414x26x44x6x8,所以a0a81,a

17、2a64,a46,a1a3a5a70,所以會合M中有0、1、4、6、2、3、1、13246,從M到N的映照共有388126561個選A11設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),x1a的地點如下圖,則a_.n的睜開式為a0a1xa2x2anxn.若點Ai(i,ai)(i0,1,2)【答案】3n311a【分析】由圖易知a01,a13,a24,則aC1C224,解得3,a(),即1na2nan(n1)2a24a3.12【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三下學期第二次模擬】已知，則_.【答案】【分析】平等式兩邊求導，得，令，則.13【江西省臨川第一中學等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知的睜開式中含項的系數(shù)為-14，則_

18、【答案】【分析】依據(jù)乘法分派律得，.，表示圓心在原點，半徑為的圓的上半部分.當時，故.14【河北省衡水市第十三中學2019屆高三質(zhì)檢（四)】已知，記，則的睜開式中各項系數(shù)和為_【答案】【分析】依據(jù)定積分的計算，可得，令，則，即的睜開式中各項系數(shù)和為.15復數(shù)1ai（aR,i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),則復數(shù)zai的模為.已知2i(1xx2)(x13)n(nN)的睜開式中沒有常數(shù)項,且2n8,則n.x【答案】5,5【分析】由題意設(shè)1ai(0),則1ai2tit,所以t1,即a2,故zai的模為2itita2t415.因(x13)n的通項公式Tr1Cnrxnrx3rCnrxn4r,故當n4r0,1,2時存在常數(shù)x項,即n4r,4r1,4r2,故n2,3,4,6,7,8時為常數(shù)項,所以當n5時沒有常數(shù)項切合題設(shè),故應填5,5.16.【遼寧省遼南協(xié)作校2017-2018學年高三