小學(xué)一年級數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法課件

1、 小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法課程教材研究所王永春 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想既有認(rèn)識論方面的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)的理論和知識；又有方法論方面的內(nèi)容，如處理各種問題的意識和策略。數(shù)學(xué)方法主要是方法論方面的內(nèi)容，如表示、處理各種問題的手段和途徑。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實踐性更強一些。人們實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。 課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿一、總體目標(biāo)通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：

2、獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。一、符號化思想1. 符號化思想概念。 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，同時也促進了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。第二，理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個正方形的邊長是a，

3、那么4a就表示該正方形的周長，a表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應(yīng)用模型的過程。第三，會進行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號表示出來，但數(shù)學(xué)符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉(zhuǎn)換的。 第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數(shù)學(xué)的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。用字母

4、表示數(shù)。 用字母表示數(shù)量關(guān)系。 運算定律、公式、數(shù)量關(guān)系。 加法交換律:a+b=b+a 時間、速度和路程的關(guān)系:s=vt用符號表示變化規(guī)律。 數(shù)列的變化規(guī)律:1,2,3,5,8, 圖形的變化規(guī)律,小棒的根數(shù)：y=3x+14符號化思想的教學(xué)。 符號化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視，并落實到課堂教學(xué)目標(biāo)中。學(xué)生只有理解和掌握了數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進行正確的運算、推理和解決問題。二、模型思想 1. 模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的

5、特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。 2. 模型思想的重要

6、意義。數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)的語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進行適當(dāng)?shù)暮喕?jīng)過推理和運算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位。如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程。據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿與現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，

7、并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。 3. 模型思想的應(yīng)用。數(shù)的表示，自然數(shù)列：0,1,2,用數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)字和圖形表示規(guī)律數(shù)的運算a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)，ca=b, cba用字母表示運算定律，方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系：時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關(guān)系：y/x

8、=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系用字母表示周長、面積和體積公式用圖表示空間和平面結(jié)構(gòu)用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小。 4模型思想的教學(xué)。模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究中的各種問題。正是因為數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不但促進了科學(xué)和人類的進步，也使得人們對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂園，它也不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況

9、：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識，這個學(xué)習(xí)過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學(xué)習(xí)的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問題。第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且是科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學(xué)生再創(chuàng)造。如物體運動的路程、時間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際問題。但

10、是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進行再創(chuàng)造。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。第三，應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進而解決各種問題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識以后，利用已有知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，是一個富有挑戰(zhàn)的過程，也可以是一個合作探究的過程。案例1：探索規(guī)律上海版五下P61表面積的變化三、化歸思想1. 化歸思想的概念。人們在面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸（

11、轉(zhuǎn)化）思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中，卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識，從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2. 化歸所遵循的原則。 化歸思想的實質(zhì)就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。因此，應(yīng)用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則： （1）數(shù)學(xué)化原則，即把生活

12、中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識找到解決問題的方法。（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 （3）簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 （4）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。 3解決問題中的化歸策略。（1）化抽象問題為直觀問題。從數(shù)的認(rèn)識到計算，直觀操作幫助理解算理算法；解決問題中畫線段圖表等幫助理解數(shù)量關(guān)系，進行推理；用圖表進行推理；函數(shù)圖像直觀地表示變量間的關(guān)系；統(tǒng)計圖表直觀地表示數(shù)據(jù)。 案例： 分析：此問題通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：每一項都是它前一項的 。但是對于小學(xué)和初中的學(xué)生來說，還沒有學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式。如果把一條線段看作1

13、, 先取它的一半表示 ，再取余下的一半的一半表示 ,這樣不斷地取下去，最終相當(dāng)于取了整條線段。因此， 上式的結(jié)果等于1。（2）化繁為簡的策略。 有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當(dāng)檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。 案例：快速口算8585，9595，105105 分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類題有些特點，每個算式中的兩個因數(shù)相等，并且個位數(shù)都是5。不妨從簡單的數(shù)開始探索，如1515225, 2525625, 35351225。通過這幾個算式的因數(shù)與相應(yīng)的

14、積的特點，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85857225，95959025，10510511025，實際驗證也是如此。 案例：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢? 分析：此題初看是關(guān)于單價、總價和數(shù)量的問題，但是，由于題中沒有告訴蘋果和香蕉各自的總價是多少，無法直接計算各自的單價。認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)：題中分兩次給出了不同數(shù)量的蘋果和香蕉的總價，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價這兩個未知數(shù)，但這二者沒有

15、直接的關(guān)系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問題在小學(xué)的知識范圍內(nèi)如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問題。不必列式推導(dǎo)，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。（4）化未知問題為已知問題。對于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識進

16、行學(xué)習(xí)。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)，通過割補平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見。 百分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題舉例。案例3:2006年廣州市中考題。 目前廣州市小學(xué)和初中在校生共有約萬人，其中小學(xué)生在校人數(shù)比初中生在校人數(shù)的倍多萬人。（）求目前廣州市在校小學(xué)生人數(shù)和初中生人數(shù)。（）假設(shè)今年小學(xué)生每人需交雜費元，初中生每人需交雜費元，而這些費用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少？案例4:上海版五下P21例：小胖和小巧一共有232張郵票，小胖的郵票張數(shù)是小巧3倍，小胖、小巧各有多少張郵票？分析：上題與人教版小學(xué)五上例相比，稍復(fù)雜。四、推理思

17、想 1. 推理思想的概念。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。(1) 演繹推理。三段論，有兩個前提和一個結(jié)論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的

18、一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數(shù)都不能被整除，()是奇數(shù)，所以()不能被整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結(jié)論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個選言支。例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要么是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。假言推理， 假言推理的分類較為復(fù)雜，這里簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個充分條件假言判

19、斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個數(shù)的末位是，那么這個數(shù)能被整除；這個數(shù)的末位是，所以這個數(shù)能被整除。這里的大前提是一個假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關(guān)系推理，是前提中至少有一個是關(guān)系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關(guān)系推理：(1)對稱性關(guān)系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反對稱性關(guān)系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關(guān)系推理，ab，bc，所以ac。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關(guān)系推理。 (2) 合情推理。歸納推理，是從特殊

20、到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進一步證明結(jié)論的可靠性。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法。依據(jù)該方

21、法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進一步證明結(jié)論的可靠性。2. 推理思想的重要意義。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)大綱比較強調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)又矯枉過正，過于強調(diào)合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。人們在利用數(shù)學(xué)解

22、決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。4推理思想的教學(xué)。 就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生

23、的年齡特征提出不同程度的要求”。 根據(jù)以上課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除了運算是數(shù)學(xué)的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學(xué)方法。無論是低年級的找規(guī)律、總結(jié)計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導(dǎo)，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應(yīng)用，是一個長期的培養(yǎng)過程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的作用都

24、是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)是一個有機的結(jié)合過程，因而在教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識的學(xué)習(xí)，同時要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。 案例1：計算并觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？99分析：此題是由從1開始的奇數(shù)組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多一個后繼的奇數(shù)。通過計算并觀察每組算式的得數(shù)，是一個奇數(shù)，等于的平方；（）是前個奇數(shù)相加，等于的平方；（）是前個奇數(shù)相加，等于的平方

25、；（）是前個奇數(shù)相加，通過與前面算式進行類比，猜想應(yīng)該等于的平方；（）,，猜想正確。那么最后的算式是前個奇數(shù)相加，等于的平方。 案例：觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121 分析：通過觀察算式，能夠發(fā)現(xiàn)這樣一些規(guī)律：所有的算式都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，每個算式的兩個加數(shù)中的一個加數(shù)的個位和十位數(shù)互換，變成另一個加數(shù)。再進一步觀察，所有算式的得數(shù)有兩位數(shù)也有三位數(shù)，它們有什么共同的規(guī)律呢？把它們分別分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)，每個數(shù)都是11的倍數(shù)。這樣就可以大膽猜想并歸納結(jié)論：兩個互換個位數(shù)和十位數(shù)的兩位數(shù)相加，結(jié)

26、果是11的倍數(shù)。再舉例驗證：57+75=1321112，69+96=165=1115，初步驗證猜想是正確的。那么如何進行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明呢？可設(shè)任意一個兩位數(shù)是ab(a和b是19的自然數(shù))，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，從而證明了結(jié)論的正確。案例：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明2=4嗎？分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補角相等”來證明對頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識進行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：因為1和2、1和4分別組成平角，所

27、以1+2=180、1+4=180，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得 2=180-1、4=180-1，根據(jù)等量代換，可得2=4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類似地得到證明。五、方程和函數(shù)思想 1方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進行討論。(1)方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件：一個是含有未知數(shù)，另一個是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑

28、問的判斷題：=0 和=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號（常用、y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。(2)函數(shù)思想。設(shè)集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱y是的函數(shù)，記作y()。其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，y叫做函

29、數(shù)或因變量，與相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實際上現(xiàn)實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：rh。半徑和高有一對取值，體積就會相應(yīng)地有一個取值。函數(shù)思想的核心是事物的

30、變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的觀點。2. 方程和函數(shù)的關(guān)系。(1)方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈

31、現(xiàn)，二者缺一不可，如246。而函數(shù)至少要有兩個變量，兩個變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合為大于等于1 、小于等于10的整數(shù)，集合為小于等于20的正偶數(shù)。那么兩個集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用y2表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910 y2468101214161820人們運用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。人們運用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，

32、而函數(shù)中的變量則是動態(tài)的。方程已經(jīng)有3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才300年。(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程abyc0和一次函數(shù)ykb之間。如果方程的解在實數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實數(shù)。那么方程abyc0經(jīng)過變換可轉(zhuǎn)化為y ,在直角坐標(biāo)系里畫出來的圖象都是一條直線。因此，可以說一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)。如果使一次函數(shù)ykb中的函數(shù)值等于0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為kb0，這就是一元一次方程。因此，可以說求這個一元一次方程的解，實際上就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)的值。一般地

33、，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為0，那么這個函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為0的自變量的值，或者說求函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)的值。 3. 方程和函數(shù)思想的重要意義。 16世紀(jì)以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實生活中的各種實際問題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而方程在解決以常量為主的實際問題中發(fā)揮了重要作用。到了17世紀(jì)，隨著社會的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以探究兩個變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟、科技、軍事等領(lǐng)域的重要問題，這時函數(shù)便生產(chǎn)了。函數(shù)為研究運動變化的數(shù)量之間的依

34、存和對應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問題。 概括地說，方程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。 案例1：媽媽買了3千克香蕉和2千克蘋果，一共花了16元。蘋果的價格是香蕉的2倍多元，蘋果和香蕉的單價各是多少？分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價和總價的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價數(shù)量總價”進行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關(guān)系應(yīng)為“香蕉的單價香蕉的數(shù)量蘋果的單價蘋果的數(shù)量總價”。再根據(jù)這個等量關(guān)系找出題中已知的量，總價16元、香蕉的數(shù)量3千克和蘋果的數(shù)量2千克

35、。未知的是香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價是元千克，蘋果的單價是y元千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。32y16，y21。根據(jù)等量代換的原理，兩個方程可合并成一個方程，32(21)16。這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個未知數(shù)的方程時能夠直接列出一個方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，2, y5。案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請寫出銷售桃的總價(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù)) 之間的關(guān)系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷量是多少千克？分析：此題涉及的也是商

36、品的單價、數(shù)量和總價的關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價數(shù)量總價”進行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價，未知的量是總價和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用y和表示。因為桃的單價一定，所以它的總價與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式：y10。某天的銷量是50千克，總收入是500元。上個月的總收入是12000元，銷量是1200千克。案例2和案例1相比較，都有兩個量分別用y和表示。案例1中的y和雖然是未知的量，但是它們實際上是具體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方程可以得到它們的值。案例2的兩個量y和則是相關(guān)聯(lián)的變化的量，的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以內(nèi)) 的任何一個數(shù)，y隨的變化而變化。只有

37、y和中的一個量取一個具體的值時，另一個量才會相應(yīng)地取一個具體的值。如案例2中的具體問題的解答。案例3:無限循環(huán)小數(shù)0.777和0.747474如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析：根據(jù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進行。由于無限小數(shù)的特點，不能直接用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點，循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)字，就把這個循環(huán)小數(shù)乘10的幾次方；它的左起第一個循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設(shè)0.777，那么107.777,求它們的差，107，解方程，所

38、以0.777。同理可得，10074，所以0.747474。無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是，把循環(huán)節(jié)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個9組成的幾位數(shù)。六、數(shù)形結(jié)合思想 1. 如何理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個數(shù)學(xué)表象，兩者既是對立的又是統(tǒng)一的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”數(shù)與形的對立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標(biāo)系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)階段主要是利用各種直觀手段理解和掌握知識、解決問題。2. 數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。（1）數(shù)的表示和運算。 數(shù)和運算的實物化

39、、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計算。 擺小棒、畫圖形等。（）解決問題中的形。畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系。案例：上海版五上列方程解決問題上海浦東中銀大廈的總高度為258米，比上海國際飯店的3倍還高24米，上海國際飯店高多少米？上海國際飯店浦東中銀大廈？米258米24米設(shè)上海國際飯店的高度為x米，易于找等量關(guān)系和理解逆向思考的數(shù)量關(guān)系。解決問題的直觀策略。利用坐標(biāo)系中的圖像直觀理解正比例關(guān)系。（3）統(tǒng)計中的圖形。各種統(tǒng)計圖表。（4）空間與圖形中的數(shù)。圖形的周長、面積 和體積公式。圖形中邊之間的關(guān)系。 圖形變換中的數(shù)。 坐標(biāo)與變換 七、集合思想一般地，把研究的對象稱為元素；把一些元素組成的總體，

40、稱為集合。2. 集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。如數(shù)的概念及運算，都可以從集合的角度來定義。自然數(shù)可以理解為一類可數(shù)等價集合的基數(shù)（元素的個數(shù)）。加法可以理解為兩個互不相交的集合的并集。函數(shù)就是在集合的基礎(chǔ)上定義的。3. 集合理論的引入，便于從整體和部分及二者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域的知識。數(shù)學(xué)的各個分支都有自己的研究領(lǐng)域，如數(shù)論在整數(shù)范圍內(nèi)研究整數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，而質(zhì)數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)討論。又如數(shù)系的不斷擴充，從自然數(shù)到實數(shù)。4. 集合溝通了代數(shù)(數(shù))和幾何之間的關(guān)系。如y = kx + b , 既是一次函數(shù)，又表示一條直線；也就是說在平面直角坐標(biāo)系上，這條直線是由滿足y = kx + b 的有序

41、實數(shù)對所組成的點的集合。 5.兩個集合無法直接比較大小，也就是說一般不說兩個集合誰大誰小。集合之間可以比較基數(shù)的大小，也就是元素的個數(shù)的多少。如果有兩個集合A、B，當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的元素時，稱A、B相等，記為A=B。 如A=2，3，5，7，B= x|x是小于10的素數(shù) 集合間還有包含關(guān)系。如C=2, 3, 5, 7, 11, 則A是C的真子集。只要兩個集合元素間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么就說兩個集合的元素個數(shù)相等，就是基數(shù)相等，即等勢或等基。 如果A是的真子集, 就說A的基數(shù)小于的基數(shù)。 案例：正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合，它們的基數(shù)相等嗎？分析：只要滿足一一對應(yīng)就基數(shù)相等。 八、一一對應(yīng)思

42、想 1. 一一對應(yīng)思想與函數(shù)思想的關(guān)系。一一對應(yīng)是兩個集合之間元素（這種元素不一定是數(shù)）的一對一的對應(yīng)，也就是說集合中的任一元素a，在集合中都有唯一的元素b與之對應(yīng)；并且在集合中的任一元素b，在集合中也有唯一的元素a與之對應(yīng)。函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種數(shù)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，但這種對應(yīng)不一定是一一對應(yīng)。（）數(shù)集之間的一一對應(yīng)。設(shè)非自然數(shù)集,正偶數(shù)集，在兩個集合之間建立如下的一一對應(yīng)。（）其他集合之間的一一對應(yīng)。如五（）班有個男生，個女生，如果把男生和女生各自的總數(shù)看成一個集合，那么這兩個集合之間可以建立一一對應(yīng)。再如，中國、美國、俄羅斯、英國、法國、德國作為一個集合，北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、

43、柏林作為一個集合。這兩個集合之間可以建立一一對應(yīng)。九、分類討論思想1. 分類討論思想的概念。人們有時面對比較復(fù)雜的問題，無法通過統(tǒng)一研究解決，需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質(zhì)是把問題“分而治之，各個擊破，綜合歸納”。其分類規(guī)則和解題步驟是：（1）根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M行分類，分類后的所有子項之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項的外延之和必須與被分類的對象的外延相等，通俗地說就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類逐級進行討論；（4）綜合概

44、括、歸納得出最后結(jié)論。 2. 分類討論思想的重要意義。課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)中要求學(xué)生能夠有條理地思考，這種條理性就是一種邏輯性，分類討論就是具有邏輯性的思考方法。因此，分類討論思想是培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考的一種重要而有效的方法。無論是解決純數(shù)學(xué)問題，還是解決聯(lián)系實際的問題，都要注意數(shù)學(xué)原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類討論，從而全面地思考和解決問題。另外，分類討論思想還是統(tǒng)計與概率知識的重要基礎(chǔ)。2的倍數(shù)的特征：（1）從生活情境“雙號”引入。（2）觀察2的倍數(shù)的個位數(shù)，總結(jié)出2的倍數(shù)的特征。（3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。（4）可讓學(xué)生隨意找一些數(shù)進行驗證，但不要求嚴(yán)格

45、的證明。質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念：（1）根據(jù)20以內(nèi)各數(shù)的因數(shù)個數(shù)把數(shù)分成三類：1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。（2）可任出一個數(shù)，讓學(xué)生根據(jù)概念判斷其為質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。三角形按角分類任意找一些三角形引導(dǎo)學(xué)生自己分類啟發(fā)學(xué)生想怎樣用集合圈表示幾種三角形之間的關(guān)系教師歸納、概括三角形按邊分類思路同前也可以同時進行分類更加開放等腰三角形的特征案例1:下面四張卡片上分別寫有數(shù)字0、1、2、3，可以利用它們組成多少不同的四位數(shù)？分析：把所有能組成的四位數(shù)分成三類，再依從小到大的順序列表如下。 （1）1023 1032 1203 1230 1302 1320 （2）2013 2031 2103 2130 2301 2310（3）

46、3012 3021 3102 3120 3201 3210案例2:把1張一角的人民幣換成零錢，現(xiàn)有足夠的1、2、5分幣。有多少種換法？分析：方法可多種，可以按只有一種、二種、三種硬幣的方法進行分類組合。只有一種硬幣：10個1分，5個2分, 2個5分,3種換法;只有兩種硬幣:8個1分和1個2分, 6個1分和2個2分, 4個1分和3個2分, 2個1分和4個2分, 5個1分和1個5分, 5種換法;只有三種硬幣:1個1分、2個2分和1個5分， 3個1分、1個2分和1個5分，2種換法。共計10種換法。還可以按照幣種的范圍分類討論。案例3:下圖中有多少個三角形？ 分析：此題如果直接數(shù)，很容易數(shù)錯。設(shè)最小的

47、三角形面積為1，則面積為1的三角形有22個；面積為4的三角形有10個；面積為9的三角形有2個，因此共有34個三角形。十、變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運動變化的觀點來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中能夠收到意想不到的效果。1. 初等幾何變換的概念。初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實際上就是相似比為1的相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對稱)變換等。(1)

48、平移變換。將平面上任一點P變換到P，使得：(1) 射線PP的方向一定；(2) 線段PP的長度一定，則稱這種變換為平移變換。也就是說一個圖形與經(jīng)過平移變換后的圖形上的任意一對對應(yīng)點的連線相互平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長不變。在平移變換下兩點之間的方向保持不變。如任意兩點A和B，變換后的對應(yīng)點為和，則有。在平移變換下兩點之間的距離保持不變。如任意兩點A和B，變換后的對應(yīng)點為和，則有。在解初等幾何問題時，常利用平移交換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡單的基本圖形。平移的方向，不一定是水平的。小學(xué)階段：直觀認(rèn)識平移現(xiàn)象。物體在直線

49、方向上移動，本身沒有發(fā)生方向上的改變(2)旋轉(zhuǎn)變換。在同一平面內(nèi)，使原點O變換到它自身，其他任何點X變換到X，使得：(1)OX=OX；(2)XOX=(定角)；則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。O稱為旋轉(zhuǎn)中心，定角為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)0時，為逆時針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)0，且為常數(shù))，則稱為相似變換。通俗地說就是一個圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。其中的K稱為相似比或相似系數(shù)，當(dāng)K1時，即為合同變換。相似變換有以下一些性質(zhì)：兩個圖形的周長的比等于相似比。兩個圖形的面積的比等于相似比的平方。兩條直線的夾角保持不變。生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大或縮小、零件的

50、圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問題。形狀不變，大小改變（圖形的放大、縮?。?. 幾何變換思想的重要意義。課程改革以來，幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)，周長、面積和體積等的計算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計算能力、推理能力及觀察、操作、實驗?zāi)芰Σ⒅氐娜娴?、和諧的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強調(diào)合情推理。也就是說，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用。圖形變換來源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和

51、軸對稱的這些運動現(xiàn)象，因而了解圖形的變換，有利于我們認(rèn)識生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念。利用圖形變換設(shè)計美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美，有利于認(rèn)識圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間觀念。利用圖形變換把靜止的幾何問題通過運動變換，找到更加簡捷的解決問題的方法。3.教學(xué)中需要注意的問題。第一，對一些概念要準(zhǔn)確把握。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換與生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象不是一個概念。數(shù)學(xué)來源于生活，但不等于生活，是生活現(xiàn)象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象往往是物體的運動，如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉(zhuǎn)門等物體的運動，都可以稱之為平移現(xiàn)象或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。而中小學(xué)中的幾何變換都是

52、指平面圖形在同一個平面的變換，也就是說原圖形和變換后的圖形都是平面圖形，而且都在同一個平面內(nèi)。幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換來自于生活中物體的平移現(xiàn)象、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和軸對稱現(xiàn)象，如果把生活中這些現(xiàn)象畫成平面圖形，并且在同一平面上運動，就可以說成是幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換了。一個變換是不是合同變換或相似變換，要依據(jù)概念進行判斷。如課程標(biāo)準(zhǔn)要求小學(xué)階段的平移限于水平方向和豎直方向，實際上平移也可以沿斜線方向平移，只要滿足平移的兩個條件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移現(xiàn)象，畫成平面圖形就是平移變換。再如旋轉(zhuǎn)，象旋轉(zhuǎn)門、螺旋槳、水龍頭等都可以看成旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但是要注意它的嚴(yán)密性：一是旋轉(zhuǎn)中心必須固定

53、，二是物體不能變形，三是旋轉(zhuǎn)的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。這樣的旋轉(zhuǎn)運動畫成平面圖形在同一平面的運動才是旋轉(zhuǎn)變換。另外，幾何意義上的變換都是從圖形的對應(yīng)點及其連線的幾何性質(zhì)進行描述的，與圖形的顏色等無關(guān)。案例1：一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車的運動是平移嗎？如果這輛汽車急剎車，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？分析：嚴(yán)格來說，物體的平移應(yīng)該保證物體不變形而且物體上的點在物體上的位置是固定的，輪胎在轉(zhuǎn)動時汽車的運動就不是平移了，輪胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，后者是平移。案例2：一架直升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)嗎？它停在陸地上時螺旋槳的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)嗎

54、？分析：直升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳在轉(zhuǎn)動，但是它的旋轉(zhuǎn)中心一直在移動，沒有固定，因此不能看成幾何意義上的旋轉(zhuǎn)，只能說它是生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。當(dāng)它停在陸地上時螺旋槳的轉(zhuǎn)動就可以看成旋轉(zhuǎn)了。案例3：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？圖(1)圖(2)分析：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完全重合，這樣的圖形才是軸對稱圖形，而光有四周或輪廓重合是不夠的。圖(1)從三角形的頂點向底邊作一條垂線，垂線兩邊的輪廓能夠重合，但是小方格沒有對應(yīng)的重合的部分，因此，它不是軸對稱圖形。圖(2)是軸對稱圖形。第二，注意圖形變換與其它幾何知識的聯(lián)系。小學(xué)幾何中的很多平面圖形都是軸對稱圖形，如長方形、正方形、等腰三

55、角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學(xué)習(xí)軸對稱時加強對這些圖形的對稱軸和軸對稱的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識；另一方面要在學(xué)習(xí)這些圖形的概念和性質(zhì)時進一步體會它們的軸對稱特點。案例4: 如圖所示，三個同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直，最大的圓的半徑是2cm，求陰影部分的面積。分析：此題從表面上看，陰影部分比較分散，沒有足夠的數(shù)據(jù)計算每部分陰影的面積。再根據(jù)兩條直徑相互垂直可以得出每個圓都被平均分成了4份，每一份旋轉(zhuǎn)90度都可以與相鄰的部分重合。因此，可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時針旋轉(zhuǎn)90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)90度，使陰影經(jīng)過旋轉(zhuǎn)集中在右上角四分之一大

56、圓里。陰影的面積為：2=(cm)。案例5: 人教版及上海版教材, 求三角形和梯形的面積。把兩個完全相同的三角形和梯形拼成平行四邊形，利用變換原理為：先把一個圖形旋轉(zhuǎn)180度，再平移。十一、概率思想概率思想。生活中有很多現(xiàn)象是必然的，如也有很多是偶數(shù)的。偶然現(xiàn)象，也叫隨機現(xiàn)象，表面上看可能無規(guī)律，但大量地收集數(shù)據(jù)或重復(fù)實驗可能具有某種規(guī)律性，概率統(tǒng)計主要是用數(shù)學(xué)方法揭示這種統(tǒng)計規(guī)律性。（1）事件的分類。必然事件確定事件事件不可能事件隨機事件（2）頻率與概率的區(qū)別，概率的類型。古典概型隨機事件頻數(shù)頻率概率幾何概型古典概率模型：基本事件的個數(shù)有限每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概率模型：每個基本事件

57、發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積、體積）成比例（3）概率的正確理解。概率是理論上的精確值，但是隨機事件在具體一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，大量的試驗就會體現(xiàn)出規(guī)律性。隨機中有精確，精確中有隨機。案例1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，一定是一次正面朝上、一次反面朝上嗎？案例2：某種彩票的中獎概率是1/1000，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？案例3：天氣預(yù)報說降水概率是80%，一定下雨（雪）嗎？ 十二、 統(tǒng)計思想現(xiàn)實生活中大量的數(shù)據(jù)需要收集和研究，不可能考察所有對象，用樣本估計總體，進行統(tǒng)計推斷和決策，是統(tǒng)計思想的核心。有兩種估計方法：一是用樣本的頻率分布估計總體的分布，二是用樣本的數(shù)字特征(如

58、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))估計總體的數(shù)字特征。 1.總體：所要考察對象的全體叫做總體。2.個體：總體中每一個考察對象叫做個體。 3.樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。 4. 統(tǒng)計調(diào)查的兩種基本形式：全面調(diào)查和抽樣調(diào)查。5.頻率分布：每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以樣本容量。 都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)。平均數(shù)：是統(tǒng)計中最常用的數(shù)據(jù)代表值，因為它與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來的信息最充分，所以比較可靠和穩(wěn)定。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個標(biāo)準(zhǔn)。因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。 中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的中

59、間水平的代表，有“分水嶺”的作用，它只利用了部分?jǐn)?shù)據(jù)，所以可靠性比較差。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適。 眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的多數(shù)的代表，它也只利用了部分?jǐn)?shù)據(jù)，所以可靠性也比較差。在一組數(shù)據(jù)中，如果個別數(shù)據(jù)有很大的變動，且某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合。 案例：某公司10名銷售員，去年完成的銷售額情況如下表：銷售額（單位：萬元） 1 銷售員人數(shù)（單位：人）1 3 3 2 1 （1）求銷售額的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)； （2）今年公司為了調(diào)動員工積極性，提高年銷售額，采取超額獎勵的策略，請根據(jù)（1）的結(jié)果，通過比較，合理確定今年每個銷售員統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)銷售額是多少萬元？ 解答:(1)平均數(shù)為7.4萬元，中位數(shù)為7萬元，眾數(shù)為和7萬元。 （2）若確定平均數(shù)7.4萬元為標(biāo)準(zhǔn)，則多數(shù)人超額完成有難度；若確定眾數(shù)6萬元為標(biāo)準(zhǔn)，則絕大多數(shù)人不必努力就可以超額完成，不利于調(diào)動員工積極性；如果確定中位數(shù)和眾