2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)

1、江蘇數(shù)學(xué)試題參考公式:樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差s2=1ni=1n(xi-x)2,其中x=1ni=1nxi.棱錐的體積公式:V=13Sh,其中S是錐體的底面積,h一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.(2013江蘇,1)函數(shù)y=3sin2x+答案:解析:函數(shù)y=3sin2x+4的最小正周期T=2.(2013江蘇,2)設(shè)z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模為.答案:5解析:|z|=|(2-i)2|=|4-4i+i2|=|3-4i|=32+(-3.(2013江蘇,3)雙曲線x216-y2答案:y=34解析:由題意可知所求雙曲線的漸近

2、線方程為y=344.(2013江蘇,4)集合-1,0,1共有個子集.答案:8解析:由于集合-1,0,1有3個元素,故其子集個數(shù)為23=8.5.(2013江蘇,5)下圖是一個算法的流程圖,則輸出的n的值是.答案:3解析:第一次循環(huán)后:a8,n2;第二次循環(huán)后:a26,n3;由于2620,跳出循環(huán),輸出n=3.6.(2013江蘇,6)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位:環(huán)),結(jié)果如下:運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為.答案:2解析:由題中數(shù)據(jù)可得x甲=90,x乙=于是s甲2=15(87-

3、90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2=4,s乙2=15(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+由s甲2s乙27.(2013江蘇,7)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為.答案:20解析:由題意知m的可能取值為1,2,3,7;n的可能取值為1,2,3,9.由于是任取m,n:若m=1時,n可取1,2,3,9,共9種情況;同理m取2,3,7時,n也各有9種情況,故m,n的取值情況共有79=63種.若m,n都取奇數(shù),則m的取值為1,3,5,7,n的取值為1,3,5,7

4、,9,因此滿足條件的情形有45=20種.故所求概率為20638.(2013江蘇,8)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點,設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=.答案:124解析:由題意可知點F到面ABC的距離與點A1到面ABC的距離之比為12,SADESABC=14.因此V1V2=13AFS9.(2013江蘇,9)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點P(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點,則x+2y的取值范圍是.答案:-解析:由題意可知拋物線y=x2在x=1處

5、的切線方程為y=2x-1.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示:當(dāng)直線x+2y=0平移到過點A12,0時,x+2y當(dāng)直線x+2y=0平移到過點B(0,-1)時,x+2y取得最小值-2.因此所求的x+2y的取值范圍為-210.(2013江蘇,10)設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2為實數(shù)),則1+2的值為答案:1解析:由題意作圖如圖.在ABC中,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB故1+2=1211.(2013江蘇,11)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x2-4x,則不

6、等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為.答案:(-5,0)(5,+)解析:函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且x0時,f(x)=x2-4x,則f(x)=x2-4x由此可解得x5或-5x0,b0),右焦點為F,右準(zhǔn)線為l,短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1,F到l的距離為d2.若d2=6答案:3解析:設(shè)橢圓C的半焦距為c,由題意可設(shè)直線BF的方程為xc+yb=1,即bx+cy-bc=0.于是可知d1=bcb2+cd2=6d1,b2c=6bca,a2(a2-c2)=6c4.6e4+e2-1=0.e2=13e=3313.(2013江蘇,13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點A(a,a),P是函數(shù)y=1x

7、(x0)圖象上一動點.若點P,A之間的最短距離為22,則滿足條件的實數(shù)a的所有值為答案:-1,10解析:設(shè)P點的坐標(biāo)為x,1x,則|PA|2=(x-a)2+1x-a2=x2+1x2-2ax+1x+2a2.令t=x+1x2,則|PA|2=t結(jié)合題意可知(1)當(dāng)a2,t=2時,|PA|2取得最小值.此時(2-a)2+a2-2=8,解得a=-1,a=3(舍去).(2)當(dāng)a2,t=a時,|PA|2取得最小值.此時a2-2=8,解得a=10,a=-10(舍去).故滿足條件的實數(shù)a的所有值為10,-1.14.(2013江蘇,14)在正項等比數(shù)列an中,a5=12,a6+a7=3.則滿足a1+a2+ana1

8、a2an的最大正整數(shù)n的值為答案:12解析:設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q,則由a5=12,a6+a7=a5(q+q2)=3可得q=2,于是an=2n-6則a1+a2+an=132(1-2a5=12,q=2a6=1,a1a11=a2a10=a6a1a2a11=1.當(dāng)n取12時,a1+a2+a12=27-132a1a2a11a12=a12=26成立;當(dāng)n取13時,a1+a2+a13=28-13213時,隨著n增大a1+a2+an將恒小于a1a2an.因此所求n二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(2013江蘇,15)(本

9、小題滿分14分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)若|a-b|=2,求證:ab;(2)設(shè)c=(0,1),若a-b=c,求,的值.(1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因為a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0.故ab.(2)解:因為a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以cos由此得cos =cos(-).由0,得0-,又0,所以=56,16.(2013江蘇,16)(本小題滿分14分)如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.過A作

10、AFSB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.證明:(1)因為AS=AB,AFSB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA的中點,所以EFAB.因為EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因為平面SAB平面SBC,且交線為SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因為BC平面SBC,所以AFBC.又因為ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因為SA平面SAB,所以BCSA.17.(2013江蘇,17)(本小題滿分

11、14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解:(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,由題意,|3k+1|k2+1=1,解得故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.(2)因為圓心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2=1.設(shè)點M(x,y),因為MA

12、=2MO,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點M由題意,點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點,則|2-1|CD2+1,即1a2+由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a125所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,18.(2013江蘇,18)(本小題滿分16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在

13、B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=1213,cos C=3(1)求索道AB的長;(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解:(1)在ABC中,因為cos A=1213,cos C=35,所以sin A=513,sin從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=513由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB所以索道AB的長為1

14、040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t) m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50因0t1 040130,即0t8,故當(dāng)t=3537(min)(3)由正弦定理BCsinA=ACsinB,得BC=ACsinB乙從B出發(fā)時,甲已走了50(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達C.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3500v-710503,解得1 25043v62514,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不

15、超過3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在19.(2013江蘇,19)(本小題滿分16分)設(shè)an是首項為a,公差為d的等差數(shù)列(d0),Sn是其前n項和.記bn=nSnn2+c,nN*(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差數(shù)列,證明:c=0.證明:由題設(shè),Sn=na+n(1)由c=0,得bn=Snn=a+n-12d.又因為b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b即a+d22=aa+32d,化簡得d2-2ad=0.因為因此,對于所有的mN*,有Sm=m2a.從而對于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn

16、的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即nSnn2+c=b1+(n-1)d1,nN*,代入Sn的表達式,整理得,對于所有的nN*,有d1-12dn3+b1-令A(yù)=d1-12d,B=b1-d1-a+12d,D=c(d1-b1),則對于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,從而有7A+3B+c由,得A=0,cd1=-5B,代入方程,得B=0,從而cd1=0.即d1-12d=0,b1-d1-a+12d=0,cd若d1=0,則由d1-12d=0,得d=0,與題

17、設(shè)矛盾,所以d1又因為cd1=0,所以c=0.20.(2013江蘇,20)(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數(shù).(1)若f(x)在(1,+)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范圍;(2)若g(x)在(-1,+)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.解:(1)令f(x)=1x-a=1-axx0,進而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是單調(diào)減函數(shù).同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù).由于f(x)在(1,+)上是單調(diào)減函數(shù),故(1,+)(a-1,+),從而a-11,即a1.令g(x)=ex

18、-a=0,得x=ln a.當(dāng)xln a時,g(x)ln a時,g(x)0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以ln a1,綜上,有a(e,+).(2)當(dāng)a0時,g(x)必為單調(diào)增函數(shù);當(dāng)a0時,令g(x)=ex-a0,解得aln a.因為g(x)在(-1,+)上是單調(diào)增函數(shù),類似(1)有l(wèi)n a-1,即00,得f(x)存在唯一的零點當(dāng)a0時,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函數(shù)f(x)在ea,1上的圖象不間斷,所以f(x)在(ea,1)上存在零點.另外,當(dāng)x0時,f(x)=1x-a0,故f(x)在(0,+)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)只有一個零點當(dāng)0ae-1時,令f(x)=1

19、x-a=0,解得x=a-1.當(dāng)0 x0,當(dāng)xa-1時,f(x)0,即0ae-1時,f(x)有兩個零點.實際上,對于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函數(shù)f(x)在e-1,a-1上的圖象不間斷,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零點.另外,當(dāng)x(0,a-1)時,f(x)=1x-a0,故f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)在(0,a-1)上只有一個零點下面考慮f(x)在(a-1,+)上的情況.先證f(ea-1)=a(a-2-ea-1)e時,exx2.設(shè)h(x)=ex-x2,則h(x)=ex-2x,再設(shè)l(x)=h(x)=ex-2x,則l(x)=ex-2.當(dāng)x1時

20、,l(x)=ex-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+)上是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)x2時,h(x)=ex-2xh(2)=e2-40,從而h(x)在(2,+)上是單調(diào)增函數(shù),進而當(dāng)xe時,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即當(dāng)xe時,exx2.當(dāng)0ae時,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)0,且函數(shù)f(x)在a-1,ea-1上的圖象不間斷,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零點.又當(dāng)xa-1時,f(x)=1x-a0,故f(x)在(a-1,+)上是單調(diào)減函數(shù),所以f(x)在(a-1,+)上只有一個零點綜合,當(dāng)a0或a=e-1時,f(x)的零點個數(shù)為1,當(dāng)

21、0a0,求證:2a3-b32ab2-a2b.證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因為ab0,所以a-b0,a+b0,2a+b0,從而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(2013江蘇,22)(本小題滿分10分)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點.(1)求異面直線A1B與C1

22、D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.解:(1)以A為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1因為cosA1B=1820所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為310(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1=(x,y,z),因為AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4),所以n1AD=0,n1AC1=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平

23、面ADC1的一個法向量.取平面AA1B的一個法向量為n2=(0,1,0),設(shè)平面ADC1與平面ABA由|cos |=n1n2|n1|因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為5323.(2013江蘇,23)(本小題滿分10分)設(shè)數(shù)列an:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,(-1)k-1k,(-1)k-1kk個,即當(dāng)(k-1)k2nk(k+1)2(kN*)時,an=(-1)k-1k.記Sn=a1+a2+an(nN*).對于lN(1)求集合P11中元素的個數(shù);(2)求集合P2 000中元素的個數(shù).解:(1)由數(shù)列an的定義得a1=1,a2=-2,a3=-2,a4=3,a5=3,a6=3,a7=-4,a8=-4,a9=-4,a10=-4,a11=5,所以S1=1,S2=