2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第1講 軌跡問題含答案

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第1講 軌跡問題一選擇題（共12小題）1方程所表示的曲線是A一個(gè)圓B兩個(gè)圓C半個(gè)圓D兩個(gè)半圓2方程表示的曲線為A兩個(gè)半圓B一個(gè)圓C半個(gè)圓D兩個(gè)圓3在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線：關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2；曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5其中正確的結(jié)論有ABCD4雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線、已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有雙紐線經(jīng)過原點(diǎn)；雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

2、；雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)ABCD5雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；的最大值為ABCD6如圖，設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則點(diǎn)的軌跡方程為A（原點(diǎn)除外）B（原點(diǎn)除外）C（原點(diǎn)除外）D（原點(diǎn)除外）7如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為AB3CD48由曲線圍成的圖形面積為ABCD9如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是AB CD 10

3、已知點(diǎn)集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是A1BCD11數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為給出下列四個(gè)結(jié)論：曲線有四條對(duì)稱軸；曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；四葉草面積小于其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是ABCD12曲線為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)的軌跡以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（1）曲線一定經(jīng)過原點(diǎn)；（2）曲線關(guān)于軸、軸對(duì)稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi)A1B2C3D4二多選題（共2小題）13數(shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案

4、的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素如我們熟悉的符號(hào)，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”若點(diǎn)，是軌跡上一點(diǎn)，則下列說法中正確的有A曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱B的取值范圍是，C曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足D的最大值為14在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點(diǎn)，則A曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱BC曲線圍成的區(qū)域面積小于18D到點(diǎn)的最近距離為三填空題（共6小題）15數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過曲線所圍成的“花形”區(qū)

5、域的面積小于4其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是16數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是17數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線給出下列結(jié)論：曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過2；曲線圍成區(qū)域的面積大于；方程表示的曲線在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是18曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)

6、的距離與到定直線的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)的軌跡則曲線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)，為常數(shù)），那么的最小值（a）19已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)的軌跡方程為20在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足（如圖所示）則得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程為；四解答題（共5小題）21如圖，直線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)以，為端點(diǎn)的曲線段上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離相等若為銳角三角形，且建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的方程22已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程23設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓心的軌跡的方程24已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，是橢

7、圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且滿足，（）設(shè)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明；（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）試問：在點(diǎn)的軌跡上，是否存在點(diǎn)，使的面積，求的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由第1講 軌跡問題一選擇題（共12小題） 1方程所表示的曲線是A一個(gè)圓B兩個(gè)圓C半個(gè)圓D兩個(gè)半圓【解答】解：將方程化簡，得，其中，因此方程表示以為圓心，半徑的圓故選：2方程表示的曲線為A兩個(gè)半圓B一個(gè)圓C半個(gè)圓D兩個(gè)圓【解答】解：兩邊平方整理得：，化簡得，由得，即或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的右半圓；當(dāng)時(shí)，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的左半圓綜上所述，得方程表示的曲線為兩個(gè)半圓故選：3在數(shù)學(xué)中

8、有這樣形狀的曲線：關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2；曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5其中正確的結(jié)論有ABCD【解答】解：曲線經(jīng)過的整點(diǎn)有，恰有9個(gè)點(diǎn)，即正確；點(diǎn)和均在曲線上，而這兩點(diǎn)間的距離為，即錯(cuò)誤；由于圖形是對(duì)稱的，所以只需考慮第一象限內(nèi)的部分即可此時(shí)有，整理得，是以為圓心，為半徑的圓，作出曲線在第一象限的圖形如圖所示，面積，故曲線的面積為，即正確故選：4雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線、已知點(diǎn)，是雙紐線上一

9、點(diǎn)，下列說法中正確的有雙紐線經(jīng)過原點(diǎn)；雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)ABCD【解答】解；根據(jù)雙紐線的定義可得，將，代入，符合方程，所以正確；用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，即，亦即，正確；若雙紐線上點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，錯(cuò)誤故選：5雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線已知點(diǎn)，是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；的最大值為ABCD【解答】解：根據(jù)雙

10、紐線的定義可得，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，即，亦即，正確；若雙紐線上點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以由余弦定理可得，所以的最大值為，正確故選：6如圖，設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則點(diǎn)的軌跡方程為A（原點(diǎn)除外）B（原點(diǎn)除外）C（原點(diǎn)除外）D（原點(diǎn)除外）【解答】解：設(shè)，直線的方程為，由得，聯(lián)立和消去得，所以，所以，由得，所以，所以，所以，把代入得，故選：7如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為AB3CD4【解答】解：曲線圍成的

11、平面區(qū)域，關(guān)于，軸對(duì)稱，設(shè)曲線上的點(diǎn)，可得所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為：3故選：8由曲線圍成的圖形面積為ABCD【解答】解：根據(jù)對(duì)稱性，曲線圍成的圖形面積等于在第一象限圍成面積的4倍，當(dāng)且時(shí)等價(jià)為，即，即，圓心，半徑，則的面積，的面積，在第一象限部分的面積，則四個(gè)象限的面積為，故選：9如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是AB CD 【解答】解：如圖曲線表示折線段的一部分和雙曲線，選項(xiàng)等價(jià)于或，表示折線的全部和雙曲線，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)等價(jià)于，或，表示折線的全部，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)等價(jià)于或，表示折線在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，表示雙曲線，符合題中圖象，故正確；選項(xiàng)等價(jià)于或，表示表

12、示折線在雙曲線的外部（包括有原點(diǎn)）的一部分，表示雙曲線在軸下方的一部分，故錯(cuò)誤故選：10已知點(diǎn)集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是A1BCD【解答】解：當(dāng)時(shí)，只需要滿足，即可；當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式兩邊平方整理得到，所以區(qū)域如下圖易知其面積為故選：11數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為給出下列四個(gè)結(jié)論：曲線有四條對(duì)稱軸；曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；四葉草面積小于其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是ABCD【解答】解：四葉草曲線方程為，將換為，不變，可得方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；將換為，不變，可得方

13、程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關(guān)于直線對(duì)稱；曲線有四條對(duì)稱軸，故正確；由與聯(lián)立，可得或，即有曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故錯(cuò)誤；設(shè)曲線第一象限上任意一點(diǎn)為，可得圍成的矩形面積為，由，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值，故正確；易得四葉草曲線在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，故四葉草面積小于，則正確故選：12曲線為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)的軌跡以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（1）曲線一定經(jīng)過原點(diǎn)；（2）曲線關(guān)于軸、軸對(duì)稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi)A1B2C3D4【解答】解：設(shè)，則，對(duì)于（1）

14、，原點(diǎn)代入方程，得，即方程不成立，則曲線一定經(jīng)過原點(diǎn)，命題錯(cuò)誤；對(duì)于（2），以代替，代替，方程成立，方程也成立，即曲線關(guān)于、軸對(duì)稱，命題正確；對(duì)于（3），的最大面積為，命題正確；對(duì)于（4），令，可得，根據(jù)距離乘積為16可以得出的取值只可能在到之間；同理的取值只可能在到之間；所以曲線在一個(gè)面積為的矩形范圍內(nèi)，命題錯(cuò)誤綜上，正確的命題有（2）（3），共2個(gè)故選：二多選題（共2小題）13數(shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡潔、對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素如我們熟悉的符號(hào)，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌

15、跡是“曲線”若點(diǎn)，是軌跡上一點(diǎn)，則下列說法中正確的有A曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱B的取值范圍是，C曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足D的最大值為【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”故點(diǎn)，滿足，點(diǎn)，代入，得到，故正確；對(duì)于：設(shè)軸上范圍的最大值為，所以，解得，故的范圍為故錯(cuò)誤；對(duì)于：若，則點(diǎn)在的垂直平分線上，即，設(shè)點(diǎn)，所以，所以，即僅原點(diǎn)滿足，故正確；對(duì)于，化簡得，根據(jù)，得到，所以的最大值為，的最大值為，故錯(cuò)誤故選：14在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點(diǎn)，則A曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱BC曲線圍成的區(qū)域面積小于18D到點(diǎn)的最近距離為【解答】解：當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，去掉絕對(duì)值化簡可得，將的

16、中心平移到位于第一象限的部分，因?yàn)辄c(diǎn)，都在曲線上，所以曲線的圖象關(guān)于軸、軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，作出圖象如圖所示，由圖可知曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；令中的，解得，向右平移一個(gè)單位可得到橫坐標(biāo)為3，根據(jù)對(duì)稱性可知，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；令中的，解得，向上平移個(gè)單位可得縱坐標(biāo)的最大值為，曲線第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于，故選項(xiàng)正確；令中的，可得，所以到點(diǎn)的最近距離為，故選項(xiàng)正確故選：三填空題（共6小題）15數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過

17、曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是【解答】解：令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)；令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)；令，方程化為：，解得，可得點(diǎn)由此可得：曲線恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn)，因此不正確，方程化為：，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，可知正確由四個(gè)點(diǎn)作為正方形的頂點(diǎn)，可得正方形的面積為4，曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積大于4其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是故答案為：16數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；曲線所圍成的“心

18、形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是【解答】解：根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線還經(jīng)過點(diǎn)，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，正確；對(duì)于，由上可知，當(dāng)時(shí)，即曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，正確；對(duì)于，因?yàn)樵谳S上方，圖形面積大于四點(diǎn)，圍成的矩形面積，在軸下方，圖形面積大于三點(diǎn)，圍成的等腰直角三角形的面積，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，錯(cuò)誤故答案為：17數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、

19、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線給出下列結(jié)論：曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過2；曲線圍成區(qū)域的面積大于；方程表示的曲線在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是【解答】解：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線相切于點(diǎn)，則和都錯(cuò)誤；由，得方程表示的曲線在第二象限和第四象限，故正確故答案為：18曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)的軌跡則曲線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；又已知點(diǎn)，為常數(shù)），那么的最小值（a）【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得，當(dāng)時(shí)，無軌跡；當(dāng)時(shí)，化為，化為，與軸無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，化為，化為，令，解

20、得綜上可知：曲線與軸的交點(diǎn)為；（2）由（1）可知：如圖所示，令，則，或，解得或1當(dāng)或時(shí)，（a）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與相交時(shí)的交點(diǎn)滿足取得最小值，此拋物線的準(zhǔn)線為，直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，此時(shí)（a）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與相交時(shí)的交點(diǎn)滿足取得最小值，此拋物線的準(zhǔn)線為，直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，此時(shí)（a）綜上可知：（a）19已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足且，則點(diǎn)的軌跡方程為【解答】解：由，則，所以，而在三角形中，所以可得，而，所以可得，所以為定值且大于，所以可得的軌跡為橢圓，且長軸長，焦距，焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓，即，所以，所以的軌跡方程為：，故答案為：20在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足（如圖所示）則得重

21、心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程為；【解答】解：顯然直線的斜率存在，記為，的方程記為：，將直線方程代入得：，則有：，又，；，得：且，代入驗(yàn)證，滿足；故；設(shè)的重心為，則，由兩式消去參數(shù)得：的軌跡方程為故答案為：四解答題（共5小題）21如圖，直線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)以，為端點(diǎn)的曲線段上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離相等若為銳角三角形，且建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的方程【解答】解：法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為軸，的垂直平分線為軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意知：曲線段是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中，分別為的端點(diǎn)設(shè)曲線段的方程為，其中，分別為，的橫坐標(biāo)，所以，由，得，由，兩式聯(lián)立解得再將其代入式并由解得

22、因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故舍去所以，由點(diǎn)在曲線段上，得綜上得曲線段的方程為解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以、為、軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足分別為、設(shè)，、，、，依題意有，由于為銳角三角形，故有設(shè)點(diǎn)是曲線段上任一點(diǎn)，則由題意知屬于集合，故曲線段的方程為，22已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程【解答】解：由題設(shè)知，直線的斜率為，直線的方程為，同理可得直線的方程為將兩式相乘，得點(diǎn)，在雙曲線上，可得，將代入，得，整理得，即為軌跡的方程點(diǎn)、不重合，且它們不與、重合，軌跡的方程為23設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求圓心的軌跡的方程【解答】解：（1）兩圓的半

23、徑都為2，兩圓心為，、，由題意得：或，可知圓心的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，且實(shí)軸為4，焦距為的雙曲線，因此，則，所以軌跡的方程為24已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且滿足，（）設(shè)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明；（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）試問：在點(diǎn)的軌跡上，是否存在點(diǎn)，使的面積，求的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】（）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為記，則由；（）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)在軌跡上當(dāng)時(shí)，由，得又，所以為線段的中點(diǎn)在中，所以有綜上所述，點(diǎn)的軌跡的方程是；（）結(jié)論：在點(diǎn)的軌跡上，存在點(diǎn)使的面積，此時(shí)的正切值為2理由如下：上存在點(diǎn)，使的充要條件是

24、，顯然，存在點(diǎn)，使；不妨取，則，又，第2講 點(diǎn)差法一解答題（共9小題） 1過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程2已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程3已知曲線，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，曲線上總有不同兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱4已知橢圓過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上存在、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍5在中，是、的等差中項(xiàng)，且，（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍6已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使直線與雙曲線交于、，且是線段的中點(diǎn)，若存在這樣的直線，求出它的

25、方程；若不存在，說明理由7已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且使得是線段的中點(diǎn)，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由8已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)，在上（）求的方程；（）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明：的斜率與直線的斜率的乘積為定值9已知橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長為（）求橢圓的方程；（）若橢圓兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍第2講 點(diǎn)差法一解答題（共9小題） 1過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，、，

26、為的中點(diǎn)，又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是，即，故所求直線的方程為，即2已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程【解答】解：橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得宗坐標(biāo)為，可得中點(diǎn)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)，則，相減可得：，又，又，聯(lián)立解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：3已知曲線，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，曲線上總有不同兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱【解答】解：設(shè)橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性可知線段被直線垂直平分可得直線的斜率，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且的中點(diǎn)，在直線，故可設(shè)直線 的方程為，聯(lián)立方程組，整理可得，代入，的范圍就是，4已知橢圓過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上存在、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）由橢圓，可得，可得焦點(diǎn)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的方程為：，線段的中點(diǎn)，聯(lián)立，化為：，化為：，解得，代入可得實(shí)數(shù)的取值范圍是5在中，是、的等差中項(xiàng)，且，（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）由題意，頂點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去，共線），且，頂點(diǎn)的軌