計算機圖形學(xué)：Lecture 12 曲線曲面造型

1、Lecture 12曲線曲面造型 概述 在CAD/CAM領(lǐng)域，存在大量的曲線與曲面，因此，曲線與曲面造型技術(shù)是CAD/CAM系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)。 曲線曲面模型可用數(shù)學(xué)函數(shù)或一系列用戶指定的數(shù)據(jù)點來定義。 曲線表示的基本知識 曲線可以用顯式、隱式和參數(shù)表示，由于參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點，計算機圖形學(xué)中通常用參數(shù)形式描述曲線 .位置矢量 位置矢量即該位置所在點的坐標(biāo)值，如圖所示，曲線上任一點的位置矢量可表示為： 型值點和控制點 所謂型值點，是指通過測量或計算得到的曲線上少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點。由于的數(shù)量有限，不足以充分描述曲線的形狀，因此，通常是求得一些型值點后，采用一定的數(shù)學(xué)方

2、法，建立曲線的數(shù)學(xué)模型，從而再根據(jù)數(shù)學(xué)模型去獲得曲線上每一點的幾何信息。所謂控制點，是指用來控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點，曲線段本身不通過該控制點。Bzier曲線 Bzier曲線的定義 給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則Bzier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公式為： 式中，Pi構(gòu)成該Bzier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)： Bzier曲線 一般折線P0P1Pn為P(t)的控制多邊形；稱P0,P1,Pn各點為P(t)的控制頂點。Bzier曲線P(t)與其控制多邊形的關(guān)系可以這樣認(rèn)為：控制多邊形P0P1Pn是P(t)的大致形狀的勾畫，而P(t)是

3、對P0P1Pn的逼近。Bzier曲線的性質(zhì) 端點的位置 由Bernstein基函數(shù)可以推得： 當(dāng)t=0時，P(0)=P0 ；當(dāng)t=1時，P(1)=Pn 由此可見，Bzier曲線總是通過第一個和最后一個控制點，即P0和Pn，即Bzier曲線的起點、終點與相應(yīng)的特征多邊形的起點、終點重合。Bzier曲線的性質(zhì)端點的切線 Bzier曲線在端點處的切矢量 可以通過控制點的坐標(biāo)進(jìn)行計算：因為所以 由此可得,Bzier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。Bzier曲線的性質(zhì)權(quán)性 由二項式定理可知：Bzier曲線的性質(zhì)凸包性 由于 ，且 ，這一結(jié)果說明當(dāng)t在0，1區(qū)間變

4、化時，對某一個t值，P(t)是特征多邊形各頂點的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在 中各點是控制點Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，如圖所示。Bzier曲線的性質(zhì)幾何不變性 這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。Bzier曲線的性質(zhì)變差縮減性 若Bezier曲線的特征多邊形 是一個平面圖形 ， 則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。 此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是說Be

5、zier曲線比特征多邊形的折線更光順。三次Bzier曲線的矩陣表示 在利用Bzier曲線造型時，如果其次數(shù)太高，固然能表示復(fù)雜的形狀，但同時會造成計算復(fù)雜度增加，并且高次曲線有太多的控制頂點，形狀不易控制。 二次Bzier曲線表示能力有限，又是平面曲線，所以最常用的就是三次Bezier曲線。 三次Bezier曲線是非平面Bzier曲線中的最低次曲線，表示能力強，形狀控制方便。故在一些圖形軟件包中，只有三次Bzier曲線，使得設(shè)計更加方便，同時避免了由于高階多項式帶來的計算量的增加。 三次Bzier曲線的矩陣表示當(dāng)n=3時，由特征多邊形的頂點P0、P1、P2、P3可定義一條三次Bzier曲線。這

6、時曲線定義形式為：矩陣形式為 Bzier曲線的計算 計算Bezier曲線上的點，可用Bezier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。 如下圖所示，設(shè) 、 、 是一條Bezier曲線上順序三個不同的點。 過 和 點的兩切線交于 點, 在 P2點的切線交 和 于 和 ，則如下比例成立：這是所謂的三切線定理。Bzier曲線的計算Bzier曲線的計算當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有： t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得： 以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bzie

7、r曲線有許多優(yōu)點，如直觀、計算簡單等，但有一些不足之處：其一是缺少局部性，修改某一個控制頂點將影響整條曲線;其二是控制多邊形與曲線的逼近程度較差(次數(shù)越高，逼近程度越差);其三是當(dāng)表示復(fù)雜形狀時，無論采用高次曲線還是多段拼接起來的低次曲線，都相當(dāng)復(fù)雜。B樣條曲線B樣條曲線 為了克服這些問題，Gordon、Riesenfeld等人拓展了Bzier曲線，提出了B樣條方法，用n次B樣條基函數(shù)替代了Bernstein基函數(shù)，在保留Bzier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bzier方法的弱點。B樣條曲線 在計算機圖形學(xué)中，術(shù)語樣條曲線指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。 樣條曲

8、面可用兩組正交樣條曲線來描述。B樣條曲線 與Bzier曲線不同，對于B樣條曲線我們采用一系列的節(jié)點來表示參數(shù)t的變化情況，它是一個整體參數(shù)，節(jié)點的個數(shù)反映了曲線的次數(shù)和段數(shù)。B樣條曲線的方程定義為： B樣條曲線 上式中，Pi是控制多邊形的頂點。 稱為k階（k-1次）B樣條基函數(shù) 。 它是一個稱為節(jié)點矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項式，也即為k階（k-1次）多項式樣條。 B樣條曲線B樣條基函數(shù)定義為： 關(guān)注t的下標(biāo)的變化，其最小最大值為i，i+K 該遞推公式表明：欲確定第i個k階B樣條，需要用到共k+1個節(jié)點，稱 區(qū)間為的支撐區(qū)間。 B樣條曲線 i=0；0，k 使用的節(jié)點為t0，t

9、1， tk i=1；1，k+1 使用的節(jié)點為t1，t2， tk+1 i=n；n，k+n 使用的節(jié)點為tn，tn+1， tk+n 節(jié)點的個數(shù)反映了曲線的次數(shù)和段數(shù)： 節(jié)點的個數(shù)=n+k+1 共有n+1個樣條基函數(shù)B樣條曲線B樣條曲線的一個實例： n=3；k=3，此時節(jié)點個數(shù)為n+k+1=7 節(jié)點為0，1，2，3，4，5，6 有n+1=4個基函數(shù)分別為B0，3， B1，3 ， B2，3 ， B3，3B樣條曲線B樣條曲線的性質(zhì) 局部性 局部性質(zhì)是B樣條最重要的性質(zhì)之一，也是B樣條方法與Bzier方法的主要差別所在。由B樣條基函數(shù)遞推公式可知： 第i條k階B樣條曲線，僅在節(jié)點和的k+1個區(qū)間內(nèi)不為0，

10、而其余區(qū)間均為0。這個性質(zhì)稱之為局部支柱性。 B樣條曲線的性質(zhì)連續(xù)性 凸包性 分段參數(shù)多項式 變差縮減性 幾何不變性 直線保持性 造型的靈活性 B樣條曲線分類 （1）均勻B樣條曲線 節(jié)點向量中節(jié)點為沿參數(shù)軸均勻或等間隔分布，所有節(jié)點區(qū)間長度為大于零的一個常數(shù)，其中i從0一直到n+k。這樣的節(jié)點向量定義了均勻B樣條曲線（uniform B-spline curve）。（2）準(zhǔn)均勻B樣條曲線 準(zhǔn)均勻B樣條曲線(quasi-uniform B-spline curve)是均勻B樣條曲線和非均勻均勻B樣條曲線的交叉部分，節(jié)點向量中首尾節(jié)點重復(fù)d次，即t0= t1= td，tn+1= tn+2= tn+

11、d+1，所有其他節(jié)點呈均勻分布，這樣的節(jié)點矢量定義了準(zhǔn)均勻B樣條曲線。B樣條曲線分類（3）分段Bzier曲線 節(jié)點向量中兩端節(jié)點具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點矢量定義了分段的Bernstein基函數(shù)。 4）非均勻B樣條曲線 對于非均勻B樣條曲線(none-uniform B-spline curve)，節(jié)點向量中節(jié)點的分布是任意的。在這種類型里，任意分布的節(jié)點矢量，只要在數(shù)學(xué)上成立（節(jié)點序列非遞減，兩端節(jié)點重復(fù)度k，內(nèi)節(jié)點重復(fù)度k-1）都可選取。這樣的節(jié)點矢量定義了非均勻B樣條基。非均勻有理B樣條曲線 B樣條方法在表示與設(shè)計自由型曲線曲面形狀時顯示了強大的威力，然而在表示與

12、設(shè)計初等曲線曲面時時卻遇到了麻煩。因為B樣條曲線包括其特例的Bzier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，而只能給出近似表示。 提出非均勻有理B樣條（NURBS）方法，主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。非均勻有理B樣條曲線 有理函數(shù)是兩個多項式之比。因此，有理樣條是兩個樣條函數(shù)之比。有理B樣條曲線可以這樣來定義：非均勻有理B樣條曲線 使用NURBS繪制二次曲線，我們利用二次樣條函數(shù)k=3和三個控制點，其節(jié)點向量為： 0，0，0，1，1，1 取權(quán)值為w0=w2=1，w1=r/（1-r） 0=r1 改變r的值可得各種二次曲線：

13、r0.5，w11 （雙曲線） r=0.5，w1=1 （拋物線） r0.5，w11 （橢圓）非均勻有理B樣條曲線優(yōu)點既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀即初等的曲線曲面，也為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計提供了一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式。因此，一個統(tǒng)一的圖形數(shù)據(jù)庫就能存儲這兩類曲線曲面幾何形狀信息。由操縱控制頂點及權(quán)因子為各種形狀設(shè)計提供了充分的靈活性。計算穩(wěn)定，速度快。NURBS有明顯的幾何解釋，對有良好的幾何知識尤其是畫法幾何知識的設(shè)計人員來說，特別適用。具有明顯的幾何解釋和強有力的幾何配套技術(shù)(包括節(jié)點插入、細(xì)分、升階等)，這些技術(shù)能用于設(shè)計、分析與處理等各環(huán)節(jié)。NURBS在比例、旋轉(zhuǎn)、平移、錯切以及平行和透視變換下

14、是不變的。NURBS是B樣條及有理Bzier曲線的合適推廣。非均勻有理B樣條曲線缺點比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間，如傳統(tǒng)方法定義空間圓需7個參數(shù)(圓心、半徑、法矢等)，而NURBS定義空間圓需38個參數(shù)。權(quán)因子選擇不當(dāng)會引起畸變。某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比用NURBS工作的更好。如曲面求交等。反求曲線曲面上點的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題。OpenGL中自由曲線和曲面的繪制 Bzier曲線的繪制 曲線的起點和終點與該多邊形的起點和終點重合，且多邊形的第一條邊和最后一條邊分別表示了曲線在起點和終點處的切向矢量方向。曲線的形狀則趨于多邊形的形狀。多邊形可由其頂點來定義這些頂點則被稱為控

15、制點。只要給出控制點，就可生成一條Bzier曲線。 Bzier曲線的繪制1.曲線的定義與激活 在OpenGL中，曲線和曲面的構(gòu)造是借助于OpenGL求值器來完成的。要生成一條曲線，首先，要創(chuàng)建一個求值器。求值器是基于OpenGL而建立的一個生成更一般曲線和曲面包的工具。利用求值器可自動生成頂點坐標(biāo)、法線坐標(biāo)和紋理坐標(biāo)。其次，要激活求值器，使其進(jìn)行曲線映射。最后，要將求值器生成的各頂點連接起來可以生成一條完整的曲線。 創(chuàng)建一維求值器的函數(shù)為：glMap1d()或g1Map1f()函數(shù)，由它們生成所需坐標(biāo)值。g1Map1d()函數(shù)原型為： void glMap1d( GLenum target,

16、GLdouble u1,GLdouble u2, GLint stride, GLint order, const GLdouble *points );Bzier曲線的繪制 其中，targret參數(shù)是個標(biāo)識參數(shù)，它表示控制點應(yīng)該組織成什么樣的數(shù)據(jù)形式，以及當(dāng)求值器被成功調(diào)用后輸出數(shù)據(jù)的形式。它可以取表中的任意一個值。Bzier曲線的繪制 ul和u2參數(shù)表示調(diào)和函數(shù)的變量u的取值范圍；stride參數(shù)表示控制點向量的維數(shù)，可以與target參數(shù)表示的含義不一致；order參數(shù)為控制點的個數(shù)；points參數(shù)為控制點地址指針。 創(chuàng)建一個一維曲線求值器之后，就應(yīng)該激活求值器使其進(jìn)入工作狀態(tài)。由下述

17、語句完成： glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3)； glEnable()函數(shù)的參數(shù)應(yīng)該與glMap1d()函數(shù)的第一個參數(shù)一致，當(dāng)不再需要映射之后，相應(yīng)地，就應(yīng)該掛起求值器： g1Disable(GL_MAPl_VERTEX_3)； Bzier曲線的繪制2曲線坐標(biāo)的計算 為了能生成一條曲線，最后還要進(jìn)行曲線坐標(biāo)的計算和連接。該函數(shù)為：glEvalcoord1d()或glEvalCoord1f()。以glEvalcoord1d()為例，其原型為： void glEvalcoord1d(GLDouble u); 其中，u參數(shù)表示參數(shù)空間中u參數(shù)的取值。給定一個u值，就會產(chǎn)生一個曲線坐標(biāo)。當(dāng)用glEvalcoordl()函數(shù)生成曲線坐標(biāo)之后，還要將這些坐標(biāo)連接起來構(gòu)成一條曲線。這可以通過glBegin()glEnd()函數(shù)對來完