一維M形勢壘透射系數(shù)的計算與分析

1、一維M形勢壘透射系數(shù)的計算與分析摘要摘要：構(gòu)建了一維M形勢壘的模型，探討了微觀尺度下M形勢壘結(jié)構(gòu)中電子的勢壘貫穿問題.通過求解薛 定諤方程給出了透射系數(shù)的表達(dá)式，數(shù)值分析了透射系數(shù)隨入射電子的能量、勢壘高度和寬度的變化情況，并系統(tǒng) 地比較了 M形和方形勢壘的透射系數(shù).關(guān)鍵詞:M形勢壘 薛定諤方程 透射系數(shù)1 引言在經(jīng)典力學(xué)的范疇，宏觀物體不能跨越比其動 能大的勢壘，該類經(jīng)典力學(xué)案例最常見的有兩種，其 -，小球克服重力勢能跨越斜木板問題：斜木板頂端 和底端的重力勢能差大于小球初始動能時，從底端 出發(fā)的小球不可能跨過斜木板；其二，帶電粒子克服 電勢能跨越電容器的兩個極板問題：電容器兩極板 的電勢能

2、差值大于帶電粒子的初始動能時，從極板 低電勢能一端出發(fā)的帶電粒子不能到達(dá)另一極板. 從上面兩個案例可知經(jīng)典力學(xué)表現(xiàn)出很強(qiáng)的因果定 律，在力的作用下，物體具有決定性的運(yùn)動狀態(tài).但 是同樣的兩個案例，如果將物體的尺寸都減小到微 觀領(lǐng)域納米量級，經(jīng)典力學(xué)的決定性結(jié)果將不再成 立.這時物體變成微觀粒子，波粒二象性的特征非常 顯著，其運(yùn)動狀態(tài)服從量子力學(xué)中波函數(shù)描述的結(jié) 果，并可能導(dǎo)致與經(jīng)典力學(xué)完全相違背的結(jié)果出 現(xiàn)即：微觀物體能夠貫穿比其動能大的勢壘，這 種勢壘貫穿現(xiàn)象在量子力學(xué)領(lǐng)域被稱為隧道效應(yīng). 隧道效應(yīng)在顯微技術(shù)領(lǐng)域具有相當(dāng)重要的應(yīng)用價 值，催生了掃描隧道電子顯微鏡的誕生針對勢壘 貫穿問題，很多

3、教材和文獻(xiàn)都進(jìn)行了討論，最典型的 有量子力學(xué)教材中方形勢壘的貫穿問題此外, 文獻(xiàn)3(分析了一維多個位勢結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)，并 對其中的諧振隧穿現(xiàn)象進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)4(計算 了一維梯形勢壘的透射系數(shù)，并討論了透射系數(shù)隨 勢壘斜率的變化；文獻(xiàn)5(計算了一維三角形多勢 壘結(jié)構(gòu)的共振透射系數(shù).上述研究從不同結(jié)構(gòu)出發(fā), 對一維體系的勢壘貫穿現(xiàn)象進(jìn)行了分析和討論.基 于上述研究結(jié)果，本文設(shè)計了一維M型勢壘結(jié)構(gòu), 該結(jié)構(gòu)對應(yīng)著部分量子點(diǎn)內(nèi)部的勢能分布情況，當(dāng) 微觀粒子(如電子)透過M形勢壘時，其透射系數(shù)的 分析對其電導(dǎo)和輸運(yùn)特性非常重要，因此本文利用 薛定諤方程對電子通過M形勢壘時的透射系數(shù)進(jìn) 行了求解和數(shù)值分

4、析.2 理論模型和求解一維M形勢壘的模型如圖1所示.考慮電子從 勢壘的左邊入射，M形勢壘的寬度為+高度為U+. 將整個勢壘分為4個區(qū)域:I區(qū)& + 0),口區(qū) (0. & + 22),% 區(qū). +), & 區(qū) & a). 根據(jù)模型圖，M形勢壘的空間分布函數(shù)可表示為則I區(qū)電子波函數(shù)的通解可表示為U(&)=U+ fxfx U 0(1)上式中f = U.a$i (x) #3 | ef + B | elkx式(5)中$| (x)的下標(biāo)I表示波函數(shù)的取值范圍 在I區(qū)，下文波函數(shù)的表示方法均類似,3|和B| 為波函數(shù)的待定系數(shù),3 | e 表示I區(qū)向x正方向 運(yùn)動的電子的波函數(shù)，即電子的入射波函數(shù)& B

5、| ekx表示I區(qū)向x負(fù)方向運(yùn)動的電子的波函數(shù), 即電子的反射波函數(shù).同理，&區(qū)電子的波函數(shù)可 表示為(5)圖1 M形勢壘的模型圖從經(jīng)典力學(xué)的角度，當(dāng)電子的能量E小于勢壘 的高度U。，則電子不能到達(dá)勢壘的$,%，&區(qū).但 是經(jīng)典力學(xué)只能求解宏觀粒子低速運(yùn)動問題，對于 微觀粒子，應(yīng)該用量子力學(xué)方法求解.式(1)中勢能 分布與時間無關(guān)，反映微觀粒子全部運(yùn)動狀態(tài)的波 函數(shù)滿足一維定態(tài)薛定諤方程1*d*$(x)+u(x)$(x)= E$(x)(*)*mKx(x) # 3& e,fa +B&ex上式中3&和B&為&區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù), 3&e ikx表示&區(qū)向x正方向運(yùn)動的電子的波函數(shù), 即透射后電

6、子的波函數(shù)；B&ex表示&區(qū)向x負(fù)方 向運(yùn)動的電子的波函數(shù).由于電子是從左邊入射，到 達(dá)右邊&區(qū)后不會再有反射，所以&區(qū)的電子只 能向右運(yùn)動，因此B& =0.在$區(qū)，電子的波函數(shù)滿足d2$n (x) + (Uo &)$ (&)=(x)* mf 3 &=()(6)(7)d*$d*$(x)=E$(x)(3)(8)(9)式中%為電子的有效質(zhì)量，為普朗克常量E為電 子的本征能量，$(&)為屬于本征能量E的本征波 函數(shù).這里為了簡便，忽略勢壘對電子有效質(zhì)量的影 響，默認(rèn)電子的有效質(zhì)量為其靜止質(zhì)量,m = 9.1 X1031 kg.接下來在每個勢壘區(qū)列出定態(tài)薛定諤方程，并 分別進(jìn)行求解.在I區(qū)和&區(qū)，電子

7、的波函數(shù)均滿足(=& (Uo E #)式(7)可簡化為旦-$(Q=。上式為Airy方程$5,6%,其解為第一類艾里函數(shù)Ai(Q 和第二類艾里函數(shù)Bi ()的線性組合$()=3$ Ai ()+B$Bi ()式中3$和B$為$區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù). 在區(qū)，電子的波函數(shù)滿足(f) + Uo)$% (x)=(10)E$% (x)(10)式(3)可簡化為* + k*$( x)#0(4)_ & (fx Uo E) s =&9+ -E)式(10)亦可簡化為Airy方程u = Ai u = Ai | )o=Bi(| )u = Ai( | )8=Bi(| )d%y)-狎%()=0(11)則區(qū)電子的波函數(shù)可表示

8、為Ai()和Bi()的線 性組合() =Aih Ai()+B%Bi()(12)式中A%和4%為區(qū)電子波函數(shù)的待定系數(shù).上面已經(jīng)求完4個勢壘區(qū)波函數(shù)的通解，隨后 根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性條件得出待定系數(shù)間的關(guān)系， 并求出透射率.波函數(shù)有3個邊界，分別在&=0點(diǎn) =對應(yīng)& =a時(的取值，根據(jù)對比有=(|c = Ai(n )c = A8 Ch )式(13)(18)可分別簡化為+2，& = +處.在& =0處，根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)A | + B | = uA $ +)B $ikA | ikB | = K)fA $ k)iB $(19)20)連續(xù)，有! cA $ + dB $ = cA % + dB %2

9、1)A| +Bi=A$ Ai Ci)+Bn Bi -)13) c8A $ d8B $ = c8A % + d8B %22)A | B | =Ai? e ik+ uA % +)B hi23)KAn Ai| )kB$ Bi Ci)14)kA iv ika =kuA% +k)B%24)上面兩式中利用 乘以式(23)再減去式(24)得(25)A % = *B %(25)對應(yīng)& =0時變量的取值.Ai(-)和Bi(| )分別上式中表示第一類和第二類艾里函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在&處Ai (Ai ()W %A a8 )Bi () _ 1Bi)的取值.在&=2處，根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連 續(xù)，有An Ai CQ+Bh

10、 Bi ($) =A% Ai (n)+B%Bi ( )(15)&A $ Ai $ ) &B $ Bi ( n )=&A I% Ai ( ($ ) + &B % Bi ( ($ )(16)在式(15)和(16)中n = (n = &* = &) $ ka將式(25)代入式(23)得R &u_B % ,/ 、B A iv K ( & U )+e赫AIv(26)K上式中利用了艾里函數(shù)的性質(zhì)：對于任意的變量艾里函數(shù)滿足朗斯基行列式對應(yīng)&=2時變量和(的取值.在& =+處，根據(jù)即有波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有Ai?e 遍=A% Ai(i)+B% Bi(| UoE=U0E 7) B % (28) 利用8乘以

11、式(21)再加上式(22)得d TOC o 1-5 h z 3$ = ( cd c + cd ) A % + 2ddB %(29)利用 乘以式(19)再加上式(20)得2iA | = +A $ *B $(30)將式(28)和(29)代入式(30)得2A | =+ ( cd! + cd ) A % + 2ddB % % +* $2 ccA % +( cdf + cd ) B % %(31)將式(26)和(27)代入式(31),并整理公式可得A-v = 1A |2 cc* + d da 2 ( cd + cd ) a*由式(32)可得M形勢壘電子的透射系數(shù)丁 A-v 2?= A1| cc * +

12、d da 2 (cd + cd ) a* 2 對于寬度為+高度為9的方形勢壘，透射系數(shù)的表達(dá)式為$%一,2)2 sin2(+) +,22?=?4 + 2 ! 24目222 +目2)2 sinh2(+) +4研上式中(=$2%(E U+)$2%(Uo E)(=3數(shù)值計算與分析基于式(33)和(34),下面通過數(shù)值求解畫出透 射系數(shù)隨入射電子的能量、勢壘的高度和寬度的變 化圖像.圖2給出透射系數(shù)隨電子能量的變化，其中勢 壘高度Uo =1.0 eV，勢壘寬度a =0. 8 nm.實(shí)線M 形勢壘的結(jié)果顯示：當(dāng)電子的能量為0.68 eV時，透 射系數(shù)為1,此時電子發(fā)生了諧振隧穿,M形勢壘相 對電子的運(yùn)動

13、來說是透明的；在諧振隧穿前，透射系 數(shù)會隨電子能量的增加而增加；在諧振隧穿后，透射 系數(shù)隨電子能量的增加會有個減小的過程.虛線方 形勢壘的結(jié)果給出，只有電子的能量大于勢壘的高 度1.0 eV時，方形勢壘才會出現(xiàn)諧振隧穿.這意味 著M形勢壘比方形勢壘更方便電子諧振隧穿，因?yàn)?M形勢壘比方形勢壘中間多了個V形勢阱，所以能 在入射電子的能量小于勢壘高度時就發(fā)生諧振隧 穿.圖2結(jié)果還顯示，即使入射電子的能量大于勢壘 的高度,M形和方形勢壘電子的透射率也可能小于 1,只有當(dāng)入射電子的能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于勢壘的高度時, 透射系數(shù)才會一直接近于1.圖2 透射系數(shù)隨電子能量的變化圖3給出透射系數(shù)隨勢壘高度的變化，其中

14、入 射電子的能量E = 1. 0 eV，勢壘寬度a =0. 8 nm. M 形勢壘的結(jié)果顯示，在U0 =1.97E時電子會發(fā)生諧 振隧穿，在諧振隧穿前，隨著勢壘高度的增加透射系 數(shù)先減小后增加，在諧振隧穿后，透射系數(shù)隨勢壘高 度的增加單調(diào)下降，直到透射系數(shù)接近于零.圖3 透射系數(shù)隨勢壘高度的變化對比圖3中M形勢壘和方形勢壘的結(jié)果，可發(fā)現(xiàn)：在U0 0. 66E時,M形勢壘的透 射系數(shù)一直比方形勢壘的更大,這說明在低勢壘區(qū), 電子更容易透射方形勢壘，而在高勢壘區(qū)，電子更容 易透射M形勢壘.圖4給出透射系數(shù)隨勢壘寬度的變化，其中入 射電子的能量E = 1.0 eV.不同小圖中，勢壘的高度 U0不同.

15、結(jié)果顯示U+ =0. 8E時，無論M形勢壘還 是方形勢壘，透射系數(shù)隨著勢壘寬度的增加都近乎 呈現(xiàn)周期性的諧振隧穿，且最小透射系數(shù)大于0.5； U+ =-時，隨勢壘寬度的增加，方形勢壘的透射系數(shù) 迅速單調(diào)下降，但M形勢壘的透射系數(shù)還是近乎周 期性地呈現(xiàn)諧振隧穿，再次反映M形勢壘相比方形 勢壘更容易發(fā)生諧振隧穿；在U+ #1. 5E和U0 =2E 時,M形勢壘的透射系數(shù)發(fā)生諧振隧穿的次數(shù)相比 U0 =E時減少很多，且透射系數(shù)的部分峰值已經(jīng)小 于1,對應(yīng)著沒有諧振隧穿產(chǎn)生；在U0=4E時,M形 勢壘中雖然有透射峰的出現(xiàn)，但已經(jīng)不會出現(xiàn)諧振 隧穿；在U+ =5E時，更是連透射峰都消失了，透射 系數(shù)隨勢

16、壘寬度的增加迅速單調(diào)衰減至零.上述結(jié) 果表明，勢壘高度與電子的能量差不多大時,M形 勢壘中才容易出現(xiàn)諧振隧穿，隨著勢壘高度的增加, M形勢壘中發(fā)生諧振隧穿的次數(shù)會越來越少，直至 沒有諧振隧穿產(chǎn)生.10.80.20.60.40246810a/nm0(d) U0=2E0.80.60.40.2U0=4EM形勢壘 方形珈壘0246810a/nm(e) U0=4E0.80.60.40.2U0=Q.8EM形勢壘方形勢壘0M形勢壘方形勢壘246810a/nm(f) U0=5E透射系數(shù)隨勢壘寬度的變化(a) U,=0.SEa/nma/nm(b) U0=E4 結(jié)論本文構(gòu)造了一維M形勢壘的模型，基于薛定諤 方程的求解，給出了 M形勢壘中透射系數(shù)的表達(dá) 式，并數(shù)值分析了透射系數(shù)隨入射電子的能量、勢壘 高度和寬度的變化情況.結(jié)果表明，在勢壘高度不變 時，達(dá)到諧振隧穿前，透射系數(shù)會隨入射電子的能量的增加而增加，且當(dāng)電子的能量小于勢壘的高度時， M形勢壘中依然會出現(xiàn)諧振隧穿.在入射電子