(完整版)等差數(shù)列專題

1、11.已知等差數(shù)列靠中，a3=9,a9=3,則公差d的值為()等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母史表示.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式3.則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d=(n3.則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d=(nm)d=p.如果三個(gè)數(shù)*,A,y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A=錯(cuò)誤！。.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(nm)d(n,mN*).(2)若an為等差數(shù)列，且

2、m+n=p+q,則Ia+a=a+a(m,n,p,qN*).(3)若匕n是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+,a.2,(k,mN*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列nSm,S2mSm,S31s2m，也是等差數(shù)列I：k+2mS2n_1=(2n1)an。(6)若2n為偶數(shù)，則SJS左=錯(cuò)誤！；偶奇若n為奇數(shù)，則S奇一S偶=2中(中間項(xiàng)).等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)a,則5=錯(cuò)誤!，或等差數(shù)列伯的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其前n項(xiàng)和公式為TOC o 1-5 h zSia+nJn1n12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系S=錯(cuò)誤!n2+錯(cuò)誤!門,數(shù)列2是等差數(shù)列的充要條件是S=An2+

3、Bn(A,B為常數(shù)).最值問題nn則Sn存在最大值，若a1V0,d0,則Sn存在最大值，若a1V0,d0,則Sn存在最小值.利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn=a+a+a+Ian,Sn=an+an+a，+得：飛=錯(cuò)誤!.兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元.(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d,ad,a,a+d,a+2d,.(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)為二:a3d,ad,a+d；a+3d；，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法:對(duì)于n22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)

4、等差中項(xiàng)法:驗(yàn)證2an_1=an+an_2523爐)都成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證S“=An2+Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.回顧:151575A.B.1C.（完整版）等差數(shù)列專題D.-12.已知數(shù)列a的通項(xiàng)公式是a=2r1+5,則此數(shù)列是（2.A.C.以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列B.D.以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列不是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列aJ中，a/13,a3n等于（）A.C.以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列B.D.以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列

5、不是等差數(shù)列3.在等差數(shù)列aJ中，a/13,a3n等于（）A.4.A.23B.24C.25D.265.A.兩個(gè)數(shù)1與5的等差中項(xiàng)是（2005黑龍江）a1+a8a4+a5B.3C.D.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，B.ai+agaq+asC.a+aVa+aD.2/8=2425考點(diǎn)1:等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和考點(diǎn)1:等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和題型1:已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)【解題思路】給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)再考慮基本量法【例1】已知為等差數(shù)列，a15=8,a60=20,則a75解：方法1:.二.a75a15解：方法1:.二.a75a1560=a+14d=8641na=,d=a+59d=

6、201151644=a+74d=+74義=24a-a方法2：;d=6014601515152084451515方法3：令a=an+b,則n15a+b=81678na=,b=60a+b=20453168_.a=75a+b=75義+=2475453方法4:為等差數(shù)列，na15,a30,a方法4:為等差數(shù)列，na15,a30,a45,a60,a75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1，則a15為首項(xiàng)a60為第4項(xiàng)。方法5:.a=a6015+3dn20=8+3dnd=4:.a=a+d=20+4=2475601a為等差數(shù)列，.(15,a),(60,a),(75,a)三點(diǎn)共線n156075a-a601560157

7、560aa208-560-na20-5na=2445（完整版）等差數(shù)列專題（完整版）等差數(shù)列專題對(duì)應(yīng)練習(xí)：1對(duì)應(yīng)練習(xí)：1、已知為等差數(shù)列，a=P,a-q（m,n,k互不相等），求a.nk2、已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為165，求這5個(gè)數(shù)。題型2：已知前n項(xiàng)和S及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù)。n【解題思路】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d求出a及d，代入S可求項(xiàng)數(shù)n；n11n利用等差數(shù)列的前4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出a+a，代入S可求項(xiàng)數(shù)n。1nn【例2】已知S【例2】已知S為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，a-9,a-6,S63求n49n，解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則a+3d=91na=

8、18,d=3a+8d=-613.S-18n-n（n-1）=63nn-6,n-7n212對(duì)應(yīng)練習(xí)：3、若一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為36,后4項(xiàng)和為124,且所有項(xiàng)的和為780,求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.n題型3:n題型3:求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和4.已知S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，a1,a7,S100則n14n，【解題思路】（1）利用S求出a，把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題。nn（2）含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問題,要注意分類討論.【例3】已知S為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，S=12n-n2。a+a+a(1)123求a+a+a+a求a+a+a+a123n解：/S-12n-n2，n二.當(dāng)n1時(shí)，a-S121-11

9、，當(dāng)n2時(shí)，a=S-S=(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)2-13-2n，nnn-1當(dāng)n=1時(shí)，132x1當(dāng)n=1時(shí)，132x1=11=a13由a=13一2n0得n一n2當(dāng)1n0；當(dāng)n7時(shí)，a0.a+a+a=a+a+a=S=12x332=27.(1)1231233(2)a+a+aHFa=a+a+aHFa一(a+a+a+a)10123678910=2S一S=2(12x662)(12x10一102)=52.6101n7時(shí)，a+a+a+a=a+a+a+a一(a+a+當(dāng)n7時(shí)，=2S-S=2(12x6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72.6n二100,S=10求S10100，110

10、對(duì)應(yīng)練習(xí)：5二100,S=10求S10100，110考點(diǎn)2：證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、定義法：a-a=d（neN,d是常數(shù)）O（a是等差數(shù)列;n+1n+n2、中項(xiàng)法：2a=a+a（neN）O（a是等差數(shù)列；n+1nn+2+n3、通項(xiàng)公式法：a=kn+b（k,b是常數(shù)）Oa是等差數(shù)列；nn4、項(xiàng)和公式法：S=An2+Bn（A,B是常數(shù)，A豐0）Oa是等差數(shù)列。nn【例4【例4】已知S為等差數(shù)列n的前n項(xiàng)和，n求證：數(shù)列左是等差數(shù)列。n解：方法1：解：方法1：設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,n1=na+2n(n-1)db=f=a+(n-1)dnn121-1d（常數(shù)

11、）.bb=a+nda(n1)d（常數(shù)）n+1n12122(完整版)等差數(shù)列專題(完整版)等差數(shù)列專題.數(shù)列】必是等差數(shù)列.一一LS，1/一方法2：bna+(n1)d,nn1211:b=a+ndb=a+(n+1)dTOC o 1-5 h zn+112n+21211+b=a+(n+1)d+a+(n-1)d=2a+nd=2bn12一對(duì)應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)S為數(shù)列n的前對(duì)應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)S為數(shù)列n的前n項(xiàng)和，nS=pna(ngN),a=a.nn+12(1)常數(shù)p的值；(2)證：數(shù)列1是等差數(shù)列.考點(diǎn)3:等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解。【例5】1、已知S為等差數(shù)列n的前n項(xiàng)和，na=100

12、則S=6112、知S為等差數(shù)列n的前n項(xiàng)和，nS=m,S=n(n豐m)，則Snmm+n解：1、c11(a+a)11義2aS=1a-=61122=11a=1100.6，2、方法1：令S=An2+Bn，則nAn2+Bn=m/、/、n(mn)(a+a)SS=a+a+a+a+a=n+m-=nm。mnn+1n+2n+3m1m2:a+a=a+a=2，1m+nn+1m（完整版）等差數(shù)列專題（完整版）等差數(shù)列專題,S=(m+n)(aa)=一(m+n)；m+n2方法3：方法3：.n是等差數(shù)列，1nnj為等差數(shù)列nmSnmSminm+n)三點(diǎn)共線。mnmmnmnS(m+n)。m+n對(duì)應(yīng)練習(xí)：7、含2n+1個(gè)項(xiàng)的等

13、差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（D,三2nD,三2nA.na則5b58。設(shè)S、T分別是等差數(shù)列a、a則5b5考點(diǎn)4：等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜合【解題思路】1、利用a與S的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;nn2、求出T后，判斷T的單調(diào)性?！纠?】已知S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，S1n2211+n；數(shù)列滿足:b11b=2b-b，其前9項(xiàng)和為153.n+2n+1n數(shù)列、的通項(xiàng)公式；nn設(shè)T為數(shù)列7的前n項(xiàng)和,大正整數(shù)k的值.1解：(1);S=-n2+n211一n,2,(2a-11)(2b-1).當(dāng)n1時(shí)S一Snn-1當(dāng)n1時(shí)，b2bn+2n+1nbn+1kk求使不等式T）對(duì)VneN都成立的最n57+1

14、11111-=-n2+n一-(n一1)2一(n一1)=n+52222.二anb+b-ni2上，8是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.nnb5,d31Jbnb5,d31則19b+36d=1531:.b=5+3(n一1)3n+2。nTOC o 1-5 h z_60J(2a-11)(2Z?-1)(2(n+5)nn211(2n-l)(2w+l)2n-l2n+l2n-l2n+l)=1-2+1：，:.T是單調(diào)遞增數(shù)列.對(duì)應(yīng)練習(xí)：課后練習(xí)：1o，當(dāng)=1時(shí)，(T)minkT2neN都成立今57+所求最大正整數(shù)上的值為37.9.已知S為數(shù)列n的前項(xiàng)和,n（1）數(shù)列數(shù)列J的通項(xiàng)公式;nn的正整數(shù)左，（2010廣雅中學(xué)）A.

15、S=S10113(T)nminu2-L_左2)on,使得不等式a對(duì)任意不小于左的正整數(shù)都成立？若存在，求最小kk+1若不存在，說明理由.且。2二一8a15=5,S是數(shù)列a的前項(xiàng)和，則nn2.在等差數(shù)列中，B.SS1011a=120,則ac.S=S910D.S2時(shí)，a=S-S=na-(n-1)an(n-1)(a-a)=0,nnn-1nn-1nn-1a-a=0(n2),數(shù)列a是等差數(shù)列.nn-1nc(n+1)(a+a)7、【解析】(本兩小題有多種解法)=S=a+a+a+a=1力奇1352n+12cn(a+a)S=a+a+a+a=22n-偶2462n2，a+a=a+a12n+122n8、【解析】aS

16、7(2n-1)+214n-5a14義5-565n-=-2n-1=n5=bT(2n-1)+32n+2b2義5+212n2n-1565填12。9、【解析】當(dāng)9、【解析】當(dāng)n2時(shí)，SS=2ann-1nnSS=2(S-S)nn-1nn-1,是以一大為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為.n236n6n5-3n5-3n.當(dāng)n2時(shí)1二-SS182nn-1(3n-8)(3n-5)當(dāng)n=1時(shí),1818二0a(3-8)(3-5)103(n=1)18iII(3n-8)(3n-5)(n2)；18ak+i(3k-8)(3k-5)(3k-2)2580，得3k3，當(dāng)k3時(shí)，aa恒成立，所求最小的正整數(shù)k=3.kk+1課后練習(xí)1、a+aa+a+d(a+d)+課后練習(xí)1、【解析】CST16=15,S=215nS=S92210