一類具有自擴(kuò)散項的捕食模型的穩(wěn)定性分析

1、一類具有自擴(kuò)散項的捕金模型的穩(wěn)定性分析摘 要：本文主要對一類具有自擴(kuò)散項的捕食-被捕食模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，考慮了常微系統(tǒng)下的一類捕食-被捕食模型， 給出了該模型正平衡點(diǎn)的存在條件，分析了一類具有自擴(kuò)散項的模型，證明了兩種模型在正平衡點(diǎn)附近系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性，結(jié) 果表明此兩類模型種群在空間的分布隨時間的增大最終會達(dá)到均勻穩(wěn)定狀態(tài)。關(guān)鍵詞：正平衡點(diǎn) 局部漸進(jìn)穩(wěn)定性 自擴(kuò)散1 前言捕食關(guān)系1是自然界普遍存在的物種之間相 互作用的基本關(guān)系之一，也是種群動力學(xué)研究的 一個主要課題，捕食一食餌2相互作用關(guān)系的研 究具有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值。反應(yīng)擴(kuò)散 系統(tǒng)3是描述種群生態(tài)學(xué)的重要工具，其中捕食一

2、 被捕食模型是重要的模型之一。自從1926年經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食模型4 建立以來，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，從種族密度分布均 勻的生態(tài)數(shù)學(xué)模型，即常微分方程動力系統(tǒng)，到種 族密度在空間分布不均勻的生物數(shù)學(xué)模型5，即帶 有擴(kuò)散項的偏微分方程動力系統(tǒng)，都取得了豐碩的 成果。Gause和Witt在1935年建立了如下一般形式 的兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng)6:j Z/ （% + A】+ CjZ/j ） d 2 = 2（% + b岌2 +）其中 a. bi，Ci（i=1,2）為 實數(shù)，（i=1,2） 分別表示兩種群的本質(zhì)增長率，b;（i=1,2）稱為種 內(nèi)作用系數(shù)，體現(xiàn)了兩種群種內(nèi)

3、的競爭，c;（i=1,2） 稱為種間作用系數(shù)，表現(xiàn)了種群間的關(guān)系（Lotka- Volterra 模型）o上述Lotka-Volterra模型是假設(shè)兩個種群的相 對增長率是線性函數(shù)。而一個捕食者在單位時間內(nèi) 不可能吃掉任意多的食餌，所以有必要對模型進(jìn)行 改進(jìn)。為此提出了具有功能性反應(yīng)的捕食一被捕食 模型，其一般形式為：=l（*一洌1） 一= （%）W2 2 （弓 + 力“2 ）其中巾（U1）稱為功能性反應(yīng)函數(shù)，k稱為轉(zhuǎn) 化系數(shù)。假定種群在空間上是均勻分布的情況下只考 慮了時間對種群密度的影響,而實際上在許多生態(tài) 系統(tǒng)中，種群為了獲取賴以生存的食物和棲息環(huán)境 必然會從自身密度高的區(qū)域向密度低的區(qū)

4、域遷移。2 一類具有自擴(kuò)散項的捕食模型的穩(wěn)定性分 析基于實際的生物學(xué)意義，建立的模型如下：- 0, x e Q3 t/3A(z/3 + d5/1*13) =+ 四”2 _ $)，7 0, x e Qdni/1 = dnii2 = dnii3 = 0,t 0,a: e dCl n, （x, 0） = （x） 0,z = l,2,3,A：eQ其中4是食餌的種群密度（i=1,2）;u3是捕 食者的種群密度；耳為內(nèi)部增長率；b;是食餌的自 抑制系數(shù)；Y；是捕食者捕獲食餌i的單位捕食率； &為生物常數(shù)換算量（i=1,2,3 ） ； d;是自擴(kuò)散系數(shù) （i=1,2,3 ） ； d;是交錯擴(kuò)散系數(shù)（i=4,

5、5 ） ； 8為捕食者 的死亡率。引理（Hurwitz判據(jù)）設(shè)有 n 次代數(shù)方程 aoXn+aiXn1+a2Xn2+_+an_iX+an=G， 其中ao, ai, a2an為常數(shù)，且a 0，則它的一切 根具有負(fù)實部的充要條件是下列不等式同時成立： % % 0 a3 a2 ax4 %三 , A2 三 , A2 = 0, A,0,，不考慮種群密度的空間分布，可建立如下模 型：對于常微系統(tǒng)，容易得到該系統(tǒng)的正平衡 點(diǎn)，但我們只考慮非零平衡點(diǎn)S（ u*,u；,u；）u* =1 為飽+財氣:=也匹為0如箜ZV02 +ZW1U* =阪孔+附也-心3 ZVM+ZWi為了方便起見，讓（站心板）表示任意的平衡解

6、， 則（妃心方3 ）的特征方程由下列行列式給出-2&國-.甲L 0-牌0/;-2/y7.-y/,2A3 阮對于正平衡解s（u*,u；,u；），其特征方程根據(jù) 上述行列式化簡如下：中（人）=3+ax2+a2x+a34 =b0 +b由乏A = 略禮們+叩神s +月以用A鑫=以的函頊3 +b庭煎逐3 =化勺宙05* +月月2） 如果性* 0：脂+尺） b的-頃、.可以得出AiA2A3都是正的，從而正平衡解 S（ u*,u2,u*）是局部漸近穩(wěn)定的。 8 minmax 8 0B2 = 3,ML +/）+&，；）3同 + 鈕;）+（#北 + 頃;）網(wǎng)3 + 角匕指:+ 氏0戊=（瞄+婦，;）+腐均,；應(yīng)

7、（片4 +頑）+（/* + b2ui）均響；。通過計算B甚-b3 = #,軸* + 饋;+R.（q +%）加；（+4）+姑;（4 +4） +W0、+d2d3 +君）+ 舟”;（必 +%）（印房 +席好；） +缶響但）2”； +曷械2（；）% + 澎02”；W +2）0所以可以得出結(jié)論正平衡解S7（U*,U；,U；）是 局部漸近穩(wěn)定的。3數(shù)值模擬3.1無擴(kuò)散情況下的動力學(xué)曲線模擬捕食者山、食餌U,U2的相圖模擬及捕食者與 食餌的密度隨時間變化的動力學(xué)曲線模擬圖1捕食者U3與食餌Ui，U2的相圖及捕食者與食餌密度隨時間變化動力曲線圖此時，馬=42=4.5,加=0.1上2=2,。1=3.5,。2=1,丫1=1,定的。72=1,8=2.23.2自擴(kuò)散系數(shù)對平衡點(diǎn)穩(wěn)定性影響的數(shù)值模擬Two FunctionO 24681012141618d 3圖2自擴(kuò)散系數(shù)da的線性化特征矩陣的特征值曲線圖此時，r1=4,r2=4.5,b1=0.1,b2=0.251,pi=3.5,P2=1, Yi=1,Y2=3,8=2.2本文的研究結(jié)果表明，無擴(kuò)散的捕食一被捕 食模型存在正平衡點(diǎn)，并且計算出了此模型的正平 衡點(diǎn)，通過理論推導(dǎo)和MATLAB