高中 高二 數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的概念 等差數(shù)列-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、布吉高級(jí)中學(xué) 王雪梅.2.1 等差數(shù)列(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇必修第二冊(cè)第四章)布吉高級(jí)中學(xué) 王雪梅一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容：等差數(shù)列的概念,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo).2.內(nèi)容解析：本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了數(shù)列的一些基本知識(shí)之后，學(xué)生探究特殊數(shù)列的開(kāi)始，是數(shù)列這一章的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容. 通項(xiàng)公式是通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系的一種解析表示，它從函數(shù)和方程兩個(gè)角度為求解問(wèn)題提供了有力的工具.等差數(shù)列在高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，并且在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的好題材，它對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無(wú)論在知

2、識(shí)上，還是在方法上都具有積極的意義.3.教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、目標(biāo)與目標(biāo)解讀 1.目標(biāo)：（1） 能通過(guò)具體實(shí)例，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，理解等差數(shù)列的概念，會(huì)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列;（2） 了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式;（3） 體會(huì)用化歸思想與方程思想解決問(wèn)題.2.目標(biāo)解讀：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志分別是：（1）知道等差的數(shù)列的本質(zhì)是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù);（2）能夠通過(guò)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;（3）通過(guò)公式應(yīng)用及練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方程的思想方法，熟練掌握“知三求一”的問(wèn)題和方法.三、教

3、學(xué)問(wèn)題診斷解析 1.問(wèn)題診斷（1）讓學(xué)生體會(huì)引入等差數(shù)列定義的必要性是第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題，先引出生活中的幾個(gè)實(shí)例，引起學(xué)生極大的興趣，讓學(xué)生分析,觀察特點(diǎn)，感受“等差數(shù)列”的問(wèn)題，希望學(xué)生能通過(guò)對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列模型，在這個(gè)過(guò)程中形成等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.（2）如何讓學(xué)生掌握推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)公式的掌握及簡(jiǎn)單應(yīng)用并不困難，而難點(diǎn)在于在推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程中舉例讓學(xué)生求an，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，歸納。如何自然地生成數(shù)學(xué)歸

4、納法和累加法，是本課教學(xué)環(huán)節(jié)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.2.教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用.四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，多次設(shè)計(jì)動(dòng)畫(huà)幫助學(xué)生觀察和思考，形象直觀且高效地提升了課堂的效益和效率，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，使學(xué)生樂(lè)意投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的教學(xué)活動(dòng)中去。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.概念的形成1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考【實(shí)際情境】（1）1896年，雅典舉行了第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)，到2008年的北京奧運(yùn)會(huì)已經(jīng)是第29屆奧運(yùn)會(huì)。觀察奧運(yùn)會(huì)舉辦的年份所對(duì)應(yīng)的數(shù)列：1896，1900，1904，2008，2012，（）你能預(yù)測(cè)出第31屆奧運(yùn)會(huì)的時(shí)間嗎？學(xué)

5、生口答：2016.2016如何預(yù)測(cè)出來(lái)的？根據(jù)已有數(shù)的規(guī)律，每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間相差4，而且后一個(gè)數(shù)總比前一個(gè)數(shù)多4.【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)奧運(yùn)會(huì)的數(shù)學(xué)情境，以問(wèn)題為導(dǎo)向，這樣的導(dǎo)入貼近學(xué)生的實(shí)際生活，引起學(xué)生極大的興趣.用這一實(shí)例，借助于實(shí)際意義讓學(xué)生感受“等差數(shù)列”的問(wèn)題是自然、清楚、明白的. 【實(shí)際情境】下面，我們?cè)賮?lái)觀察幾個(gè)生活當(dāng)中的數(shù)列.引入三個(gè)生活問(wèn)題中的數(shù)列：(2)2000年女子舉重4個(gè)體重級(jí)別：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4)氣溫隨高度的變化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2

6、 ,-4.5.【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境的多個(gè)數(shù)列引出下面的探究問(wèn)題.1.2探究問(wèn)題，形成概念【問(wèn)題探究1】什么是等差數(shù)列？(1) 2008，2012，2016(2) 48,53,58,63.(3) 104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4) 28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.問(wèn)題1：(1)觀察以上四個(gè)數(shù)列，它們有什么共同點(diǎn)？對(duì)于數(shù)列(1),從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于？ 對(duì)于數(shù)列(2),從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于？ 對(duì)于數(shù)列(3),從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于？對(duì)于數(shù)列(4),從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于？追問(wèn)

7、1：(2)你能歸納出等差數(shù)列的定義嗎？【預(yù)設(shè)的答案】4，5，4.25，-6.5學(xué)生：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生計(jì)算，觀察比較，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出等差數(shù)列的定義.【概念形成】我們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字等差數(shù)列.a1,a 等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.追問(wèn)2：你能說(shuō)出上面三個(gè)數(shù)列的公差是多少嗎？學(xué)生口答：分別為4，5，4.25，-6.5追問(wèn)3：怎么算出來(lái)的？學(xué)生口答：用相鄰兩項(xiàng)的后項(xiàng)減去前項(xiàng).為了今后表示方便，我們將等差數(shù)列的定義用

8、數(shù)學(xué)符號(hào)記作：an-an-1an+1-a活動(dòng)：尋找身邊的等差數(shù)列,讓學(xué)生回答、討論.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)活動(dòng)，鞏固等差數(shù)列的概念，讓學(xué)生體驗(yàn)從抽象再到具體的思想.概念辨析:1.判斷以下數(shù)列是等差數(shù)列嗎？(1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)-3，-2，-1，1，2，3 .追問(wèn)1：根據(jù)這個(gè)題目來(lái)看，怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列呢?學(xué)生回答：判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷：看an-a追問(wèn)2：請(qǐng)你繼續(xù)觀察練習(xí)1中的四個(gè)等差數(shù)列，你能否總結(jié)出：每個(gè)數(shù)列中，公差d的正負(fù)與數(shù)的增減情況有什么關(guān)系？總結(jié)：由等差數(shù)列的定義式可知:當(dāng)d0時(shí)，an

9、an-1，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)當(dāng)d=0時(shí)，【概念形成】觀察下面的兩個(gè)數(shù)列：(1) 2008，2012，2016(2) 6，4，2特點(diǎn)：由三個(gè)數(shù)構(gòu)成，由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列，A稱為a與b的等差中項(xiàng)，試一試：在橫線填入一個(gè)數(shù)，讓數(shù)列成為一個(gè)等差數(shù)列(1)2， ，4； (2)-8， ，0； (3)a， ，b【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出等差中項(xiàng)的公式: 【問(wèn)題探究2】如何求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？問(wèn)題2：如何求an？-4，-1, 2, 5, 8， a1由學(xué)生觀察、歸納得到a我們將這個(gè)問(wèn)題抽象出來(lái)：如果已知一個(gè)等差數(shù)列，公差是d，你能猜測(cè)出an【預(yù)設(shè)的答案】學(xué)生猜測(cè) 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生觀

10、察，歸納猜想得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.追問(wèn)1：如果已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公差是d，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an分析1：根據(jù)等差數(shù)列的定義：a所以 a2 a3 這樣得到的： an=注：需要特別強(qiáng)調(diào)的是，由猜想歸納得出這個(gè)通項(xiàng)公式的方法稱作不完全歸納法，這種方法僅僅是猜想出來(lái)的結(jié)論，沒(méi)有說(shuō)服力，嚴(yán)格的證明需要數(shù)學(xué)歸納法，將在以后學(xué)習(xí).下面我們引入第二種方法來(lái)證明這個(gè)通項(xiàng)公式：分析2: 根據(jù)等差數(shù)列的定義：a a追問(wèn)2：將上面n-1個(gè)等式左右兩邊分別相加,左右分別是什么樣？ 由此得到： an這種求通項(xiàng)公式的方法叫累加法,是探討數(shù)列通項(xiàng)的一種常見(jiàn)方法.后續(xù)的學(xué)習(xí)還會(huì)繼續(xù)研究.我們?cè)谶@里的要求是:需要你

11、記住這個(gè)公式，它是解決等差數(shù)列通項(xiàng)公式的主要方法.說(shuō)明：通項(xiàng)公式中，有四個(gè)量:首項(xiàng)a1，公差d，序號(hào)n和第n項(xiàng)an，知道其中的任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量，即知三求一.2.初步應(yīng)用，理解概念例1.(1)求等差數(shù)列8，5，2，的第20項(xiàng)分析：已知什么？要求什么？已知首項(xiàng)a1，d，n,要求a解： =-3n+11 說(shuō)明：這道題是在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)量中，知道a1，d, n,求an.體現(xiàn)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式中“知三求一”的方程思想.例1. (2)判斷-401是不是等差數(shù)列5,-9 ,-13的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)，如果不是，說(shuō)明理由.分析:本題是第（1）題的逆向問(wèn)題，已知什么？要求什么？知道a1，d

12、, an, 求抽學(xué)生回答解題思路.解： =-4n 解得：n=100，即【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)并總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)，只須令通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)，得到關(guān)于n的方程。若方程有正整數(shù)解，則它就是，否則不是。根據(jù)剛才學(xué)到的辦法，請(qǐng)你完成下面的練習(xí)：（學(xué)生完成后，抽學(xué)生說(shuō)出解答過(guò)程，核對(duì)結(jié)果）練習(xí)：1. 求等差數(shù)列3，7，11，的第4，7，10項(xiàng)；2. -20是不是等差數(shù)列 0， -27 ，-7，【預(yù)設(shè)的答案】1. 15,27,39 2.不是【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一些具體的數(shù)列計(jì)算，鞏固、加深對(duì)概念的理解.例2.在等差數(shù)列an中，已知a5=10，a12解：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得a解得：a 【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步靈活應(yīng)用、鞏固等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會(huì)聯(lián)立方程組求解的思想，由此可以讓學(xué)生看到：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)就可以確定這個(gè)數(shù)列.例3.孫子算經(jīng)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今五等諸侯，共分橘六十，人別加三顆，五人各幾