高中 高二 數(shù)學(xué) 等差數(shù)列的概念 等差數(shù)列-教學(xué)設(shè)計

1、布吉高級中學(xué) 王雪梅.2.1 等差數(shù)列(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇必修第二冊第四章)布吉高級中學(xué) 王雪梅一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容：等差數(shù)列的概念,等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用,等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo).2.內(nèi)容解析：本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了數(shù)列的一些基本知識之后，學(xué)生探究特殊數(shù)列的開始，是數(shù)列這一章的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是數(shù)列的重點內(nèi)容. 通項公式是通項an與項數(shù)n的關(guān)系的一種解析表示，它從函數(shù)和方程兩個角度為求解問題提供了有力的工具.等差數(shù)列在高考中也是重點考查的內(nèi)容之一，并且在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，同時也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的好題材，它對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知

2、識上，還是在方法上都具有積極的意義.3.教學(xué)重點：等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式.二、目標(biāo)與目標(biāo)解讀 1.目標(biāo)：（1） 能通過具體實例，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，理解等差數(shù)列的概念，會用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列;（2） 了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式;（3） 體會用化歸思想與方程思想解決問題.2.目標(biāo)解讀：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志分別是：（1）知道等差的數(shù)列的本質(zhì)是從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù);（2）能夠通過等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式;（3）通過公式應(yīng)用及練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生體會方程的思想方法，熟練掌握“知三求一”的問題和方法.三、教

3、學(xué)問題診斷解析 1.問題診斷（1）讓學(xué)生體會引入等差數(shù)列定義的必要性是第一個教學(xué)問題，先引出生活中的幾個實例，引起學(xué)生極大的興趣，讓學(xué)生分析,觀察特點，感受“等差數(shù)列”的問題，希望學(xué)生能通過對日常生活中實際問題的分析，建立等差數(shù)列模型，在這個過程中形成等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會求等差數(shù)列的公差及通項公式.（2）如何讓學(xué)生掌握推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式是第二個教學(xué)問題，通項公式的推導(dǎo)過程可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對公式的掌握及簡單應(yīng)用并不困難，而難點在于在推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式的過程中舉例讓學(xué)生求an，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，歸納。如何自然地生成數(shù)學(xué)歸

4、納法和累加法，是本課教學(xué)環(huán)節(jié)中的一個重點內(nèi)容.2.教學(xué)難點等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)及應(yīng)用.四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，多次設(shè)計動畫幫助學(xué)生觀察和思考，形象直觀且高效地提升了課堂的效益和效率，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實的、探索性的教學(xué)活動中去。五、教學(xué)過程設(shè)計1.概念的形成1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考【實際情境】（1）1896年，雅典舉行了第一屆現(xiàn)代奧運會，到2008年的北京奧運會已經(jīng)是第29屆奧運會。觀察奧運會舉辦的年份所對應(yīng)的數(shù)列：1896，1900，1904，2008，2012，（）你能預(yù)測出第31屆奧運會的時間嗎？學(xué)

5、生口答：2016.2016如何預(yù)測出來的？根據(jù)已有數(shù)的規(guī)律，每兩個相鄰數(shù)之間相差4，而且后一個數(shù)總比前一個數(shù)多4.【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)奧運會的數(shù)學(xué)情境，以問題為導(dǎo)向，這樣的導(dǎo)入貼近學(xué)生的實際生活，引起學(xué)生極大的興趣.用這一實例，借助于實際意義讓學(xué)生感受“等差數(shù)列”的問題是自然、清楚、明白的. 【實際情境】下面，我們再來觀察幾個生活當(dāng)中的數(shù)列.引入三個生活問題中的數(shù)列：(2)2000年女子舉重4個體重級別：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4)氣溫隨高度的變化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2

6、 ,-4.5.【設(shè)計意圖】由生活情境的多個數(shù)列引出下面的探究問題.1.2探究問題，形成概念【問題探究1】什么是等差數(shù)列？(1) 2008，2012，2016(2) 48,53,58,63.(3) 104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，(4) 28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.問題1：(1)觀察以上四個數(shù)列，它們有什么共同點？對于數(shù)列(1),從第2項起，每一項與前一項的差都等于？ 對于數(shù)列(2),從第2項起，每一項與前一項的差都等于？ 對于數(shù)列(3),從第2項起，每一項與前一項的差都等于？對于數(shù)列(4),從第2項起，每一項與前一項的差都等于？追問

7、1：(2)你能歸納出等差數(shù)列的定義嗎？【預(yù)設(shè)的答案】4，5，4.25，-6.5學(xué)生：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù).【設(shè)計意圖】讓學(xué)生計算，觀察比較，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出等差數(shù)列的定義.【概念形成】我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字等差數(shù)列.a1,a 等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.追問2：你能說出上面三個數(shù)列的公差是多少嗎？學(xué)生口答：分別為4，5，4.25，-6.5追問3：怎么算出來的？學(xué)生口答：用相鄰兩項的后項減去前項.為了今后表示方便，我們將等差數(shù)列的定義用

8、數(shù)學(xué)符號記作：an-an-1an+1-a活動：尋找身邊的等差數(shù)列,讓學(xué)生回答、討論.【設(shè)計意圖】通過活動，鞏固等差數(shù)列的概念，讓學(xué)生體驗從抽象再到具體的思想.概念辨析:1.判斷以下數(shù)列是等差數(shù)列嗎？(1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)-3，-2，-1，1，2，3 .追問1：根據(jù)這個題目來看，怎樣判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列呢?學(xué)生回答：判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷：看an-a追問2：請你繼續(xù)觀察練習(xí)1中的四個等差數(shù)列，你能否總結(jié)出：每個數(shù)列中，公差d的正負(fù)與數(shù)的增減情況有什么關(guān)系？總結(jié)：由等差數(shù)列的定義式可知:當(dāng)d0時，an

9、an-1，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)當(dāng)d=0時，【概念形成】觀察下面的兩個數(shù)列：(1) 2008，2012，2016(2) 6，4，2特點：由三個數(shù)構(gòu)成，由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列，A稱為a與b的等差中項，試一試：在橫線填入一個數(shù)，讓數(shù)列成為一個等差數(shù)列(1)2， ，4； (2)-8， ，0； (3)a， ，b【設(shè)計意圖】讓學(xué)生計算，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出等差中項的公式: 【問題探究2】如何求等差數(shù)列的通項公式？問題2：如何求an？-4，-1, 2, 5, 8， a1由學(xué)生觀察、歸納得到a我們將這個問題抽象出來：如果已知一個等差數(shù)列，公差是d，你能猜測出an【預(yù)設(shè)的答案】學(xué)生猜測 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生觀

10、察，歸納猜想得出等差數(shù)列的通項公式.追問1：如果已知一個等差數(shù)列的首項是a1，公差是d，那么這個數(shù)列的通項an分析1：根據(jù)等差數(shù)列的定義：a所以 a2 a3 這樣得到的： an=注：需要特別強(qiáng)調(diào)的是，由猜想歸納得出這個通項公式的方法稱作不完全歸納法，這種方法僅僅是猜想出來的結(jié)論，沒有說服力，嚴(yán)格的證明需要數(shù)學(xué)歸納法，將在以后學(xué)習(xí).下面我們引入第二種方法來證明這個通項公式：分析2: 根據(jù)等差數(shù)列的定義：a a追問2：將上面n-1個等式左右兩邊分別相加,左右分別是什么樣？ 由此得到： an這種求通項公式的方法叫累加法,是探討數(shù)列通項的一種常見方法.后續(xù)的學(xué)習(xí)還會繼續(xù)研究.我們在這里的要求是:需要你

11、記住這個公式，它是解決等差數(shù)列通項公式的主要方法.說明：通項公式中，有四個量:首項a1，公差d，序號n和第n項an，知道其中的任意三個量，就可以求出另一個量，即知三求一.2.初步應(yīng)用，理解概念例1.(1)求等差數(shù)列8，5，2，的第20項分析：已知什么？要求什么？已知首項a1，d，n,要求a解： =-3n+11 說明：這道題是在等差數(shù)列通項公式的四個量中，知道a1，d, n,求an.體現(xiàn)了等差數(shù)列通項公式中“知三求一”的方程思想.例1. (2)判斷-401是不是等差數(shù)列5,-9 ,-13的項?如果是，是第幾項，如果不是，說明理由.分析:本題是第（1）題的逆向問題，已知什么？要求什么？知道a1，d

12、, an, 求抽學(xué)生回答解題思路.解： =-4n 解得：n=100，即【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會并總結(jié)：判斷一個數(shù)是否為數(shù)列的項，只須令通項公式等于這個數(shù)，得到關(guān)于n的方程。若方程有正整數(shù)解，則它就是，否則不是。根據(jù)剛才學(xué)到的辦法，請你完成下面的練習(xí)：（學(xué)生完成后，抽學(xué)生說出解答過程，核對結(jié)果）練習(xí)：1. 求等差數(shù)列3，7，11，的第4，7，10項；2. -20是不是等差數(shù)列 0， -27 ，-7，【預(yù)設(shè)的答案】1. 15,27,39 2.不是【設(shè)計意圖】通過一些具體的數(shù)列計算，鞏固、加深對概念的理解.例2.在等差數(shù)列an中，已知a5=10，a12解：由等差數(shù)列的通項公式得a解得：a 【設(shè)計意圖】進(jìn)一步靈活應(yīng)用、鞏固等差數(shù)列的通項公式，體會聯(lián)立方程組求解的思想，由此可以讓學(xué)生看到：已知等差數(shù)列的兩項就可以確定這個數(shù)列.例3.孫子算經(jīng)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今五等諸侯，共分橘六十，人別加三顆，五人各幾