(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點復(fù)習(xí)講義第49講《直線與橢圓的位置關(guān)系》（講）（解析版）

1、第49講 直線與橢圓的位置關(guān)系（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmineq f(2b2,a).2AB為橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則(1)弦長leq r(1k2)|x1x2| eq r(1f(1,k2)|y1y2|；(2)直線AB的斜率kABeq f(b2x0,a2y0).題型歸納題型1 直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】（2020春孝感期中）直線ykx+k與焦點在y軸上的橢圓+1總有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是 【分析】求出直線恒過的

2、定點，利用直線ykx+k與焦點在y軸上的橢圓+1總有兩個公共點，列出不等式組求解即可【解答】解：直線ykx+k恒過（1，0），直線ykx+k與焦點在y軸上的橢圓+1總有兩個公共點，可得：解得m（1，4）故答案為：（1，4）【例1-2】（2019秋大興區(qū)期中）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點（1，）（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)m取何值時，直線yx+m與橢圓C：有兩個公共點；只有一個公共點；沒有公共點？【分析】（1）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用交點坐標(biāo)和橢圓C經(jīng)過點（1，），列出方程組，即可解出a，b的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立橢圓方程與直

3、線yx+m，利用的值即可求出直線yx+m與橢圓C：有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點時m的值【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+1，（ab0），由題意可得：，解得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1；（2）聯(lián)立，消去y得：7x2+8mx+4m2120，則64m247（4m212）33648m2，當(dāng)0，即時，方程有兩個不同的實數(shù)根，直線yx+m與橢圓C有兩個公共點，當(dāng)0，即m時，方程有兩個相等的實數(shù)根，直線yx+m與橢圓C只有一個公共點，當(dāng)0，即m或m時，方程無實數(shù)根，直線yx+m與橢圓C沒有公共點【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y2x+m，橢圓C：+1，試問：當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C，（1）有

4、兩個不重合的公共點；（2）有且只有一個公共點；（3）沒有公共點？【分析】直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式判斷方程實數(shù)根的個數(shù)即可【解答】解：由，消去y化為：9x2+8mx+2m240，計算64m236（2m24）12m2+144，令0，得m212，解得m2；（1）當(dāng)2m2時，0，方程有兩個不等實根，直線與橢圓有2個不重合的公共點；（2）當(dāng)m2或m2時，0，方程有兩個相等實根，直線與橢圓只有1個公共點；（3）當(dāng)m2或m2時，0，方程有無實根，直線與橢圓沒有公共點【名師指導(dǎo)】判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓

5、方程組成的方程組解的個數(shù)(2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點題型2 弦長問題【例2-1】（2019秋北碚區(qū)期末）已知橢圓C的焦點為F1（）和F2（），長軸長為6，設(shè)直線yx+2交橢圓C于A、B兩點求：（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）弦AB的中點坐標(biāo)及弦長【分析】（1）由橢圓C的焦點為F1（）和 F2（），長軸長為6，能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點為M（x0，y0），由，得10 x2+36x+270，故，由此能求出弦AB的中點坐標(biāo)及弦長【解答】解：（1）橢圓C的焦點為F1（）和 F2（），長軸長為6，橢圓的焦

6、點在x軸上，c2，a3，b1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點為M（x0，y0）由，消去y，得10 x2+36x+270，弦AB的中點坐標(biāo)為（，），【例2-2】（2019秋路南區(qū)校級期中）已知橢圓C：的離心率為，短軸長為4（1）求橢圓方程；（2）過P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；（2）設(shè)以點P（2，1）為中點的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法求出k，然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A，B，再求出|AB|【解答】解：（1）由橢圓C：的離心率為，2

7、b4得b2，設(shè)a2k，bk2，所以a4，所以橢圓方程為（2）設(shè)以點p（2，1）為中點的弦與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x24，則y1+y22，分別代入橢圓的方程得，兩式相減可得（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）0，4（x1x2）+8（y1y2）0，所以k，點P（2，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y40，由，得y（y2）0，所以y0，x4；y2，x0，所以|AB|【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020沙坪壩區(qū)校級模擬）橢圓1，過原點O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）ABCD【分析】設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，n），則D（m，n），

8、由弦長公式可知|CD|4，由兩點間距離公式可知|CD|4，從而解得|m|1，|n|，代入橢圓方程求出b2的值即可得解【解答】解：設(shè)點C的坐標(biāo)為（m，n），則D（m，n），由弦長公式可知，|CD|4，|m|1，由兩點間距離公式可知，|CD|4|n|，代入橢圓方程有，橢圓的方程為故選：D【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019海安縣校級模擬）已知橢圓1的離心率為，以橢圓的2個焦點與1個短軸端點為頂點的三角形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點F，且與橢圓交與A，B兩點，以線段AB為直徑的圓截直線x1所得的弦的長度為，求直線l的方程【分析】（1）由題意可得：，2cb2，a2b2

9、+c2聯(lián)立解得：a2，b2，c可得橢圓的方程（2）設(shè)直線l方程為：yk（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為：M（x0，y0）與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k2）x212k2x+12k260，|AB|x1x2|可得x0，點M到直線x1的距離為d|x01|以線段AB為直徑的圓截直線x1所得的弦的長度為，得d2，代入解出即可得出【解答】解：（1）由題意可得：，2cb2，a2b2+c2聯(lián)立解得：a26，b22，c2橢圓的方程為：+1（2）設(shè)直線l方程為：yk（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為：M（x0，y0）聯(lián)立，得（1+3k2）x212k2x+12k260，

10、x1+x2，x1x2，|AB|x1x2|x0，點M到直線x1的距離為d|x01|1|以線段AB為直徑的圓截直線x1所得的弦的長度為，得d2，解得k1直線l的方程為：y（x2）【名師指導(dǎo)】1弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：|AB|eq r(1k2)|x1x2|；|AB| eq r(1f(1,k2)|y1y2|(k0)；|AB| eq r(1k2x1x224x1x2)；|AB| eq r(blc(rc)(avs4alco1(

11、1f(1,k2)y1y224y1y2).2弦長公式的運(yùn)用技巧弦長公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計算量的大小我們的經(jīng)驗是：若直線經(jīng)過的定點在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程ykxb便于運(yùn)算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過的定點在橫軸上，一般設(shè)為myxa可以減小運(yùn)算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”題型3 中點弦問題【例3-1】（2019秋海淀區(qū)校級月考）已知：橢圓+1，求：（1）以P（2，1）為中點的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程【分析】（1）設(shè)弦的端點A（x1，y1），B（x2，

12、y2），可得：+1，+1，相減化簡再利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出（2）設(shè)直線方程為：y2x+m，弦的端點A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x，y）與橢圓方程聯(lián)立化為：17x2+16mx+4m2160，由0，化為：m268再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式即可得出【解答】解：（1）設(shè)弦的端點A（x1，y1），B（x2，y2），可得：+1，+1，相減可得：+0，把2，1，k代入可得：k以P（2，1）為中點的弦所在直線的方程為：y+1（x2），化為：x2y40（2）設(shè)直線方程為：y2x+m，弦的端點A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x，y）聯(lián)立，化為：17x2+16mx

13、+4m2160，256m268（4m216）0，化為：m268x1+x22x，化為：xy2+myx【例3-2】（2019懷化模擬）已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F恰為圓F：的圓心，直線l：y3x2截C所得弦AB的中點的橫坐標(biāo)為，則C的短軸長為10【分析】橢圓被直線l：y3x2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，可得中點M（ ，）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（ab0）設(shè)直線l與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法及其a2b250，聯(lián)立解得a2，b2【解答】解：橢圓C的一個焦點F恰為圓F：的圓心，所以c5，橢圓被直線l：y3x2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，可得中點的縱坐標(biāo)：，所以中點M（ ，）設(shè)橢圓

14、標(biāo)準(zhǔn)方程為：（ab0）設(shè)直線l與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）則，相減可得：，又y1+y21，x1+x21，3，又a2b250，聯(lián)立解得a275，b225則C的短軸長為：10故答案為：10【例3-3】（2019深圳二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，點A，B分別為橢圓C的右頂點和下頂點，且點F1關(guān)于直線AB的對稱點為M若MF2F1F2，則橢圓C的離心率為（）ABCD【分析】畫出圖形，利用已知條件求出A的坐標(biāo)，然后求解MF1的中點，代入直線方程，即可求解橢圓的離心率【解答】解：F1、F2分別是橢圓C：的左、右焦點，點A，B分別為橢圓C的右頂點和下頂點，點F1關(guān)于直線AB：bx

15、ayab的對稱點M，且MF2F1F2，可得MF2的方程為xc，MF1的方程y，可得M（c，），MF1的中點為（0，），代入直線bx+ayab，可得：acb2a2c2，e1，可得e2+e10，解得e故選：C【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020香坊區(qū)校級三模）已知斜率為k1（k10）的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點）的斜率為k2，則k1k2（）AB4CD2【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），因為AB中點為C，推出x1+x22x0，y1+y22y0，再把x12+1，x22+1，兩式相減得（x1+x2）（x1x2）+0，把代入得1+k1k20

16、，推出k1k24【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），則x1+x22x0，y1+y22y0，因為A，B兩點在橢圓x2+1上，所以x12+1，x22+1，兩式相減得（x1+x2）（x1x2）+0，把代入得，1+1+k1k20，故k1k24故選：B【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋寧陽縣校級期中）已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為F（1，0），點在橢圓上，（）求橢圓C的方程（）斜率為k的直線l過點F且不與坐標(biāo)軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍【分析】（）設(shè)橢圓方程為，由橢圓可得，解出

17、即可得出（）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），直線AB的方程為yk（x1）（k0），代入橢圓方程可得（3k2+2）x26k2x+3（k22）0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)，可得AB的垂直平分線NG的方程為，進(jìn)而得出解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），把點A，B的坐標(biāo)分別代入橢圓方程相減可得：，利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式可得斜率k，又，可得，又（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，可得0 x01，利用AB的垂直平分線為，即可得出【解答】解：（）設(shè)橢圓方程為，則由（2）得6a2+3b24a2b2（3）由（1）得b

18、2a21代入（3）得6a2+3（a21）4a2（a21），即4a413a2+30，即（4a21）（a23）0a23，或a21，a23，得，b22，橢圓方程為（）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），直線AB的方程為yk（x1）（k0），代入，整理得（3k2+2）x26k2x+3（k22）0，直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根，則，AB的垂直平分線NG的方程為，y0時，k0，3（3k2+2）6，解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點N（x0，y0），由，（1）（2）得，斜率，又，得0 x01，（x0，y0）在橢圓內(nèi)，即，將代入得，解得x

19、030 x01，則AB的垂直平分線為，y0時，【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020婁底模擬）已知橢圓E：+1（ab0）的左焦點為F，A、B兩點是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的點，若ABF能構(gòu)成一個內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e（）ABC1D2【分析】取右焦點F，連接BF，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得到答案【解答】解：如圖，設(shè)橢圓E的右焦點為F，連接BF，則四邊形FABF為等腰梯形，其中，在焦點三角形FFB中，即橢圓E的離心率為故選：C【名師指導(dǎo)】1.處理中點弦問題常用的求解方法(1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，eq f(y1y2,x1x2)三

20、個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式可求得斜率(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解2.求解橢圓上對稱問題的常用方法（1）將對稱兩點所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由0建立不等關(guān)系，再由對稱兩點的中點在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍（2）用參數(shù)表示中點坐標(biāo)，利用中點在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍題型4 橢圓與向量的綜合問題【例4-1】（2020春山西期中）設(shè)點M和N分別是橢圓C：1（a0）上不同的兩點，線段MN最長為4（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點Q（

21、0，2），且0，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍【分析】（1）當(dāng)線段MN為長軸時，其長度最長，所以42a，a2，于是可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為ykx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+16kx+120，由0解得，寫出韋達(dá)定理，并求得y1y2，因為，所以x1x2+y1y20，又解得k24，故然后設(shè)直線OP的斜率為k，利用點差法可得，由即可求出直線OP斜率的取值范圍【解答】解：（1）因為線段MN最長為4，所以42a，即a2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意知，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為ykx+2，聯(lián)立，整理得（1+4

22、k2）x2+16kx+120，由（16k）24（1+4k2）1216（4k23）0，可得設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，所以y1y2（kx1+2）（kx2+2）因為，所以，即k24，故設(shè)直線OP的斜率為k，因為，兩式相減得，所以，則，故直線OP的斜率的取值范圍是【例4-2】（2019秋洛陽期末）已知P（2，0）為橢圓C：1（ab0）的右頂點，點M在橢圓C的長軸上，過點M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)點M與坐標(biāo)原點O重合時，直線PA，PB的斜率之積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若2，求OAB面積的最大值【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），可得kPAkPB又+1，代入上式可得：，a2，解得b，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)直線AB的方程為：xty+m（t0），（2m2）A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+t2）y2+2mty+m240，有2，可得y12y2，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：m2OAB的面積S|m（y1y2）|my2|，即可得出【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），則kPAkPB又+1，代入上式可得：，又a2，解得b1橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+y21（2）