新課程《3.1-函數(shù)的概念及其表示》教學(xué)設(shè)計(2課時)

1、.1.1 函數(shù)的概念1.通過豐富的買例進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型;2.用集合與對應(yīng)的思想理解函數(shù)的概念;3.理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的深刻含義;4.會求函數(shù)的定義域。1.教學(xué)重點：函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素；2.教學(xué)難點：函數(shù)的概念及符號的理解。函數(shù)的概念：設(shè)A、B是 的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的 ，在集合B中都有 的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作：y=f(x) xAx叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 ；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| xA 叫做函數(shù)的 .二、

2、區(qū)間定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間a,b開區(qū)間(a,b)半開半閉區(qū)間a,b)半開半閉區(qū)間(a,b三、函數(shù)的三要素： 、 、 。四、判斷函數(shù)相等的方法： 、 。復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1. 初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的定義是什么？2.回顧初中學(xué)過哪些函數(shù)？二、探索新知探究一 函數(shù)的概念問題1. 某“復(fù)興號”高速列車到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關(guān)系可以表示為 S=350t。1.思考：根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進(jìn)了350km，這個說法正確嗎？問題2 某電氣維修告訴要求工人每周工作至少1天，至多不超過6

3、天。如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？2.思考：在問題1和問題2中的函數(shù)有相同的對應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？問題3 如圖，是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖。如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？問題4 國際上常用恩格爾系數(shù) 反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。上表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從表中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高。你認(rèn)為該表給出的對應(yīng)關(guān)

4、系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？ 3.思考：上述問題1問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？4.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是 的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的 一個數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作：y=f(x) xAx叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 ；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| xA 叫做函數(shù)的 .5.對函數(shù)符號y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)為“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，僅是一個函數(shù)符號， f(x)不是f與x相乘。例如：y=3x

5、+1可以寫成f(x)= 3x+1。當(dāng)x=2時y=7可以寫成f(2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)與f(x)有什么區(qū)別？6、思考：函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請你說出上述四個問題的值域？牛刀小試1.對于函數(shù)y=f (x)，以下說法正確的有( )y是x的函數(shù) 對于不同的x,y的值也不同 f(a)表示當(dāng)x=a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量 f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來A.1個 B.2個 C.3個 D.4個練習(xí)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域：函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比函數(shù)a0a0對應(yīng)關(guān)系Z| yX|X|K 定義域科 ZRR&X&X&K 值域 例1. 函數(shù)的解析式是

6、舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫同一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律。例如，正比例函數(shù)可以用來刻畫勻速運動中的路程與時間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長與半徑的關(guān)系等。 試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來描述。探究二 區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且ab,我們規(guī)定：滿足不等式axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a，b滿足不等式axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)滿足不等式axb或aa；（2）.區(qū)間只能表示數(shù)集；（3）.區(qū)間不能表示單元素集；（4）.區(qū)間不能表示不連續(xù)的數(shù)集；（5）.區(qū)間

7、的左端點必須小于右端點；（6）.區(qū)間都可以用數(shù)軸表示；（7）.以“”或“”為區(qū)間的一端時，這一端必須是小括號.牛刀小試試用區(qū)間表示下列實數(shù)集合 （1） x|5 x6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x0時，求f(a),f(a-1)的值.探究三 函數(shù)相等1.思考：一個函數(shù)由哪幾個部分組成？如果給定函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)的值域確定嗎？兩個函數(shù)相等的條件是什么？ 例3.下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等1下列圖象中表示函數(shù)圖象的是()下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相等的是（ ）3函數(shù)yx22x的定義域為0,1,2,3，那么其值域為() A1,0,3 B0,1,2,3Cy|1y3

8、Dy|0y34函數(shù)f(x)eq r(x4)eq f(1,x5)的定義域是_5已知函數(shù)f(x)xeq f(1,x)，(1)求f(x)的定義域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)當(dāng)a1時，求f(a1)的值這節(jié)課你的收獲是什么？ 參考答案：一、1.設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù).其中x叫自變量，y叫因變量.2.（1）一次函數(shù) （2）正比例函數(shù) （3）反比例函數(shù) （4）二次函數(shù)二、探究一 1.不正確。對應(yīng)關(guān)系應(yīng)為S=350t，其中 問題2 是函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系為w=350d,其中。2.不是。自變量的取值范圍不一樣。問題3 是，t的

9、變化范圍是，I的范圍是。問題4 y的取值范圍是， 恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)。3.共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個對應(yīng)關(guān)系；（3）盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)。5.想一想：一般地，f(a)表示當(dāng)x=a時的函數(shù)值，是一個常量。f(x)表示自變量x的函數(shù)，一般情況下是變量。6.函數(shù)的值域是集合B的子集。問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集。牛刀小試 B例1 解：長方形的周長為20，設(shè)一邊長為x，面積為y，那么y=x(1

10、0-x).其中，x的取值范圍是，y的取值范圍是 ，對應(yīng)關(guān)系f把每一個長方形的邊長x，對應(yīng)到唯一確定的面積x(10-x).牛刀小試 （1）5,6) （2） 例2 解：（1）有意義的實數(shù)x的集合是x|x-3，有意義的實數(shù)x的集合是x|x-2，所以，這個函數(shù)的定義域就是 .(2) 因為a0,所以有意義。 ， 探究三 1.定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域；函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定；定義域相同，對應(yīng)關(guān)系完全一致.例3.解：這個函數(shù)與對應(yīng)關(guān)系一樣，定義域不同，所以和函數(shù)y=x不相等。，這個函數(shù)與對應(yīng)關(guān)系一樣，定義域相同，所以和函數(shù)y=x相等。，這個函數(shù)和定義域相同，但是當(dāng)x0,x，x0，)對應(yīng)關(guān)系不

11、同；yeq r(3,x3)x，且定義域為R.故選D.【答案】D3.【解析】當(dāng)x0時，y0；當(dāng)x1時，y121；當(dāng)x2時，y4220；當(dāng)x3時，y9233，函數(shù)yx22x的值域為1,0,3【答案】A4.【解析】函數(shù)f(x)eq r(x4)eq f(1,x5)，eq blcrc (avs4alco1(x40,x50，)解得x4，且x5，函數(shù)f(x)的定義域是4,5)(5，)【答案】4,5)(5，)5【解】(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x0，f(x)的定義域是(，0)(0，)(2)f(1)1eq f(1,1)2，f(2)2eq f(1,2)eq f(5,2).(3)當(dāng)a1時，a10，f(a1)

12、a1eq f(1,a1).3.1.2 函數(shù)的表示法1.在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕鍪椒āD象法、列表法）表示函數(shù)；2.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應(yīng)用；1.教學(xué)重點：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念；2.教學(xué)難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，分段函數(shù)的表示及其圖象。一、函數(shù)的三種表示方法是： 、 、 。 解析式法： ，列表法： ；圖象法： 。一、探索新知例1 某種筆記本的單價是5元,買x(x1,2,3,4,5)個筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).思考1：比較三種表示法，它們各自的特點是什么？思考2：所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？例2.

13、畫出函數(shù)y=|x| 的圖象.分段函數(shù)的定義：我們把，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。例3.給定函數(shù)（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 的圖象；（2） 用M(x)表示中的較大者，記為， 試分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).例4: 下表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表. 對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析.例5 依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)，個人取得的所得應(yīng)按照中華人民共和國個人所得稅法向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）。2019年1月1日起，個稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計算公式為個稅稅額=應(yīng)納稅所得額稅率速算扣除數(shù) 。 應(yīng)納稅所得額

14、的計算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額基本減除費用專項扣除專項附加扣除依法確定的其他扣除 。其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60000元。稅率與速算扣除數(shù)見下表。設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為t,應(yīng)繳納個稅稅額為y，求 ，并畫出圖象。 （2）小王全年綜合所得收入額為189600元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險、失業(yè)保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1%，9%，專項附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個稅？1下列表示函數(shù)yf(x)，則f(11)()x0 x55x1010 x1515x20y2345A2 B3

15、C4 D52.設(shè)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x0,1，x0，)使函數(shù)值為5的x的值是() A2 B2或eq f(5,2)C2或2 D2或2或eq f(5,2)5已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x4，x0,x22x，04.)(1)求fff(5)的值；(2)畫出函數(shù)的圖象這節(jié)課你的收獲是什么？ 參考答案：例1 ：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集1,2,3,4,5.用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為y=5x,x1,2,3,4,5。用列表法可將y=f(x)表示為筆記本數(shù)x 1 2 3 4 5錢數(shù)y 510152025用圖象法可將y=f(x)表示為思考1. 解析法

16、：函數(shù)關(guān)系清楚、精確；容易從自變量的值求出其對應(yīng)的函數(shù)值；便于研究函數(shù)的性質(zhì).解析法是中學(xué)研究函數(shù)的主要表達(dá)方法.圖象法：能形象直觀的表示出函數(shù)的變化趨勢，是今后利用數(shù)形結(jié)合思想解題的基礎(chǔ).列表法：不必通過計算就知道當(dāng)自變量取某些值時函數(shù)的對應(yīng)值，當(dāng)自變量的值的個數(shù)較少時使用.列表法在實際生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用。思考2 不是所有的函數(shù)都能用解析法表示.例如,某天24整點的整點數(shù)與這一刻的氣溫的關(guān)系.例2 解: 由絕對值的概念,我們有。所以，函數(shù)y=|x| 的圖象如圖所示。例3.解：（1） 在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，如圖。解：由（1）中函數(shù)圖象中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，

17、可得函數(shù)M(x)的圖象，如圖結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)M(x)的解析式為例4 解：從表中可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但是不容易看出每位同學(xué)的成績的變化情況.可以將“成績”與“測試序號”之間的關(guān)系用函數(shù)圖像表示出來，如圖1，那么就能比較直觀地看到成績變化的情況. 為了更容易的看出學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，將離散的點用虛線連接，如圖2。 在圖2中看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且比較優(yōu)秀.張誠同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且幅度較大.趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)成績低于平均水平，但是他的成績呈曲線上升的趨勢，從而表明他的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高.例5 解：（1） 根據(jù)上表，可得函數(shù)的解析式為函數(shù)圖象如圖所示（2）根據(jù)公式，小王全年應(yīng)繳納所得額為t=18960060000189600(8%+2%+1%+9%)528004560=