高考數(shù)學總復(fù)習測評課件52

1、第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)基礎(chǔ)梳理1. 直線與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理如果 一條直線和這個 的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(2)性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面 ,那么這條直線就和 平行.平面外平面內(nèi)相交交線2. 平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條 都平行于另一個平面,那么這兩個平面 .(2)性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么所得的兩條交線 .3. 兩個平行平面間的距離兩個平行平面的 的長度叫做兩個平行平面間的距離.相交直線平行平行公垂線段典例分析【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,

2、E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.題型一 線線平行分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可.證明 如圖,連接BD.EH是ABD的中位線,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位線,FGBD,FG= BD,FGEH,且FG=EH,四邊形EFGH是平行四邊形.學后反思 證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑,一是證兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.舉一反三1. 已知E、 分別是正方體 的棱AD、 的中點.求證:BEC= 證明: 如圖,連接 . ,E分別為 ,AD的中點, AE.四邊形 為平

3、行四邊形, .又 , ,四邊形 是平行四邊形. EB.同理 EC.又 與CEB方向相同, =CEB.【例2】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面對角線AB1,BC1上分別有兩點E,F,且B1E=C1F.求證:EF平面ABCD.題型二線面平行分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.證明 方法一:過E作EMAB于M,過F作FNBC于N,連接MN(如圖),則EMBB1,FNBB1,EMFN.AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF, .又BB1=CC1,EM=

4、FN,四邊形EMNF是平行四邊形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.方法二: 連接B1F,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖).BPB1C1,B1FC1PFB, .AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF, ,EFAP.又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:過點E作EHBB1于點H,連接FH(如圖),則EHAB, .又AB1=BC1,B1E=C1F, FHB1C1.B1C1BC,FHBC.EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.學后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(

5、無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).舉一反三2. 如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點.求證:PA面EDB.證明:如圖，連接AC交BD于O,連接EO.四邊形ABCD為正方形,O為AC的中點.E為PC的中點,EO為PAC的中位線,故EOPA.又EO 面EDB，且PA 面EDB,PA面EDB.題型三 面面平行【例3】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,其棱長為1.求證:平面AB1C平面A1C1D.分析 要證明面AB1C面A1C1D,根據(jù)面面平行的判定定理或推

6、論，只要證明AC面A1C1D，AB1面A1C1D,且ACAB1=A,即可.證明 方法一: AA1BB1 AA1=BB1 AA1 CC1 BB1CC1 BB1=CC1 四邊形AA1C1C為平行四邊形 ACA1C1 A1C1平面A1C1D AC平面A1C1D方法二:易知AA1和CC1確定一個平面AC1,于是,平面AC1平面A1C1=A1C1平面AC1平面AC=AC平面A1C1平面AC A1C1AC A1C1平面AB1C AC平面AB1C AC平面A1C1D 同理,AB1平面A1C1D 平面AB1C平面A1C1D. ACAB1=AA1C1平面AB1C 同理,A1D平面AB1C 平面AB1C平面A1C

7、1D. A1C1A1D=A1學后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點.求證:平面AMN平面EFDB.舉一反三證明: 如圖，連接MF.M、F

8、分別是A1B1,C1D1的中點,且四邊形A1B1C1D1為正方形,MFA1D1.又A1D1 AD,MFAD,四邊形ADFM為平行四邊形,AMDF.又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面EFDB.同理可證,AN平面EFDB.AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.題型四 平行的探究問題【例4】長方體ABCD-ABCD，點PBB（不與B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.分析 要證明MN平面AC,只要證明MN平行于面AC內(nèi)的一條直線即可，而這條直線應(yīng)與MN共面.由于AC與MN共面,只要證明ACMN即可.解 如圖，連接AC,AC,ABCDABCD為

9、長方體，ACAC.AC平面ACB,AC平面ACB,AC平面ACB.又平面PAC過AC與平面ACB交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.學后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵.4. 如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PA底面ABCD,側(cè)面PBC內(nèi)有BEPC于E,且 ,試在AB上找一點F,使EF平面PAD.舉一反三解析： 如圖，在面PCD內(nèi)作EGPD于G,連接AG.PA平面ABCD,CDAD,CD面PAD,CDPD,CDEG.又ABCD,EGAB.若有EF平面

10、PAD,則EFAG,四邊形AFEG為平行四邊形,即EG=AF. ,且易知PBC為直角三角形,BC2=CECPCP= ,故AFFB=21時,EF平面PAD.題型五 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例5】(14分)如圖，正三棱柱 的底面邊長為2,點E、F分別是棱 、 上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.（1）當點M在何位置時，MB平面AEF;(2)若MB平面AEF，判斷MB與EF的位置關(guān)系，說明理由，并求MB與EF所成角的余弦值.分析 對于第（1）問，可采用分析法得到，即假設(shè)MB平面AEF，則平面MBF與AEF的交線與MB平行，由平面幾何的知識不難探求M應(yīng)為AC的中點;第（2）問MB與EF異面可

11、由判定定理推證，求夾角用平移法.解 (1)如圖，當M是線段AC中點時，MB平面AEF.取AE中點N，連接NF,MN，則MN CE BF,即MN BF,.2MNFB是平行四邊形，MB NF.4又NF 平面AEF，MB 平面AEF，MB平面AEF.6(2)MB與EF是兩條異面直線.EF 平面 ,B平面 ,B EF,M 平面 ，MB與EF是異面直線.8由（1）知MBNF,EFN就是異面直線MB與EF所成的角10由平面ABC平面 ，BMAC,知MB平面 ，又NFMB,FN平面 FNAE，而N是AE的中點,EF=AF= ，NF=BM= ，.12在RtEFN中,cosEFN= .即所求角的余弦值為 .14

12、5. 如圖所示,在四面體ABCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD.試問:截面在什么位置時,截面的面積最大?舉一反三解析： AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,ABFG,ABEH,FGEH.同理可證,EFGH.截面EFGH是平行四邊形.設(shè)AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均為定值,其中為異面直線AB與CD所成的角),又設(shè)FG=x,GH=y.由平面幾何知識,得 .兩式相加,得 ,即y= (a-x).S EFGH=FGGHsin =x (a-x)sin = x(a-x).x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值),當且僅當x=a-x,即x= 時,(SE

13、FGH)max= .故當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時,截面面積最大.易錯警示【例】如圖所示,已知E,F分別是正方體 棱 , 上的點，且AE= .求證:四邊形 是平行四邊形.錯解 在正方體 中,平面 平面 由兩平行平面與第三平面相交，得交線平行,故 FB.同理可證, EB.故四邊形 為平行四邊形.錯解分析 錯解主要錯在盲目地在立體幾何證明中套用平面幾何定理.立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能直接使用平面幾何知識解題.正確的思路應(yīng)分為兩步,第一步將立體幾何問題化歸為平面幾何問題,即先證明四邊形 為平面四邊形(四點共面),第二步再證四邊形 為平行四邊

14、形,或者用平行四邊形的充要條件證明.正解 方法一:如圖,在平面 中,作EGAD交 于G點,連接GC,易證EG AD BC,四邊形GEBC為平行四邊形,EB GC.又由AE= ,得 FC,四邊形 為平行四邊形, GC.于是EB ,四邊形 為平行四邊形.方法二:在平面 中,過A作AH 交 于H,連接HF,易得四邊形 為平行四邊形.于是 AE 四邊形 為平行四邊形, HF.又 AB,HF AB,四邊形HABF為平行四邊形,AH BF.又AH ,BF 四邊形 為平行四邊形.考點演練10. 如圖，正方體 的棱長為1 cm，過AC作平行于對角線 的截面，求截面面積.解析：如圖，設(shè)過AC的平面交 于E點，連接BD交AC于點F. 平面AEC， 平面 ，平面 平面AEC=EF，EF AB=1,AC= ,EF= BD1= , 11. 在空間四邊形ABCD中，P、Q、R分別為AB、AD、CD的中點，平面PQR交BC于S.求證：四邊形PQRS為平行四邊形.證明: 如圖，P、Q為