專題函數(shù)常見題型歸納(教師版)

1、頁(yè)腳頁(yè)腳.專題函數(shù)常見題型歸納本專題熱點(diǎn)考點(diǎn)可總結(jié)為六類：一是分段函數(shù)的求值問(wèn)題，二是函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，三是基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)，四是函數(shù)圖像的應(yīng)用，五是方程根的問(wèn)題，六是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。考點(diǎn)一分段函數(shù)求值問(wèn)題2x，x0,【例1】已知函數(shù)f(x)=一c若f(a)+f(1)=0,則實(shí)數(shù)a的值等于()x十1,xWO.【解析】由已知，得f(1)=2;又當(dāng)x0時(shí)，f(x)=2x1，而f(a)+f(1)=O,.f(a)=2,且a0,【例2】設(shè)f(x)=一則f(f(2)=.10 x,xWO,flgx,x0,【解析】f(x)=i.20,l10 x,xWO,af(10-2)=lg102=2.【解題技巧點(diǎn)睛】

2、求f(g(x)類型的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)遵循先后外的原則，而對(duì)于分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解，特別地對(duì)具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性.考點(diǎn)二函數(shù)性質(zhì)的基本應(yīng)用【例3】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+x)單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=X3B.y=|x|+1C.y=X2+1D.y=2ixi【答案】B【解析】A選項(xiàng)中，函數(shù)y=X3是奇函數(shù)；B選項(xiàng)中，丫=1丨+1是偶函數(shù)，且在(0,+g)上是增函數(shù)；C選項(xiàng)中，y=X2+1是偶函數(shù)，但在(0,+g)上是減函數(shù)；D選項(xiàng)中，y=2-ixi=2ixi是偶函數(shù)，但在(0,+g)上是減函數(shù).故I2丿選B.x【例4】若函數(shù)f(x)=2x+i

3、xa為奇函數(shù)，則a=()x【解析】法一：由已知得f（x）=-定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由2x十1xa于該函數(shù)定義域?yàn)閤x工一，且，知a=2,故選A.法二：f(x)是奇函數(shù)，.f(x)=f(x),又f(x)=12a一,xx,則-=-,因函數(shù)的定義域恒成立，可得2x212axa2x2十12axa1(12a)=1-2a,/.1-2a=0,a=-【例5】函數(shù)y=的圖像與函數(shù)y=2sin兀x(2xbA.abc【答案】CB.bacC.acbD.cab10【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知：a=51og23.4,b=51og2、3.6,c=5log33,再由指數(shù)函數(shù)f(x)=5x為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閘og3.6l

4、og2=12222log10log3=1，且log10log10cb33333232|a，abW1,【例7】對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“”：ab=設(shè)函數(shù)f(x)lb,ab1.=(X22)(xX2),xWR,若函數(shù)y=f(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)C的取值圍是()【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像。f(則實(shí)數(shù)C的取值圍是()【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像。f(x)xX2,X22X2)W1,X2)11sJ.-2J$x22,xxx2,X2,則f(X)的圖象如圖:Vy=f(x)c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),.*.y=f(x)與y=c的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象知c由圖象知cW2,或一

5、1c考點(diǎn)四函數(shù)圖像的應(yīng)用【例8】設(shè)函數(shù)f(x)(xWR)滿足f(x)=f(x),f(x+2)=f(x)，則y=f(x)的圖像可能是()頁(yè)腳頁(yè)腳.頁(yè)腳.頁(yè)腳.2)單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1,f(x)二(x-1)3(x2)單調(diào)遞增x且值域?yàn)?，函?shù)f(x)的圖象如圖所示，故f(x)二k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值圍是(0,1).考點(diǎn)六函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【例12】在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=ex+4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(【解析】11【解析】11=e420,所以ff2丿因?yàn)閒0,b31log3b310,且a1).當(dāng)2VaV3VbV4時(shí)，a函數(shù)f(x)的零點(diǎn)xe(n,n+1),nGN*，則n=0【解析】本題

6、考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)定理的應(yīng)用.因?yàn)?a3,所以log21=logalog3,aaa以log21=logalog3,aaaaf(2)f(3)=(log2+2b)(log3+3b)0，所以函數(shù)aa的零點(diǎn)在(2,3)上，所以n=2.【例14】函數(shù)f(x)=/xcosx在0,+)()A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出y=i：x與y=cosx的圖象如圖,由圖象可得函數(shù)f(x)=：xcosx在0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).【解題技巧點(diǎn)睛】判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問(wèn)題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出

7、進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫出圖象判斷針對(duì)性訓(xùn)練一填空題部分。1.“a-2”是“函數(shù)f(X=ax+3在區(qū)間-1,2上存在零點(diǎn)”的條件。解析：f(X=ax+3在區(qū)間-1,2上存在零點(diǎn)，則f(-)f3或a-_,：“a3或a-”的充分22不必要條件，“a-2”是“函數(shù)f(X=ax+3在區(qū)間-1,2上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.2.若log20且a豐1)，則函數(shù)f(x)=log(x+1)的圖像大致是aa解析：log20且a豐1),alog2log1,.0a0,3.設(shè)若f(x)=|x+Ja3t2dt,x.0,f(f(1)=1，則a的值是解析：

8、0f(1)=lg1=0,f(0)=0+fa3t2dt=a3=1,.a=1.04實(shí)數(shù)a=0.2石,b=log廣0.2,c=M的由小到大的關(guān)系是答案：bac解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，b=log-0.20a=0.221c=(、.：2)o.2。5函數(shù)f(x)=|x+21-2x在定義域零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|x+21與y=2x的圖像，可以看到2個(gè)函數(shù)的圖像在第二象限有2個(gè)交點(diǎn)，在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)=|x+2|-2x在定義域有3個(gè)零點(diǎn)。6.若函數(shù)f6.若函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x一m在0與上有零點(diǎn),則m的取值圍為8.已知函數(shù)f(x

9、)8.已知函數(shù)f(x)=exx-0則關(guān)于x的方程ff(x)+k=0,-2x,x0,f(f(x)=f(ex)=eex,當(dāng)x0,y=eex是增函數(shù)，x0,y=e-2x是減函數(shù)，由ff(x)1+k=0得f(f(x)=-k,方程f(f(x)=-k解的個(gè)數(shù)即y=-k與y=f(f(x)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像得當(dāng)1-ke時(shí)有2解。9設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對(duì)于任意的x都有f(1-x+f(1+x=恒成立如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組忙+23)+)。，那么”，+2的取值圍是解析：由f(1-x+f(1)0 x=得f(1-=x)-f(1+x)又f(m2一6m+23)+f(n2一8n)0，:f(m2一6m+2

10、3)-f1+(n2一8n一1)，:f(m2一6m+23)f1-(n2一8n一1)=2+8n)*.*f(x)是R上的增函數(shù)，m2-6m+23V2一n2+8n(m一3)2+-n4)23，結(jié)合圖象知m2+n2為半圓(m一3)2+(n一4)2=4(m3)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故込3，/mn+27，.:13m2+n249.10若f(x)=(x+2)(x+m)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=x解析：f(-1)=-f(1),(-1+2)(-1+m)=-(1+2)(1+m),m-1=3+3m,Am=-2.-11log(x),4x0,11.已知函數(shù)f(x)=1若方程f(x)=a有解，則實(shí)數(shù)a的取值圍2cosx,0 x兀.是_一

11、.答案：2,+8)解析：4x0,Axe(0,4,log(一x)e2,+8);0 x兀，A2cosxe2,2,若2方程f(x)=a有解，即函數(shù)的值域即為a的圍，故實(shí)數(shù)a的取值圍是2,+8).4函數(shù)y=logx+(xe2,4)的最大值為.2logx24解析：令t=logx,2x4,.llogx2,.lt0對(duì)xe(1,2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值圍是.1x2角牟析：x2kx+k10,且1x0,Ak2,Ak2.1一x設(shè)函數(shù)f(x)=xa+1(aeQ)的定義域?yàn)閎,aa,b，其中0vab若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為6,最小值為3,則f(x)在區(qū)間b,a上的最大值與最小值的和為_答案：5或9解析：

12、令a=2,f(x)=x2+1,f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為f(b)=6,最小值為f(a)=3，因f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在區(qū)間-b,-a上的最大值與最小值為6和3，和為9；令a=3,f(x)=x3+1圖象關(guān)于(0,1)點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)f(x)在區(qū)間b,a上的最大值m與最小值為n，貝有m+6=1,n+3=1,am=4,n=1,故m+n=5.22綜上m+n=-5或9解析：由函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)*2+2cos2x-m=1+sin2x+cos2x+1-m=V2sin(2x+=)+2-m得在0,上上的最大值是J2+2-m，最小值是1-m42所以卩Oh=邁+2一m0，解得1m2+邁f(x)=1-m0min7已知f(x)是奇函數(shù)，且f(2-