《統(tǒng)計學(xué)》第三章-統(tǒng)計分布的數(shù)值特征解讀課件

1、第三章 統(tǒng)計分布的數(shù)值特征第一節(jié) 分布的平均水平、集中趨勢和位置的度量第二節(jié) 分布的離散趨勢第三節(jié) 分布的偏度和峰度第一節(jié) 分布的平均水平、集中趨勢和位置的度量一、統(tǒng)計平均數(shù)的含義與作用1.統(tǒng)計平均數(shù)average：表示現(xiàn)象總體各單位某一標(biāo)志值在一定時間、地點條件下所達到的一般水平。2.作用： 1）反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平。 2）比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平 3）比較同類現(xiàn)象在不同時期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律。 4）分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。3.分類：按其具體代表的含義和計算方式的不同，分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。 1）數(shù)值平均數(shù)： A）定義 B）特點 C）種類 按計算方法不同

2、，分為：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和冪平均數(shù)。2）位置平均數(shù)： A）定義：用處于數(shù)列中特殊位置上的個別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值。 B）特點：對數(shù)據(jù)的概括能力不如數(shù)值平均數(shù)的強，但是不易受數(shù)列中極端值的影響。 C）種類：常用的位置平均數(shù)有眾數(shù)和中位數(shù)兩種。 二、數(shù)值平均數(shù)(一)算術(shù)平均數(shù) arithmetic mean1.計算平均數(shù)的要求：總體標(biāo)志總量必須是總體各單位標(biāo)志值的總和，標(biāo)志值和單位之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。2.計算方法，均值Mean value1）簡單算術(shù)平均數(shù)。簡單算術(shù)平均數(shù)主要用于未分組資料,計算公式： 式中，代表算術(shù)平均數(shù)，xi表各單位標(biāo)志值，N 代表總體單位數(shù)

3、。2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)Weighted average A）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于原始資料已經(jīng)分組，并得出次數(shù)分布的條件。計算公式： fi為各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)B)權(quán)數(shù)的選擇問題 相對指標(biāo)計算平均數(shù)，要根據(jù)指標(biāo)的經(jīng)濟涵義，選澤合適的權(quán)數(shù)。 并非所有的頻數(shù)都可以作為權(quán)數(shù)。3.是非標(biāo)志的平均數(shù)percentage具有某種性質(zhì)的單位占總體的比率為p，不具有該種性質(zhì)的單位占總體的比率為 q，以1作為“是”，具有某種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值，以0作為“非”，不具有某種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值。按加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算，得到：p為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，N為總體單位數(shù)。成數(shù)是是非標(biāo)志的平均數(shù)。4. 算術(shù)平均數(shù)的數(shù)

4、學(xué)性質(zhì) 1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。 2）各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。 3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。 4）對被平均的變量實施某種線性變換后，新變量的算術(shù)平均數(shù)等于對原變量的算術(shù)平均數(shù)實施同樣的線性變換的結(jié)果。(二)調(diào)和平均數(shù)Harmonic mean1.簡單調(diào)和平均數(shù)定義：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。計算公式：2. 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計算公式：3）調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系適用的資料條件不同。算術(shù)平均數(shù)：已知變量值及頻數(shù)（頻率）調(diào)和平均數(shù)：已知各組的變量值及標(biāo)志總量。(三)幾何平均數(shù)Geometric mean1.幾何平均數(shù)：是N項標(biāo)志

5、值連乘積的N 次方根。2.分類： 1）簡單幾何平均數(shù)：是N個標(biāo)志值xi連乘積的N次方根。計算公式為： G= 式中G表示幾何平均數(shù)，xi表示各項標(biāo)志值。2）加權(quán)幾何平均數(shù) 加權(quán)幾何平均數(shù)是各標(biāo)志值fi次方的連乘積的N次方根，計算公式為： G= 3.適用場合：用于計算動態(tài)數(shù)列或時間上相互銜接的比率的平均數(shù)。(四)冪平均數(shù) power mean設(shè)有一組變量求各變量k次方的和： 稱為k階冪平均數(shù)，當(dāng)k 取不同的整數(shù)值時，冪平均數(shù)就給出不同的數(shù)值平均數(shù)計算公式。 例如：當(dāng)k=1時，冪平均數(shù)為算術(shù)平均數(shù)計算公式。當(dāng)k=-1時，冪平均數(shù)為調(diào)和平均數(shù)計算公式。當(dāng)k 0 時，為幾何平均數(shù)計算公式。 設(shè)有冪平均數(shù)

6、的是關(guān)于k階的遞增函數(shù)當(dāng)k1k2時，就有： 算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)是冪平均數(shù)的k階數(shù)由1遞減為0又減為-1的特例。三、位置平均數(shù)(一) Mode眾數(shù) Mo1.定義：眾數(shù)是指總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢的數(shù)值。在分配曲線圖上，眾數(shù)就是曲線的最高峰所對應(yīng)的標(biāo)志值。 在分配數(shù)列中，具有最多次數(shù)的標(biāo)志值就是眾數(shù)值。2.眾數(shù)的確定 1）單項式分配數(shù)列確定眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。 2）組距式分配數(shù)列確定眾數(shù)： 組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式: 下限公式： 上限公式：公式中，Mo代表眾數(shù)； 代表眾數(shù)組的下限； 代表眾數(shù)組的上限； 代表眾數(shù)組的次數(shù)； 代表

7、眾數(shù)組前一組的次數(shù)； 代表眾數(shù)組后一組的次數(shù)； 代表眾數(shù)組的組距。(二)Median中位數(shù)1.定義：中位數(shù)是將總體各個單位按其標(biāo)志值的大小順序排列，處于數(shù)列中點的那個單位的標(biāo)志值。在總體中，標(biāo)志值小于中位數(shù)的單位占一半；標(biāo)志值大于中位數(shù)的單位也占一半。2.中位數(shù)的確定 1）未分組資料確定中位數(shù)。 確定中位數(shù)的方法是：先將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列， 當(dāng)總體單位數(shù)N為奇數(shù)時： 當(dāng)總體單位數(shù)N為偶數(shù)時： 2）單項式分組資料確定中位數(shù)當(dāng) 為奇數(shù)時， 當(dāng) 為偶數(shù)時,3）組距式分組資料確定中位數(shù)下限公式： 上限公式：式中： 表示中位數(shù)； 表示中位數(shù)所在組的下限； 表示中位數(shù)所在組的上限； 表示向

8、上累計至中位數(shù)所在組前一組的次數(shù)； 表示向下累計至中位數(shù)所在組后一組的次數(shù)； 表示中位數(shù)所在組的次數(shù)； 表示中位數(shù)所在組的組距。(三)眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系1.區(qū)別： 1）三者的含義不相同； 2）三者的計算（確定）方法不同； 3）對資料的要求不同， 4）數(shù)據(jù)的“靈敏度”、“抗耐性”和“概括能力”不同。 2.聯(lián)系： 1）三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢）的平均指標(biāo)： 2） 三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系， A）在對稱的正態(tài)分布條件下： 算術(shù)平均數(shù)等于眾數(shù)等于中位數(shù)： B）在非對稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。當(dāng)

9、次數(shù)分配呈右偏(正偏)時算術(shù)平均數(shù)受極大值的影響， 當(dāng)次數(shù)分配呈左偏(負偏)時，算術(shù)平均數(shù)受極小值的影響， 中位數(shù)則總是介于眾數(shù)和平均數(shù)之間。 3.皮爾生Pearson經(jīng)驗法則分布在輕微偏斜的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗公式為第二節(jié) 分布的離散趨勢一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義2.作用： 1）衡量平均指標(biāo)的代表性。 2）反映現(xiàn)象變動的均衡性。 3）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。 4）進行抽樣推斷等統(tǒng)計分析的一個基本指標(biāo)。 二、極差與四分位差1.極差Range： 1）極差也稱全距，它是統(tǒng)計總體中兩個極端標(biāo)志值之差，表明總體中標(biāo)志值變動的范圍。 2）計算公式： （未分組）

10、（分 組） 式中：Umax代表最高組的上限； Lmin代表最低組的下限。 3）特點：計算簡便，直觀易于理解。 但不考慮總體內(nèi)部的分配狀況，不能充分反映標(biāo)志值變動的一般程度。2.四分位差 1）計算公式：數(shù)列的3/4位次與1/4位次的標(biāo)志值之差除以2。 2）特點：四分位差避免了數(shù)列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數(shù)據(jù)。 三、平均差（A.D）average deviation1.定義：平均絕對偏差，總體所有單位的標(biāo)志值與其平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。2.計算公式：3.特點四、方差variance與標(biāo)準(zhǔn)差standard deviation(一)數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 1.數(shù)量標(biāo)志方差與

11、標(biāo)準(zhǔn)差的計算。未 分組的資料其計算公式為： 方差： 標(biāo)準(zhǔn)差 ：用分組的資料計算 方差： 2.總方差的分解analysis of variance 在資料分組的條件下，總體各標(biāo)志值對平均數(shù)的方差可以分解為組內(nèi)方差和組間方差。 式中： 代表總體方差； 代表組間方差； 代表組內(nèi)方差的平均數(shù)。3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)： 1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。 2）變量對算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任意常數(shù)的方差。 3） 個同性質(zhì)獨立變量和的方差等于各個變量方差的和。 4） 個同性質(zhì)獨立變量平均數(shù)的方差等于各個變量方差平均數(shù)的 。 5）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。(二)是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 是非標(biāo)志的平均數(shù)為p四、變異系數(shù)coefficient of variation1.變異系數(shù)：變異系數(shù)也稱離散系數(shù)，是各變異指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)的比值。 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的比值。2.作用： 能準(zhǔn)確地比較不同現(xiàn)象或具有不同水平的單位之間的差異程度。 第三節(jié) 分布的偏度和峰度1.統(tǒng)計動差：也稱為矩moment，反映分布偏斜或離散程度的指標(biāo)。