數(shù)學分析3部分習題解析含參量積分

1、3含參量積分部分關注的要點：、理解含參量正常積分的本質(zhì)（本質(zhì)：一元函數(shù)的定積分，也即正常積分）和含義（含義：函數(shù)，即參量為自變量的的函數(shù)。之所以還冠以正常積分的名稱是因為這樣的函數(shù)是借助正常積分來產(chǎn)生的；知道含參量正常積分的類型（兩類：固定限和非固定限，之所以分這兩類，一是因為積分上下限的形式有差異；二是方便研究，即分這兩類來研究比較方便；熟記含參量正常積分解析性定理（包括連續(xù)性定理，可微性定理和可積性定理）的條件和結論，并熟練掌握解析性定理的簡單應用（如計算某些定積分，計算某些由積分產(chǎn)生的函數(shù)的極限和導數(shù)等。、理解含參量反常積分的本質(zhì)（本質(zhì)：一元函數(shù)的反常積分）和含義（含義：函數(shù)，即參量為自

2、變量的的函數(shù)。之所以還冠以反常積分的名稱是因為這樣的函數(shù)是借助反常積分來產(chǎn)生的；理解為什么只需重點考慮無窮限含參量反常積分（因為函數(shù)的含參量反常積分和混合含參量反常積分，都可通過適當變量替換進行轉換；理解含參量反常積分的一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的含義，并知道為什么要考慮含參量反常積分的一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的原因；熟記含參量反常積分一致收斂的常用、方便的判別法（判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，并能熟練地應用它們判斷具體含參量反常積分的一致收斂性。 sin（1） dy與dy ，分別在 x,（ 0 ）和 x0,上 sin cos1 dy， 1 dyxR ysin ycos ycosxy（ ）1

3、 dy，1 dy，在 （ 0 ）上；以及 1 在 x0 xy sin（4） dy ，在 x0y、熟記含參量反常積分解析性定理（包括連續(xù)性定理，可微性定理和可積性定理）的條件和結論，并熟練掌握解析性定理的簡單應用（如計算某些反常積分，計算某些由積分產(chǎn)生的函數(shù)的極1節(jié)部分習1f(xysgn(xy（x y時不連續(xù)1F(y) 0 f (x, 1所的函數(shù)在(, ) 上連續(xù)，并作出函數(shù) F ( 注：只有二元函數(shù) 注：只有二元函數(shù) f (x, y) 在指定區(qū)域（如本題的0,1(, ) ）上滿足連續(xù)的要求，才能11當0 y 1時，此時0,1 0, y y,1，由定積分的區(qū)間可加性F(y) 0 f(x,y)dx

4、 0 f (x,y)dxy f (x,0 (1)dxy 1dxy1 y12綜上可得yFy12y, 0 y1y顯然它在(, 上連續(xù)。根據(jù)上面的表達式畫其圖像比較簡單，請大家自行畫出略2、求下列極限（1） （20 0 2 x2cosxdx數(shù)的定積分產(chǎn)生的函數(shù)的極限的一種算法：“積分號下求極限”或“上下限及被積函數(shù)同時求極限”】【取鄰域U (0) ，顯然在矩形區(qū)域U (0) 1,1 上連續(xù)，所以由連續(xù)性得 22 22 偶函x dxx dxx dx 20 xdx1x2 cosx 在矩形區(qū)域U (0) 0, 2上連續(xù)，所以由連續(xù)性得lim2 x2 cosxdx2 limx2 cosxdx2 x2dx 8

5、0 0 3、設F(x) x2 exy2dy ，求F(x)x數(shù)的定積分產(chǎn)生的函數(shù)的導數(shù)的計算公式（分固定限和非固定限兩種公式，這些公式一定要熟記】x【顯然exy2 和exy2 y2ex ln(12acosxa2)dx）【注：本題和下面的題都是用可微性和可積性來計算的積分的典型題目，雖然有些積分的計有點繁瑣（如本題的積分，但仍希能夠關注（因為它們太典型了 分析：對積分進行變形得，對積分（分析：對積分進行變形得，對積分（1）02 lna2 sin2 xb2 cos2 xdx02 ln 1cos22 b2 1cos2x2a2 202b2 2cos2xdx 2t2x 0 a2 2b2 2cost2a2

6、b2 212b2 0ln a 2cost d可見（1）的計算取決ln 1b2 0a cost dt0ln12acosxa2 dxln1a2 dxln1 2a2 cosx1 ln ln20 1cosx 可見（2）ln 1012cosx dx綜上，對積分（1）和（2），如能計算ln 1rcosx dx（ r 10r a2 a2 ，r 1，即可算出（1）和（2）的結果。ln1rcosxdx （r 1先用可微性求 I(r注意到ln1rcosx和ln1rcosx cos都是連續(xù)的（因為是初等函數(shù)），所1 rcos由含參量正常積分的可微性，I(r)ln(1rcos) t1t1t1 d 0 1 r11 1t

7、21td1t1r(1r)t21t2 1t1r(1r)t1 rr 1 r從而，I(r)drlnr 1r1r 1r1rII(r)ln1 1r2 ln2ln122。r ，1ln12acosxa2dxln(1a2) ln1 cosx01 1 2ln(1a2)21a2 11a2 1 a r a2 ，a2 xxdx n a ln 1 b cost a2 1b2 a21b2 a2 a2 b2 ln a2 b2 a a2 b2 2 a a2 b2 2 a b a2 b2 2(a2 2(a2 5做題前回顧固定限含參量正常積分的可積性，即累次積分】1 xb 1 xb 0 sinln xln lndx（ba0 xb

8、 【注意x dy，所ln1 xb dx1 1（1）sindxsin0 a sinxydy x ln交換積分順xb 1 1xa sinln xdxx sin dx ue(y1)u sinudu e(y1)u sinudu x xxe 1(1y 1 xb 所以0 sinln xlndxa 1(1y)2 dyarctan(1b)arctan(1a) 1 xb dx1 1 dx xydy xlnx交換積分順b 1 x0 1xa cosln xdx1uln (y (y 1 xu0 x xuxx cosudu cosudu 1(1y 1 xb 1 1(1b)所以， 0 cosln x lndx a 1(1

9、y)2 dy 2ln1(1a)2 6、試求累次積分x2 x2 0 dx0 (x2 y2)2 dy與0 dy0 (x2 y2)2 dx并它們?yōu)槭裁磁c含參量正常積分的可積性定理的結果不符【本題并不是用可積性計算的題， 主要是通過計算的結果說明可積性定理中的二元函數(shù)連續(xù)的條件只是充分條件并非必要條件，條件不滿足可積性定理的結論可能成立也可能不成立，本題恰恰是二元函數(shù)不連續(xù)，且結論不成立的例子，這當然不會與可積性的結論 。本題的計算僅僅只是定積分的計算（具體來講是用定積分的分部積分法），因此大家可通過計a2 算過程復習定積分的計算方法，比如 0 (a2 y2)2 dy0 (a2 y2)2 dy0 (a

10、2 y2)2 dy（是三個典型的積分）如何用分部積分法計算。a2 1(a2 y2)2 dy1a2 1 a2 y2 10 (a2 y2)2 dy (a2 y2 dy0 a2 y2 dy20 (a2 y2)2 1dy 10 a2 a2 y2 分部積分法 dy y dy 00 a2 0a2 0 a2 1x2 dy x2 (x2 y2dydx dx arctan (x2 y2 0 1x2 dx (x2 y2 2 它們之所以不相等是因x2 2 (x y 在矩形區(qū)域0,10,1 上不連續(xù)（為什么請大家想 11yfx2 dx 的連續(xù)性，其中 f (x) 在閉區(qū)間0,1上是正的連續(xù)函數(shù)【說明：當函數(shù)的定義域給

11、出時，直接在給出的定義域內(nèi)函數(shù)的連續(xù)性；當函數(shù)的定義域沒有給出時，要先根據(jù)含參量積分的定義確定定義域，再函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性。本題沒有直接給出定義域，因此，應先確定定義域后，再。】解先確定 Fy的定義域：yfx 作為 x 的一元函數(shù)在0,1上連續(xù)1以定積分1yfx2 y2 dxy 0，所以定積分1y1F( y) 的定義域為(, ) 再 F ( y) 在(, ) 上的連續(xù)性的方法與分段函數(shù)連續(xù)性的方法類似，因y0y0yfx 在矩形區(qū)域0,1(0, ) 和0,1(, 0) 上連續(xù)，所以，由含參量正常積分的連續(xù)性定理得，F(xiàn)(y) 在(0) 和(0) 上連續(xù)，即y 0 時，F(xiàn)y0mminf(xm0y

12、0 x 0,11 yfyfx2 m x2 y2x2 dxx2 dxmmarctan lim F(y) lim marctan 1 m 在 y0也不左連續(xù)綜上所述， F( y) 在其定義域(, 8、設函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, A上連續(xù)，證明lim 1x f(th f(t)dt fx f(ah0 h 【本題中 x 是常量不是自變量，自變量是 h 本題初看很容易聯(lián)想到用含參量正常積分的連續(xù)性（積分號下的極限性）f(th) fh是否連續(xù)（題設并沒有告可導，因此，連續(xù)性定理的條件并不一定滿足實際上本題真實的解決方法是用已學過的定積分中的微積分學基本定理。因此，做題之前請回顧微積分學基本定理：a若

13、f (x在區(qū)間a,A上連續(xù)，則對任意 xaA，變上限函數(shù) I(x) a且f (t)dt 在 xlim I(xhI(x) I(x f (x a f (t)dt ，因為f (x)在閉區(qū)間a,A 上連續(xù)，1x f(th) f(t)dt 1x f(th)dt1x f(t)dt h ah ah a x f(th)dt I(x)h utx而f(th)dt a h f (u)du I(xh)I(ah) ，所x f(th) f(t)dt I(xh)I(ah) I(x)I(a) h a I(xh)I(x) I(ah)IlimI(xhI(x fx和limI(ahI(a) f(alim 1x f(th f(t)dt

14、 fx f(ah0 h 9、設F(x,y)y(xyzf(z)dzf(zFxy(xy【本題的函數(shù)是由非固定限含參量正常積分產(chǎn)生的二元函數(shù)，因此，做題之前應回顧二元函數(shù)偏導數(shù)的本質(zhì)（一元函數(shù)的導數(shù)，以及非固定限含參量正常積分的導數(shù)公式，本題只要注意到二元函數(shù)偏導數(shù)的本質(zhì)，用此導數(shù)公式計算即可。視y為常數(shù) 【由導數(shù)公式得， Fx (x, x (xyz)f (z)dz xy (x yz)f(z)dz y(x yxy)f(xy) y xf y yxxxy f (z)dz y(x y2x)f (xy) xy f (z)dzxy(1 y2)f xx所以，F(xiàn) (x, f (z)dzxy(1y2)f (xy)

15、f (z)dz x(13y2)f (xy) xy(x y2x)f xf (xy) f x x(13y2f(xyx2y(1 y2f (xy) yy y1k1k2 sin2ksin211k2 sin221k2 1k2 sin2如何對定積分進行變形和化簡，使它們都分別能用 E(k) 與 F (k) 來表示。這個工作對本題的第（2）其中對 E(k) 的變形比較簡單，比ksin21k2 sin21k2 sin21k2 sin2k 1k2 sin21 1k2 sin2d 1k2 sin2 1k2 sin2但對但對 F (k ) 的變形化簡就不那么平常，其中既需要一些積分的計算技巧，還需要敏銳的觀察ksin

16、2 k2 sin213比如 F (k) 1 k2 sin2 30 1k2 sin2 2 1k2 sin2k 0 1k2 sin1k2 sin21 0 2 3 dF0 1k2 sin20 2 對3 d再如何變形使之能用 E(k) 或 F (k) 來表示，這就不明0 2 1k sin 更敏銳的觀察。你能觀察到下面的導數(shù)關系嗎sin1sin 2 1 k2 k111k2sin1k2 sin2k如果能，問題就“OK”了，此時必ksincos1k2 sin 1k2 sin1k2 sin1k2 sin2k2 1k2 0 2 （這一過程實際上就是對3 d用分部積分法，只是分部積分法的具0 2 1k sin 藏

17、得較深，不易簡單地觀察出來。從而由定積分的線性性和牛頓萊布尼茨公式2 d1 k2sinE(k) k2 11k 1k sin 所以F(k) 1E(k)F(k) E(k) 1Fk 1k(1k 附：分部積分法計算2 1的同學參考01k2 sin2附：分部積分法計算2 1的同學參考01k2 sin2 d0 1k2 sin21k2 sin2k2 sin21k2 sin20 1k2 sin20k2 sin20 1k2 sin20 2 下面對 21 0 2 事實上k2 sin2很難想k 2 sin 1k2 sin1k2 sin21k sin 這樣的分解 k 1k2 sin2k k cos2 cos21k2

18、1k2 sin2001k2 sin21k2 sin21ksin2 2k2 1 1 k2 sin2 02 d 1k2 sin21k2 sin 1k2 sin21k2 sin2 0 2k k2 sin2 12 d 2 2 1k2 sin211k2 sin21k2 sin22 1k2 sin2 1k2 sin22 k d k2 1 sin 2 1k1k2 sin22 112 1 k2 sin1k2 sin21k2 sin2代入上式得2 k2sin2d 2 2 0 1k2 sin21k2 sin20 1k1k2 sin22 1k2 sin2211 2節(jié)部分習1、熟悉含參量反常積分一致收斂的定義， 內(nèi)閉

19、一致收斂的定義以及判斷一致收斂的確界法，并能用定義或確界法下面幾類典型積分的一致收斂性的情況：+ sindy 分別在,（其中 0 ）和0,上的一致收斂情況；y+ xexydy 分別在（其中 0 ）和00+ exydy 分別在（其中 0 ）和00注意：當反常積分能具體計算出結果時，用確界法比較方便；在考慮含參量反常積分不一致收斂時，用確界法比較方便。2、熟悉含參量反常積分一致收斂的常用判別法（M-判別法，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，并能熟練地應用它們判斷具體含參量反常積分的一致收斂性；3、熟悉含參量反常積分的解析性定理（連續(xù)性定理， 可微性定理， 可積性定理。注意理解這些定理中條件的作用），并

20、能熟練地應用它們具體含參量反常積分在指定范圍內(nèi)的解析性，計算積分等；4、熟記伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)的積分表示， 掌握伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)的常用性質(zhì)（ 如伽馬函數(shù)的遞推公式，延拓和其他積分表示；貝塔函數(shù)的對稱公式，余元公式，貝塔函數(shù)與伽馬函數(shù)的關系和其他積分表示，并能熟練地應用性質(zhì)簡化某些積分的計算。1、證明下列各題【做題之前請回顧：1、一致收斂的 M判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法（注： 中判斷具體含參量反常積分在指定范圍內(nèi)一致收斂時一般用它們而無需考慮其他方法。在用時，首選 M判別法，不行的話，再選擇狄利克雷判別法或阿貝爾判別法。）2（殊快捷方法不能湊效， 一般用此法， 而無須考慮其他方法。（

21、這里指的特殊快捷方法是指利用含參量反常積分在參量取某一點時的反常積分不收斂的方法和利用連續(xù)性定理的結論不成立的方法， 這兩種方法。）才能正確地使用判別法。才能正確地使用判別法。3（1） y2 dx 在() 上一致收斂(x2 y2【由題設信息知， y 是參量。注意到在1, (, 0【因為本問是證明不一致收斂，因此，先用特殊法因為 在 x 0 不連續(xù)，從而在0, b上不連續(xù)，所以由連dy 1,x0,0理知 xexydy 在0b上不一致收斂0A0， xexydy eAx ，所A xexydy sup eAx e0 1x0,blim A xexydy 10，故由確界法知 xexydy 在0,b上不一致

22、收斂。01（4）1ln(xy)dy 1,【由題設信息知， x 是參量。注意到在1 ,b 01（第一個 環(huán)節(jié) ） exydx ，ya,b因為0ab上， e0 eaxdx 收斂一般，當含參量反常積分可通過適當變量替換轉化為變限函數(shù)時，這樣的函數(shù)的解析性（ 一般，當含參量反常積分可通過適當變量替換轉化為變限函數(shù)時，這樣的函數(shù)的解析性（ 續(xù)性、可微性和可積性）b2對于 eyx2dx，ya2,b2，注意到在0,a2b2 ea2x2 且 ea2x2 0 a20b2 dxeyx2 b2 y a2 y( d yxdyy2 y 2 2 y (b（2）I(x et sinxtdt x0I(0 et sin0dt

23、0dt 0 66I(x et sinxtdtarctan xarctanx x0時，此時x02I(x) et sinxtdt et sin(x)tdt arctan(x) arctanx et sindt arctanx,xarctanx x x 1cosxy x sin dxx 1cos dx ，因此本題可用可微性及（2）的結論計算）記I(y)dx ，具體計算也分三種情形 ex 1cos(x0)dx 0 sin 當 y 0 時，對任意閉區(qū)間ab(0, ) ，由狄利克雷判別法可得dx在ab一致收斂，顯然e 單調(diào)且e1 ex sinxydx在abx收斂，從而ex sinxydx在(0 x0 x

24、1cosxy x sin I (y) dx dx arctany 分部積故I(y)arctan yarctany 1 y2 dy yarctan y 2ln(1 y )C 注意到0I(0)CIy yarctany1ln(1 y22y0時，此時y02I(y) ex 1cosxydx ex 1cosx(y)情形 yarctan(y)ln(1(y) ) yarctan yln(1 y 綜上所述，對任意 y R 5、回答下列問題 ex 1cosxy dxyarctany1ln(1y2) x0 對 1 dy (2y2xy3)exy2dx對F(x) x3ex2ydy 能否運用積分與求導運算順序交換來求解0

25、【本題的真實意圖并不是 含參量反常積分解析性定理的應用， 而是通過傳統(tǒng)積分的計算讓大家理解含參量反常積分的解析性定理中的條件只是充分條件，并非必要條件。因此，本題中的具體計算是傳統(tǒng)積分的計算，不涉及解析性的應用。另外，下面我在附中涉及的解析性定理中一致收斂不滿足的驗證部分，不是屬于本題的解題要求，只起幫助理解定理條件不是必要的作用，大家可以跳過?！?uxy2 （1）因為當x0時，dy e xy dxy2 eudu 1 ，所lim 2xyexy2dy 1x0 lim2xyexy2 dy 0dy 0 1，所以對極限lim 2xyexy2dy不能施行極x0 與積分運算順序的交換來求解（附： 在0,

26、上不一致收斂的判斷。用特殊快捷的方法（即用連續(xù)性定理判別的方法）因為dy 在 0 上不連續(xù)， 所以由連續(xù)性定理知，00,x分別計算累次積分 1 dy (2y2xy3)exy2dx 和 dx 1 (2y 2xy3)exyy0時，顯然當0 y 1時， (202x03)ex02dx 0dx0 (2y2xy3)exy2dx 2 exy2dx2 xy2exy2y 1 exy2 2 xyedxy2 2 2 20 y2 (2y2xy3)exy2dx0,y00（附： (2y2xy 320在 y 0,1 A0y02AA0 y1 2y 1 exy2 2 y xy2exy2dxyyy2 yyA 2 eAy2 2 (

27、1 Ay2)eAy2 Ay2eAy2 2 2 取y 1 A1(2y2xy dx Ay sup Ay 從lim (2ylim (2y2dx 0 A y0,1 故(2y 2xy3dx在 y0,1上不一致收斂。x3ex2 ydy ex2 ydx2 ux2 eudu x F(x1從 x3ex2ydy 3x2ex2y 2x4yex2y dy3 ex2ydx2y2x2y dx2ux2x euduueu du321 F(所以，對F(x) x3ex2ydy 能運用積分與求導運算順序交換來求解0（附：類似于（2）x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4 yex2y x0在 x() 上不一致收斂A0 x0A3

28、02ex2 y 204 ye02y dy 0dy0 x0A3x2ex2y 2x4 yex2y dy exy2dx2 y 2x2 yex2 ydx2 y (12x2A)ex2所所以3x 22 x x 22Ady 12x A 120 A x 2 取20 1 從3x2x y dy 0 22x xA A故x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4yex2y dy 在 x(上不一致收斂。x06、應用 e at dt a 2 （a0 0at2eat2dt 2 a4n1 22n at 13(2n 2（2）t dt a eat2dt將視為含參量a的反常積分，先用M判別法驗 eat2 dt 在a(0,) 內(nèi)閉

29、一致收斂，然后用可微性在 e at dt a 2 a12而對第（2）問：從第（1）但就證明方法而言，上述方法并不是簡單的方法，實際上用節(jié)的伽馬函數(shù)的性質(zhì)證明更單。下面給出這種方法。 u2s1eu2du ，以及n 1 (2n1)! (s2n2na t2eat2 dt a( e( atu dat a u2eu2 dat a 121 21 aaa u du a aaa2teatdt ( atat)2 u aaeu2 aa2n1 1 1 u 2 du na2a(2n 13(2n n1 2a aa a 7、應用2 （aa (a2 x2 【說明：本題的意圖是讓大家熟悉含參量反常積分的可微性定理，并希望用可

30、微性來解決此計算問題，請回顧可微性定理。】解 將 視為含參量a(0,)的反常積分。下面驗 a2 a2 x(0, ) 上內(nèi)閉一致收斂，事實上，任取閉子區(qū)間c, d (0, ) ，因為在c, d 0, 8、設 f (x, y) 為abc上連續(xù)非負函數(shù)I(x) I (x) 在abf (x, y)dy 在ab上連【說明：本題實際上是含參量反常積分利用連續(xù)性判斷來判斷一致收斂的一個判別法稱為狄尼（dini）判別法。它的證明方法是基礎的方法： 即利用一致收斂的定義， 再結合有限覆蓋定理來證明?！肯旅娼o出證明的過程（注：此過程一般同學可以跳過。證明 對任意xab，因I(x) Mx M(x0AMx f (xy)dy 收斂，所以，對任意0f f (x,y)dy Af (x, AA又注意到 I