數(shù)學(xué)物理方法：第一章 復(fù)變函數(shù)

1、第一章 復(fù)變函數(shù)1.2 復(fù)變函數(shù)1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4 解析函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算第一篇 復(fù)變函數(shù)論式中x、y為實(shí)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（一） 復(fù)數(shù)幾何表示：1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)：復(fù)平面為復(fù)數(shù)的模為復(fù)數(shù)的輻角1、 復(fù)數(shù)表示由于輻角的周期性，輻角有無(wú)窮多為輻角的主值，為主輻角，記為例：求的Argz與argz解：z位于第二象限復(fù)數(shù)的三角表示：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示：應(yīng)用：（二） 無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)：NSzARiemann球面復(fù)球面零點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加減法有三角關(guān)系：2、復(fù)數(shù)的乘法3、復(fù)數(shù)的除法或指數(shù)式：4、復(fù)數(shù)的乘方與方根乘方故：方根故k取不同值， 取不同值例：求 之值

2、注意：1）、2）、3）、例：討論式子 在復(fù)平面上的意義解：為圓上各點(diǎn)例：計(jì)算解：令例：計(jì)算解：令1.2 復(fù)變函數(shù)（一）、復(fù)變函數(shù)的定義對(duì)于復(fù)變集合E中的每一復(fù)數(shù)有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值w稱(chēng)為的z復(fù)變函數(shù)z稱(chēng)為w的宗量（二）、區(qū)域概念由確定的平面點(diǎn)集，稱(chēng)為定點(diǎn)z0的鄰域（1）、鄰域（2）、內(nèi)點(diǎn)定點(diǎn)z0的鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)（3）、外點(diǎn)定點(diǎn)z0及其鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn)（4）、鏡界點(diǎn)定點(diǎn)z0的鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱(chēng)z0為點(diǎn)集E的鏡界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)（5）、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線(xiàn)連接，且折線(xiàn)上

3、的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。（6）、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱(chēng)為閉區(qū)域，如表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域（7）、單連通與復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線(xiàn)，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域（三）、復(fù)變函數(shù)例可大于1例：求方程 sinz=2解：設(shè)（四）、極限與連續(xù)性設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域有定義對(duì)于0，存在0,使有稱(chēng)z - z0時(shí)w0為極限，計(jì)為注意：z在全平面，z - z0須以任意方式若有稱(chēng)f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)1.3 導(dǎo)數(shù)w=f(z)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù)在z點(diǎn)存在，并與z - 0的方式無(wú)關(guān)，則例：證明f(z)=zn在復(fù)平面上每點(diǎn)均可導(dǎo)證：例：證明f(z)=z*在復(fù)平面上均不可導(dǎo)證：求導(dǎo)法則下面討論復(fù)

4、變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件比較兩式有稱(chēng)為科西-黎曼條件（C.R.條件）C.R.條件不是可導(dǎo)的充分條件例：證明 在z=0處滿(mǎn)足C.R.條件，但在沯z=0處不可導(dǎo) 證：滿(mǎn)足C.R.條件在z=0處但在z=0處，若一定，隨而變，故在z=0處不可導(dǎo)下面討論f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件證明：1）u,v在z處滿(mǎn)足C.R.條件 2）u,v在z處有連續(xù)的一階偏微商因?yàn)閡,v在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以u(píng),v 的微分存在由C.R.條件 此式z無(wú)論以什么趨于零都存在，C.R.方程的極坐標(biāo)表示：故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 點(diǎn)可導(dǎo)當(dāng)考慮z沿徑向和沿恒向趨于零時(shí)，有例：試推導(dǎo)

5、極坐標(biāo)下的C.R.方程：方法一：當(dāng)分別考慮z沿徑向和沿恒向趨于零時(shí)，沿徑向趨于零沿恒向趨于零方法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)同理例：證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析 ，且f(z)=f(z)。1.4 解析函數(shù)若w=f(z)是在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，稱(chēng)f(z)在z0解析若w=f(z)是在區(qū)域 B上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱(chēng)f(z)在區(qū)域 B 解析證：滿(mǎn)足C.R.條件且一階偏導(dǎo)連續(xù) 后面可證在某區(qū)域上的解析函數(shù) ，在該區(qū)域上有任意階導(dǎo)數(shù)。由C.R.條件前一式對(duì)x 求導(dǎo)，后式對(duì)y 求導(dǎo)，相加同理u(x,y)和v(x,y)都滿(mǎn)足二維 Laplace 方程又特別稱(chēng)為共軛調(diào)和函數(shù)性質(zhì)1、f(z)在

6、區(qū)域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)為共軛調(diào)和函數(shù)令：稱(chēng)為梯度(gradient)矢量二維表示三維表示由C.R.條件兩式相乘即或表示Laplace 方程表示為：性質(zhì) 2、u(x,y)=常數(shù)與 v(x,y)=常數(shù)曲線(xiàn)正交而u 和v 分別是u(x,y)=常數(shù) v(x,y)=常數(shù)的法向向量若給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：C.R.條件上式為全微分，因?yàn)榉椒ㄒ?、曲線(xiàn)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）設(shè)已知 u(x,y)， 求v(x,y)方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法方法一、曲線(xiàn)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法二、湊全微分顯式法方法三、不定積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部 u(x,y)=x2-y2,求 v(x,y)解：故u為