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文檔編碼:CE10W4W7V3Q10——HE3T3U3Z6T3——ZI1A10N3A10J5學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載空間直線與平面1.平面及其相關(guān)性質(zhì)平面具有“平”的特點(diǎn),無(wú)厚度,無(wú)邊界,在空間延長(zhǎng)至無(wú)限;平面可以用大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示;空間的直線和平面都可以看作點(diǎn)的集合,點(diǎn)與它們的關(guān)系可以用集合的語(yǔ)言表示;例如,點(diǎn)A在直線l上,或直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,記Al;;;點(diǎn)B不在直線l上,記作 l;點(diǎn)A在平 上,或平面 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,記作AB點(diǎn)B不在平 上,記作B面;假如直線l上的全部點(diǎn)都在平面

上,那么稱直線l在平 面

上(或平面經(jīng)過(guò)直線l〕,記作l;面公理1假如直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平上,那么直線l在平上; 面

公理1用集合語(yǔ)言表述如下:如 面

Al,Bl且A,B,就l公理2假如不同的兩個(gè)平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A,那么,l,且Al;的交集是過(guò)點(diǎn)A的直線;

公理2用集合語(yǔ)言表述如下:如存在A,就公理3

推論1不在同始終線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面;一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面;第1頁(yè),共11頁(yè)推論2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載兩條相交的直線確定一個(gè)平面;推論3兩條平行的直線確定一個(gè)平面;2.空間直線與直線的位置關(guān)系空間直線與直線的位置關(guān)系共面相交平行 異面

公理4 平行于同始終線的兩條直線相互平行;

等角定理

假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ); 在同一平面中,兩條直線的位置關(guān)系包括相交和平行;

假如空間的兩條直線l1,l2

既不平行,也不相交,這時(shí)不行能存在一個(gè)平面,使它既經(jīng)過(guò)直線l1,又經(jīng)過(guò)直線l2,我們把不能置于同一平面的兩條直線l1,l2做異面直線;對(duì)于異面直線a和b,在空間任取一點(diǎn)P,過(guò)P分別作a和b的平 a'和b',我們把a(bǔ)'和b'所成的銳角或直角叫做異面直線a和b所成的角;當(dāng)空間兩直線l1,l2所成的角為直角時(shí),l1和l2垂直,記作l1丄l2;當(dāng)l1和l2所成的角為零角時(shí),l1和l2平行或重合;異面直線之間距離:設(shè)直線a與直線b是異面直線,當(dāng)點(diǎn)M,N分別在a,b且直線MN既垂直于直線a,又垂直于直線b時(shí),我們把直線叫做異面直a,b

的公垂線,垂足M,N之間的距離叫做異面直a和b的距線3.空間直線與平面的位置關(guān)系離;直線在平面內(nèi)空間直線與平面的位置關(guān)位 相交直線在平面外平行假如直線l與平面 只有一個(gè)公共點(diǎn)A,那么稱直線l與平面相交于點(diǎn)A,或稱A是直線l與平 的交點(diǎn),記作假如直線l與平面面平行,記作l 或l// ;沒(méi)有公共點(diǎn),那么稱直線l與平面第2頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載直線與平面平行的判定定理假如平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行;直線與平面平行的性質(zhì)定理假如一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行;一般地,假如一條直線l與平面

垂直,記作l丄,直線l叫做平面直線與平面垂直的判定定理上的任何直線都垂直,那么直線l與平面 的垂線,l與的交點(diǎn)叫做垂足;假如直線l與平面 上的兩條相交直線都垂直,那么直線l與平面垂直;推論假如兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面;直線與平面垂直的性質(zhì)定理假如一條直線垂直于一個(gè)平面,那么這條直線垂直于平面內(nèi)的全部直線;推論 假如兩條直線同時(shí)垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行;點(diǎn)到平面的距離:設(shè)M是平外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作平的垂線,垂足為N,我們把點(diǎn)M到垂足N之間的距離叫做點(diǎn)M和平 的距離;面 直線到平面的距離:設(shè)直線l平行于平面 ,在直線l上任取一點(diǎn)M,我們把點(diǎn)M到平 的距離叫做直線l和平面 的距離;面 當(dāng)直線l與平面 相交且不垂直時(shí),叫做直線l與平面斜交,直線l叫做平面 的斜線; 設(shè)直線l與平面斜交于點(diǎn)M,過(guò)l上任意點(diǎn)A,作平面的垂線,垂足為O,我們把點(diǎn)O叫做點(diǎn)A在平上的射影,直線OM叫做直線l在平 上的射影,并規(guī)定直線l與其在平面上的射影OM所成的銳角叫做直線l與平面所成的角;當(dāng)直線l與平面 垂直時(shí),它們所成的角為90°;當(dāng)直線l與平面平行或直線l在平面 上時(shí),它們所成的角為0°;第3頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載最小角定理直線和平面所成的角是這條直線和平面內(nèi)任始終線所成的角中最小的角;三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,假如和平面的一條斜線的射影垂直,那么這條直線也和這條斜線垂直;三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線,假如和平面的一條斜線垂直,那么這條直線也和這條斜線的射影垂直;4.空間平面與平面的位置關(guān)系相交空間平面與平面的位置關(guān)系平行對(duì)于空間不同的兩個(gè)平面 , ,假如它們有公共點(diǎn),即,那么稱平面 與平面 相交;假如兩個(gè)平面 ,沒(méi)有公共點(diǎn),那么稱平面 與平面平行,記作 //平面與平面平行的判定定理假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;推論假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個(gè)平面平行;推論 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;平面與平面平行的性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么得到的兩條交線相互平行;推論如一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,就它也垂直于另一個(gè)平面;平面到平面的距離:設(shè)平面平行于平面,在平面,上任取一點(diǎn)M,我們把點(diǎn)M到平的距離叫做平面和平面的距離;面設(shè)兩個(gè)平面,相交于直線AB,AB,別分割成兩個(gè)半平面,由將的半平面及其交線AB所組成的空間圖形叫做二面角,記AB;作第4頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料,歡迎下載交線叫做二面角的棱,兩個(gè)半平面叫做二面角的面;在二面角的棱AB上任取一點(diǎn)O,過(guò)O分別在平面和上作棱的垂線OM和OW,射線OM和ON所成的角叫做二AB丄;面角

的平面角;如射線OM和ON所成的角為90°,就兩個(gè)平面垂直,記作

平面與平面垂直的判定定理 假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直; 平面與平面垂直的性質(zhì)定理假如兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂 直于它們交線

的直線垂直于另一個(gè)平面;5.空間角與距離的運(yùn)算

(1)異面直線所成角

異面直線所成角的范疇0,90;求異面直線所成的角,主要有兩種方法:

①平移,將異面直線平移至相交,常用“作平行”和“取中點(diǎn)”的方法;②補(bǔ)形,延長(zhǎng)異面直線,或者將題中幾何體進(jìn)行添補(bǔ),然后再平移至相交;(2)直線與平面所成角

直線與平面所成角的范疇0,90;求直線與平面所成的角,主要有以下方法:

① 定義法,依據(jù)直線與平面所成角的定義,找斜線及其射影的夾角;② 垂線法,過(guò)直線上某一點(diǎn)作平面的垂線;等體積法,通過(guò)幾何體③ 體積相等,求出直線上的點(diǎn)到平面的距離;第5頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載(3)二面角的平面角二面角的平面角的范疇[0;,180;]求二面角的平面角,主要有以下方法:① 定義法,在兩個(gè)半平面中分別作交線的垂線;② 垂線法,過(guò)一個(gè)平面上一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線,再作交線的垂線;③垂面法,找到一個(gè)與兩個(gè)半平面均垂直的平面,截得的交線所形成的角;④等體積法,通過(guò)幾何體體積相等,求出直線上的點(diǎn)到平面的距離;⑤射影法,面積射影定理cos S';S(4)距離的運(yùn)算直線到平面的距離,平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離;求點(diǎn)到平面的距離,主要有兩種方法:① 垂線法,過(guò)點(diǎn)作平面的垂線,求垂線的長(zhǎng)度;② 等體積法,通過(guò)幾何體體積相等,求出高,即點(diǎn)到平面的距離;簡(jiǎn)潔幾何體1.多面體在數(shù)學(xué)中,我們把由平面多邊形(或三角形)圍成的封閉體叫做多面體;構(gòu)成多面體的各平面多邊形(或三角形)叫做多面體的面;其相鄰多邊形(或第6頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載三角形)的公共邊叫做多面體的棱;棱與棱的交點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn); (1)棱柱假如一個(gè)多面體有兩個(gè)全等的多邊形的面相互平行,且不在 這兩個(gè)面上的

棱都相互平行,那么這個(gè)多面體叫做棱柱;棱柱的兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面,其他的面叫做棱柱的側(cè)面;棱柱的側(cè)面都是平行四邊形;不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱;兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高;底面是平行四邊形的棱柱有六個(gè)面,且六個(gè)面都是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體;側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱,直棱柱的側(cè)面都是矩形,直棱柱的高與側(cè)棱的長(zhǎng)相等;底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體,全部棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體;底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱;棱柱側(cè)棱不垂直于底面斜棱柱側(cè)棱垂直于底面直棱柱底面是正多邊形正棱柱;四棱柱底面是平行四邊形平行六邊形側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱棱長(zhǎng)都相等正方體; (2)棱錐

假如一個(gè)多面體有一個(gè)多邊形的面,且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn),那么這個(gè)多面體叫做棱錐;棱錐的多邊形的面叫做棱錐的底面,其他的面叫做棱錐的側(cè)面,棱錐側(cè)面都是三角形;不在底面上的棱叫做棱錐的側(cè)棱;側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn);頂點(diǎn)與底面之間的距離叫做棱錐的高;第7頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 假如棱錐的底面是正多邊形,且底面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面,那么這個(gè)棱錐叫做正棱錐;正棱錐的各條側(cè)棱長(zhǎng)相等,各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形,正棱錐的高與其頂點(diǎn)究竟面中心的距離相等; 2.旋轉(zhuǎn)體

平面上一條封閉曲線所圍成的區(qū)域圍著它所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體,該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸;

(1)圓柱

如圖,將矩形ABCD繞其一邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的的幾何體叫圓柱;AB所在直線叫做圓柱的軸;線做 AD和BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的面;線段CD旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)底 CD叫做圓柱側(cè)面的一條母圓柱的兩個(gè)底面間的距離(即AB的長(zhǎng)度)叫做圓柱的

高;依據(jù)圓柱的形成過(guò)程易知:

①圓柱有無(wú)窮多條母線,且全部母線都與軸平行;②圓柱有兩個(gè)相互平行的底面; (2)圓錐

類似地,將直角三角形乂ABC

(及其內(nèi)部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的幾何體叫做圓;AB所在直線叫做圓錐的軸; 錐A叫做圓錐的頂點(diǎn);直角 BC旋轉(zhuǎn)而成的圓叫做圓錐的底面;斜邊AC旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面;斜

面 AC叫做圓錐面的一條母線;圓錐的頂點(diǎn)究竟面間的距離叫做圓錐的高;邊 側(cè)依據(jù)圓錐的形成過(guò)程易知:

①圓錐有無(wú)窮多條母線,且全部母線相交于圓錐的頂點(diǎn);②每條母線與軸的夾角都相等;第8頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載(3)球如圖,將圓心為O的半圓繞其直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的幾何叫做球,記作球O;半圓的圓弧所形成的曲面叫做球面,易知,點(diǎn) O到球面上意點(diǎn)的距離都相等;把點(diǎn)徑和球的直徑;O稱為球心,把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半球面上聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的最短路徑,該路徑的長(zhǎng)度就是球面上兩點(diǎn)之間的距離;在聯(lián)結(jié)球面上兩點(diǎn)的路徑中,通過(guò)該兩點(diǎn)的大圓劣弧最短,因此該弧的長(zhǎng)度就是這兩點(diǎn)的球面距離;任意平面與球面的交線都是圓;

我們規(guī)定,當(dāng)平面通過(guò)球心時(shí),所得交線是大圓;當(dāng)平面不通過(guò)球心時(shí),所得交線是小圓;3.面積與體積公式直柱體的表面積:SS2Sch2S金 側(cè) 底(h,c分別為直柱體的高和底面周長(zhǎng)〕2rh底圓柱的表面積:S金S側(cè)2S底2r2〔h,r分別為圓柱的高和底面半

徑)正錐體的表面積:SSS1ch'S(h',c分別為斜高和底面周〕2長(zhǎng)金側(cè)底底第9頁(yè),共11頁(yè)學(xué)習(xí)好資料rh'歡迎下載〕圓錐的表面積:S金S側(cè)S底r2(h',r分別為母線長(zhǎng)和底面半徑間球的表面積公式:S2

4r〔r是球的半

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