力學(xué)量隨時間的演化與對稱性講義(-59張)課件

1.力學(xué)量的平均值隨時間的變化2.守恒量若則A稱為守恒量3.守恒量的性質(zhì)如果力學(xué)量A不含時間，若[A,H]=0(即為守恒量)，則無論體系處于什么狀態(tài)，A的平均值和測值概率均不隨時間變化。第4章力學(xué)量隨時間的演化與對稱性1.力學(xué)量的平均值隨時間的變化2.守恒量若則A稱為守恒量34.經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系5.守恒量與定態(tài)(1)定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則是一種特殊的力學(xué)量，與體系的Hamilton量對易。（2）在定態(tài)下一切力學(xué)量的平均值和測值概率都不隨時間改變；而守恒量則在一切狀態(tài)下的平均值和測值概率都不隨時間改變(1)與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取確定的數(shù)值.守恒量對應(yīng)的量子數(shù)稱為好量子數(shù)(2)量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。4.經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系5.守恒量與定態(tài)(16.能級簡并與守恒量的關(guān)系定理

設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,則體系能級一般是簡并的。推論：

如果體系有一守恒量F，而體系的某條能級并不簡并，即對應(yīng)某個能量本征值E只有一個本征態(tài)ΨE，則ΨE必為F的本征態(tài)。6.能級簡并與守恒量的關(guān)系定理設(shè)體系有兩個彼此不對易的7.位力定理：

設(shè)粒子處于勢場V(r)，其哈密頓為r?p的平均值隨時間的變化為對定態(tài)有則（定態(tài)下力學(xué)量的平均值不隨時間變化）7.位力定理：設(shè)粒子處于勢場V(r)，其哈密頓為r?p的思考題：r?p并不是厄米算符，應(yīng)進行厄米化這是否會影響位力定理得證明。答：從位力定理的證明可以看出，將r?p厄米化后并不能影響到定理的證明。例題1

設(shè)V(x,y,z)是x,y,z的n次齊次函數(shù)，即證明思考題：r?p并不是厄米算符，應(yīng)進行厄米化這是否會影響位力8.Feynman-Hellmann定理設(shè)體系的束縛態(tài)能級和歸一化的能量本征態(tài)為若H中含有參數(shù)λ，則有8.Feynman-Hellmann定理設(shè)體系的束縛態(tài)能級9.全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性(1)兩個全同粒子組成的體系9.全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性(1)兩個全同粒子組(2)N個全同F(xiàn)emi子組成的體系三個全同F(xiàn)emi子：設(shè)三個無相互作用的全同F(xiàn)emi子，處于三個不同的單粒子態(tài)φk1,φk2,φk3上，則反對稱波函數(shù)為Slater行列式(2)N個全同F(xiàn)emi子組成的體系三個全同F(xiàn)emi子：設(shè)三

N個全同Bose子組成的體系其中P是指那些只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進行對換而構(gòu)成的置換，這樣的置換數(shù)為N個全同Bose子組成的體系其中P是指那些只對處于不同單§4.3Schr?dinger圖像和Heisenberg圖像1.Schr?dinger圖像力學(xué)量不隨時間變化，而波函數(shù)隨時間變化。力學(xué)量的平均值波函數(shù)隨時間演化方程---Schr?dinger方程力學(xué)量平均值隨時間的變化波函數(shù)隨時間演化可寫成§4.3Schr?dinger圖像和Heisenberg圖稱為時間演化算符。(4)代入(2)得到則積分得可以證明：是幺正算符。稱為時間演化算符。(4)代入(2)得到則積分得可以證明：是2.Heishenberg圖像波函數(shù)不變，算符隨時間變化算符的演化方程----Heisenberg方程2.Heishenberg圖像波函數(shù)不變，算符隨時間變化利用U的幺正性，及U+HU=H則上式稱為Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H則上式稱為Heisenberg利用U的幺正性，及U+HU=H則上式稱為Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H則上式稱為Heisenberg例題1自由粒子p為守恒量，則

p(t)=p(0)=p則例題1自由粒子p為守恒量，則p(t)=p(0)=p則例題2

一維諧振子而則其解為則例題2一維諧振子而則其解為則根據(jù)初始條件則根據(jù)初始條件則例題3求一維諧振子在態(tài)Ψn下的動能和勢能的平均值解：一維諧振子的能量本征值為由位力定理知:則所以例題3求一維諧振子在態(tài)Ψn下的動能和勢能的平均值解：一維例題4判斷下列說法的正誤在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時間變化(錯)(2)設(shè)體系處在定態(tài)，則不含時力學(xué)量測值的概率不隨時間變化(對)(3)設(shè)哈密頓量為守恒量，則體系處在定態(tài)（錯）(4)中心力場中的粒子處于定態(tài)，則角動量取確定的數(shù)值（錯）(5)自由粒子處于定態(tài)，則動量取確定值（錯）（能級是二重簡并的）(6)一維粒子的能量本征態(tài)無簡并（錯）（一維束縛態(tài)粒子的能量本征態(tài)無簡并）證明：對于屬于能量E的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)有則兩邊同時積分得例題4判斷下列說法的正誤在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時間例題5

N=3Bose子體系，設(shè)三個單粒子態(tài)分別是解：

(a)n1=n2=n3=1（只有1個）(b)n1=2,n2=1,n3=0（共有6個）例題5N=3Bose子體系，設(shè)三個單粒子態(tài)分別是解：(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3個）(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3個）例題6(4.2)解：(a)兩全同波色子單粒子態(tài)200020002011101110分布例題6(4.2)解：(a)兩全同波色子單粒子態(tài)2(b)兩個全同費米子單粒子態(tài)011101110分布(b)兩個全同費米子單粒子態(tài)01（c)兩個不同粒子單粒子態(tài)200020002011101110分布（c)兩個不同粒子單粒子態(tài)20例題7（4.3）解：設(shè)粒子的總數(shù)為n，量子態(tài)的總數(shù)為k.首先對n個粒子進行編號(1)粒子可以分辨每個粒子占據(jù)量子態(tài)的方式有k種，則n個粒子占據(jù)量子態(tài)的方式（量子態(tài)數(shù)目）有若k=3,n=2,則有若k=3,n=3,則有例題7（4.3）解：設(shè)粒子的總數(shù)為n，量子態(tài)的總數(shù)為k.(2)粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制，波函數(shù)對稱1234量子態(tài)總數(shù)若k=3,n=2,則有若k=3,n=3,則有(2)粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制，波函數(shù)對(3)粒子不可分辨，每個量子態(tài)上只能有一個粒子（k>n）若k=3,n=2,則有若k=3,n=3,則有量子態(tài)總數(shù)(3)粒子不可分辨，每個量子態(tài)上只能有一個粒子（k>n）若例題8.三個不計自旋及相互作用的波色體系，其中單粒子可能的態(tài)是ψ1,ψ2,試求出體系的歸一化波函數(shù)。解：例題8.三個不計自旋及相互作用的波色體系，其中單粒子可能的例題9

現(xiàn)有3個全同的波色子，可以分布在4個不同的量子態(tài)上，則該體系可能的狀態(tài)數(shù)目有幾種？答：由統(tǒng)計物理學(xué)的知識知：3個粒子4個量子態(tài)例題9現(xiàn)有3個全同的波色子，可以分布在4個不同的量子態(tài)上例題10兩個無相互作用的粒子置于一維無限深勢阱中，對下列兩種情況寫出兩粒子體系可具有的兩個最低總能量值:兩個自旋為1/2的可區(qū)分粒子(2)兩個自旋為1/2的全同粒子解：(1)

對兩個自旋為1/2的可區(qū)分粒子，波函數(shù)不必對稱化。其基態(tài)總能量為2E1,波函數(shù)為四重簡并第一激發(fā)態(tài)總能量是E1+E2,波函數(shù)是八重簡并例題10兩個無相互作用的粒子置于一維無限深勢阱中，對下(2)對兩個自旋為1/2的全同粒子，波函數(shù)必須是反對稱的其基態(tài)總能量為2E1，波函數(shù)為非簡并第一激發(fā)態(tài)總能量是E1+E2，波函數(shù)是四重簡并其中(2)對兩個自旋為1/2的全同粒子，波函數(shù)必須是反對稱的其基例題

11對于無限深勢阱中運動的粒子（見圖）證明

并證明當n→∞時上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。證明：歸一化的波函數(shù)是則例題11對于無限深勢阱中運動的粒子（見圖）證明并

在經(jīng)典力學(xué)的一維無限深勢阱問題中，因粒子局限在（0，a）范圍中運動，各點的幾率密度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度在經(jīng)典力學(xué)的一維無限深勢阱故當時二者相一致。故當時二者相一致。例題12計算解：則而例題12計算解：則而上式中第一項分部積分兩次后為零，第二項可寫為所以上式中第一項分部積分兩次后為零，第二項可寫為所以例題13設(shè)歸一化的波函數(shù)|ψ>滿足薛定諤方程定義密度算符（矩陣）為(1)證明任意力學(xué)量F在態(tài)|ψ>下的平均值是(2)求出ρ的本征值(3)導(dǎo)出ρ隨時間演化方程證明：

(1)

例題13設(shè)歸一化的波函數(shù)|ψ>滿足薛定諤方程定義密度算符（(2)

則其本征值是0,1(3)由薛定諤方程得利用上述兩式得即(2)則其本征值是0,1(3)由薛定諤方程得利用上述兩式得例題14粒子在勢場V(x)中運動并處于束縛定態(tài)ψn(x)中，證明粒子所受勢場作用力的平均值為零。證明：粒子所受勢場的作用力為則例題14粒子在勢場V(x)中運動并處于束縛定態(tài)ψn(x)中例題15設(shè)某一體系的哈密頓算符為其中x是位置算符，p為其共軛動量算符，m是粒子的質(zhì)量，寫出p隨時間的演化方程解：例題15設(shè)某一體系的哈密頓算符為其中x是位置算符，p為其共例題16.t=0時刻體系處于力學(xué)量A的某一本征態(tài)上，如在其后任何時刻都處在該態(tài)上，A需要滿足什么條件？答：A是守恒量，即[A,H]=0,兩者有共同的本征態(tài)。演化后的波函數(shù)是例題16.t=0時刻體系處于力學(xué)量A的某一本征態(tài)上，如在其17對于一個不含時間的厄米算符F而言，在含時間的狀態(tài)|ψ(t)>,(t≠0)上，它的取值概率是W(t)、平均值是F(t),在哪兩種情況下W(t)與F(t)皆與時間無關(guān)。解:(1)F是守恒量，即(2)|ψ(t)>是定態(tài)18.對于α是常數(shù)，下列哪些量是守恒量答：守恒量是17對于一個不含時間的厄米算符F而言，在含時間的狀態(tài)解:18.電荷為q，質(zhì)量為m的無自旋粒子在磁場B中運動，其哈密頓算符可近似寫成(1)指出(不必證明)下列各物理量中的守恒量(2)任選一個非守恒量，寫出其海森堡運動方程(3)寫出ω的構(gòu)造式(用m,q…表示)及B的方向。解：（1）守恒量是(2)18.電荷為q，質(zhì)量為m的無自旋粒子在磁場B中運動，其哈密19.單粒子在一維δ勢阱中運動，(1)在坐標表象中求體系束縛定態(tài)的能量與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。(2)在動量表象中求體系束縛定態(tài)的能量與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。解：(2)薛定諤方程在動量表象中有即其中19.單粒子在一維δ勢阱中運動，(1)在坐標表象中求體系束代入薛定諤方程得(1)代入薛定諤方程得(1)兩邊對p求導(dǎo)數(shù)得解得(2)其中A是歸一化常數(shù)。將(2)代入(1)得由此可得束縛態(tài)的能量是(3)將(3)代入(2)可得兩邊對p求導(dǎo)數(shù)得解得(2)其中A是歸一化常數(shù)。將(2)代入(歸一化波函數(shù)歸一化波函數(shù)20在p表象中計算一維諧振子的定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)解：薛定諤方程為在動量表象中有即其中20在p表象中計算一維諧振子的定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)解：薛定力學(xué)量隨時間的演化與對稱性講義(-59張)課件代入薛定諤方程得以后的求解見陳<量子力學(xué)習(xí)題與解答>p97代入薛定諤方程得以后的求解見陳<量子力學(xué)習(xí)題與解答>p9721.t=0時刻自由粒子的波函數(shù)是求此時粒子動量的可能取值、概率和平均值解：21.t=0時刻自由粒子的波函數(shù)是求此時粒子動量的可能取值22設(shè)|n,l,m>是氫原子H,L2,Lz的共同本征函數(shù)，r是半徑，求解：庫侖勢是即勢是r的-1次齊次函數(shù)，由位力定理得則所以22設(shè)|n,l,m>是氫原子H,L2,Lz的共同本征函數(shù)，徑向波函數(shù)滿足的等效一維問題中由Feynman-Hellmann定理得徑向波函數(shù)滿足的等效一維問題中由Feynman-Hellma23一個質(zhì)量為m的粒子在中心力場V(r)中運動，試證明其中E代表能級，ψ是相應(yīng)的束縛定態(tài)波函數(shù)，λ是H中的參量(2)對于確定節(jié)點（即nr相同）的狀態(tài)，若軌道角動量越大（即l越大），則其能量越高。證明:(1)由于則23一個質(zhì)量為m的粒子在中心力場V(r)中運動，試證明其中(2)在中心力場中勢能項是則由F-H定理得顯然即E隨l的增大而升高。(2)在中心力場中勢能項是則由F-H定理得顯然即E隨l的增大2012年山東大學(xué)研究生入學(xué)考試《量子力學(xué)》試題一、填空題(25分)量子力學(xué)中的力學(xué)量必須是(),這是為了使力學(xué)量的本征值是(_),測量力學(xué)量所得的值一定是該力學(xué)量的(),只有當粒子處于力學(xué)量的()時，才能具有確定的測量值。測量力學(xué)量的不確定來源于()，兩個力學(xué)量同時具有確定值的條件是()2.力學(xué)量H有兩個本征態(tài)|n1>，|n2>,對應(yīng)的本征值是E1和E2，則在該力學(xué)量表象中H可以表示為(),體系可能處的狀態(tài)是(),可能的測值是(),相應(yīng)的