2020年四川省達州市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第28頁（共28頁）2020年四川省達州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）人類與病毒的斗爭是長期的，不能松懈．據(jù)中央電視臺報道，截止北京時間2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者確診病例達到1002萬．1002萬用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是A． B． C． D．萬【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，是負數(shù)．【解答】解：1002萬用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：．【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．2．（3分）下列各數(shù)中，比3大比4小的無理數(shù)是A．3.14 B． C． D．【分析】由于帶根號的要開不盡方是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解．【解答】解：，，、3.14是有理數(shù)，故此選項不合題意；、是有理數(shù)，故此選項不符合題意；、是比3大比4小的無理數(shù)，故此選項符合題意；、比4大的無理數(shù)，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，解題時注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．3．（3分）下列正方體的展開圖上每個面上都有一個漢字．其中，手的對面是口的是A． B． C． D．【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點解題．【解答】解：、手的對面是勤，不符合題意；、手的對面是口，符合題意；、手的對面是罩，不符合題意；、手的對面是罩，不符合題意；故選：．【點評】考查了正方體相對兩個面上的文字的知識，解題的關(guān)鍵是將手確定為正面，然后確定其對面，難度不大．4．（3分）下列說法正確的是A．為了解全國中小學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用普查 B．確定事件一定會發(fā)生 C．某校6位同學(xué)在新冠肺炎防疫知識競賽中成績分別為98、97、99、99、98、96，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為98 D．數(shù)據(jù)6、5、8、7、2的中位數(shù)是6【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查與普查的區(qū)別、確定性事件的概念、眾數(shù)和中位數(shù)的定義逐一求解可得．【解答】解：．為了解全國中小學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，此選項錯誤；．確定事件一定會發(fā)生，或一定不會發(fā)生，此選項錯誤；．某校6位同學(xué)在新冠肺炎防疫知識競賽中成績分別為98、97、99、99、98、96，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為98和99，此選項錯誤；．數(shù)據(jù)6、5、8、7、2的中位數(shù)是6，此選項正確；故選：．【點評】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．抽樣調(diào)查與普查的區(qū)別、眾數(shù)和中位數(shù)的定義．5．（3分）圖2是圖1中長方體的三視圖，用表示面積，，，則A． B． C． D．【分析】由主視圖和左視圖的寬為，結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案．【解答】解：，，俯視圖的長為，寬為，則俯視圖的面積，故選：．【點評】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高．6．（3分）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設(shè)每條棱上的小球數(shù)為，下列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù)，則表達錯誤的是A． B． C． D．【分析】正方體有12條棱，每條棱上的小球數(shù)為，則有個小球，而每個頂點處的小球重復(fù)計算2次，則正方形邊上的所有小球的個數(shù)為，再將各選項化簡即可．【解答】解：由題意得，當每條棱上的小球數(shù)為時，正方體上的所有小球數(shù)為．而，，，所以選項表達錯誤，符合題意；、、選項表達正確，不符合題意；故選：．【點評】本題考查了列代數(shù)式：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．7．（3分）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進1，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是A．10 B．89 C．165 D．294【分析】根據(jù)計數(shù)規(guī)則可知，從右邊第為的計數(shù)單位為，右邊第2位的計數(shù)單位為，右邊第3位的計數(shù)單位為，右邊第4位的計數(shù)單位為依此類推，可求出結(jié)果．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查用數(shù)字表示事件，理解“逢五進一”的計數(shù)規(guī)則是正確計算的前提．8．（3分）如圖，在半徑為5的中，將劣弧沿弦翻折，使折疊后的恰好與、相切，則劣弧的長為A． B． C． D．【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接、，如圖，利用對稱的性質(zhì)得到，則可判斷四邊形為菱形，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，則可判斷四邊形為正方形，然后根據(jù)弧長公式求解．【解答】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接、，，四邊形為菱形，折疊后的與、相切，，，四邊形為正方形，，劣弧的長．故選：．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了對稱的性質(zhì)和弧長公式．9．（3分）如圖，直線與拋物線交于、兩點，則的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意和題目中給出的函數(shù)圖象，可以得到函數(shù)的大致圖象，從而可以解答本題．【解答】解：設(shè)，，，，由圖象可知，在點和點之間，，在點的左側(cè)或點的右側(cè)，，故選項符合題意，選項、、不符合題意；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（3分）如圖，，，點在上，四邊形是矩形，連接、交于點，連接交于點．下列4個判斷：①平分；②；③；④若點是線段的中點，則為等腰直角三角形．正確判斷的個數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由矩形得，為直角，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可判斷①的正誤；證明，便可判斷②的正誤；連接，由線段的垂直平分線得，由前面的三角形全等得，進而便可判斷③的正誤；由直角三角形斜邊上的中線定理得，進而求得，由矩形性質(zhì)得，進而得，再得，便可判斷④的正誤．【解答】解：①四邊形是矩形，，，平分，故①正確；②四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，故②正確；③，，連接，如圖1，，，，，，故③正確；④根據(jù)題意作出圖形，如圖2，是的中點，，，，，平分，，，，四邊形是矩形，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；故選：．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，全等三角形，關(guān)鍵是熟記這些圖形的性質(zhì)．二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）2019年是中華人民共和國成立70周年，天安門廣場舉行了盛大的國慶閱兵式和群眾游行活動．其中，群眾游行隊伍以“同心共筑中國夢”為主題，包含有“建國創(chuàng)業(yè)”“改革開放”“偉大復(fù)興”三個部分，某同學(xué)要統(tǒng)計本班學(xué)生最喜歡哪個部分，制作扇形統(tǒng)計圖．以下是打亂了的統(tǒng)計步驟：①繪制扇形統(tǒng)計圖②收集三個部分本班學(xué)生喜歡的人數(shù)③計算扇形統(tǒng)計圖中三個部分所占的百分比其中正確的統(tǒng)計順序是②③①．【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的制作步驟求解可得．【解答】解：正確的統(tǒng)計順序是：②收集三個部分本班學(xué)生喜歡的人數(shù)；③計算扇形統(tǒng)計圖中三個部分所占的百分比；①繪制扇形統(tǒng)計圖；故答案為：②③①．【點評】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù)．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．用整個圓的面積表示總數(shù)（單位，用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分數(shù)．12．（3分）如圖，點與點關(guān)于直線對稱，則．【分析】利用軸對稱的性質(zhì)求出等的坐標即可．【解答】解：點與點關(guān)于直線對稱，，，，故答案為．【點評】本題考查坐標與圖形變化對稱，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．13．（3分）小明為測量校園里一顆大樹的高度，在樹底部所在的水平面內(nèi)，將測角儀豎直放在與相距的位置，在處測得樹頂?shù)难鼋菫椋魷y角儀的高度是，則大樹的高度約為11．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，【分析】過點作，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出，進而求出即可．【解答】解：如圖，過點作，垂足為，由題意得，，，在中，，（米故答案為：11．【點評】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確計算的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，點、在反比函數(shù)的圖象上，、的縱坐標分別是3和6，連接、，則的面積是9．【分析】根據(jù)圖象上點的坐標特征求得、的坐標，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積，根據(jù)坐標可求出梯形的面積即可，【解答】解：點、在反比函數(shù)的圖象上，、的縱坐標分別是3和6，，，作軸于，軸于，，，，故答案為9．【點評】此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是掌握圖象中任取一點，過這一個點向軸和軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．15．（3分）已知的三邊、、滿足，則的內(nèi)切圓半徑1．【分析】由非負性可求，，的值，由勾股定理的逆定理可證是直角三角形，，由面積法可求的內(nèi)切圓半徑．【解答】解：，，，，，，，是直角三角形，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)題意，得，，故答案為：1．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理的逆定理，利用三角形面積公式求內(nèi)切圓半徑是本題的關(guān)鍵．16．（3分）已知為正整數(shù)，無論取何值，直線與直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是；記直線和與軸圍成的三角形面積為，則，的值為．【分析】變形解析式得到兩條直線都經(jīng)過點，即可證出無論取何值，直線與的交點均為定點；先求出與軸的交點和與軸的交點坐標，再根據(jù)三角形面積公式求出，求出，，以此類推，相加后得到．【解答】解：直線，直線經(jīng)過點；直線，直線經(jīng)過點．無論取何值，直線與的交點均為定點．直線與軸的交點為，，直線與軸的交點為，，，；．故答案為；；．【點評】此題考查了一次函數(shù)的綜合題；解題的關(guān)鍵是一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標特點，與軸的交點的縱坐標為0，與軸的交點的橫坐標為0．三、解答題：解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共72分）17．（5分）計算：．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（7分）求代數(shù)式的值，其中．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將的值代入計算可得．【解答】解：原式當時，原式．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．19．（7分）如圖，點在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點，過點作于點．（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補全圖形；（2）判斷與交點的個數(shù)，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)要求，利用尺規(guī)作出圖形即可．（2）證明直線是的切線即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，，射線，直線即為所求．（2）直線與相切，交點只有一個．理由：，，平分，，，，，，直線是的切線，與直線只有一個交點．【點評】本題考查作圖復(fù)雜作圖，切線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．20．（7分）爭創(chuàng)全國文明城市，從我做起．尚理中學(xué)在八年級開設(shè)了文明禮儀校本課程，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了20名學(xué)生的測試成績，分數(shù)如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖：等級成績分頻數(shù)854根據(jù)以上信息，解答下列問題．（1）填空：3，；（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計該校1200名八年級學(xué)生中，達到優(yōu)秀等級的人數(shù)；（3）已知等級中有2名女生，現(xiàn)從等級中隨機抽取2名同學(xué)，試用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）由四個等級的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得的值，利用百分比的概念可得的值；（2）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中、等級人數(shù)和所占比例即可得；（3）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出一男一女的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）由題意知，，即；故答案為：3、40；（2）估計該校1200名八年級學(xué)生中，達到優(yōu)秀等級的人數(shù)為（人；（3）列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（男，女）（女，女）女（男，女）（女，女）所有等可能的結(jié)果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，恰好抽到一男一女的概率為．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．也考查了統(tǒng)計圖．21．（8分）如圖，中，，、分別是邊、的中點．將繞點旋轉(zhuǎn)180度，得．（1）判斷四邊形的形狀，并證明；（2）已知，，求四邊形的面積．【分析】（1）結(jié)論：四邊形是菱形．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．（2）設(shè)，，構(gòu)建方程組求出即可解決問題．【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形是菱形．，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是菱形．（2）連接，交于點．四邊形是菱形，，，，設(shè)，，則有，，，，．【點評】本題考查中心對稱，三角形的面積，三角形的中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．22．（8分）某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關(guān)信息如下表：原進價（元張）零售價（元張）成套售價（元套）餐桌380940餐椅160已知用600元購進的餐椅數(shù)量與用1300元購進的餐桌數(shù)量相同．（1）求表中的值；（2）該商場計劃購進餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張．若將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)數(shù)量總價單價，即可得出結(jié)論，解之經(jīng)檢驗后即可得出值；（2）設(shè)購進餐桌張，則購進餐椅張，由餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，設(shè)銷售利潤為元，根據(jù)銷售方式及總利潤單件（單套）利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解．答：表中的值為260．（2）設(shè)購進餐桌張，則購進餐椅張，根據(jù)題意得：，解得：．設(shè)銷售利潤為元，根據(jù)題意得：，，當時，取最大值，最大值為：．答：當購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．23．（8分）如圖，在梯形中，，，，．為線段上的一動點，且和、不重合，連接，過點作交射線于點．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對這個問題進行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變的長度，運動點，得到不同位置時，、的長度的對應(yīng)值：當時，得表123450.831.331.501.330.83當時，得表12345671.172.002.502.672.502.001.17這說明，點在線段上運動時，要保證點總在線段上，的長度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，的長度為自變量，的長度為因變量；②設(shè)，當點在線段上運動時，點總在線段上，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可．（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．②設(shè)，．利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，兩條二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可解決問題．【解答】（1）證明：，，，，，，，，，．（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，的長度為自變量，的長度為因變量，故答案為：，．②設(shè)，．，，，，，時，有最大值，點在線段上，，，，．【點評】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形梯形，二次函數(shù)最值等知識點，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．24．（10分）（1）閱讀與證明如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點關(guān)于的對稱點（點在內(nèi)），連接，、分別交于點、．①完成證明：點是點關(guān)于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，60．在中，，．②求證：．（2）類比與探究把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系．（3）歸納與拓展如圖3，點在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點關(guān)于的對稱點（點在內(nèi)），連接，、分別交于點、．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為．【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．②如圖1中，連接，在上取一點，使得，連接．證明可得結(jié)論．（2）①如圖2中，利用圓周角定理解決問題即可．②結(jié)論：．如圖2中，連接，在上取一點，使得，連接．證明，推出，推出可得結(jié)論．（3）如圖3中，連接，，在上取一點，使得．構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】（1）①解：如圖1中，點是點關(guān)于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，．在中，，．故答案為60，30．②證明：如圖1中，連接，在上取一點，使得，連接．，關(guān)于對稱，垂直平分線段，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，．（2）解：①如圖2中，，點是的外接圓的圓心，，，．故答案為45．②結(jié)論：．理由：如圖2中，連接，在上取一點，使得，連接．，，，，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，．．（3）如圖3中，連接，，在上取一點，使得．，，，，，，，，，，同法可證，，，，．即．故答案為：．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等