利用壓縮變換解決競賽與自主招生中的橢圓問題

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k=—tanAAPO'=—tanZA'BC'=——A'C'B'C'A'D'k=tanZDQ'x'=tanZA'B'D'=A'C'B'D'\o"CurrentDocument"A'C'A'D'所以k-k=—3o-=32|A'C'|2|B'c'|A'C'A'2|A'C'|2|B'c'|IA'D'I?sinZC'A'D'IB'D'I?sinZC'B'D'oSAC'AD'=3o1AE1=3，此式顯然成立。SIB'E'IAC'B'D評注：把橢圓還原成圓后可利用圓中的直角把斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把斜率乘積化為三角形面積之比。三?在壓縮變換e下，xoy平面上封閉圖形的面積S是原來x'o'y'平面對應(yīng)封閉圖形面積S'的-倍，即S=-mm例6.(2013全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽)已知橢圓中+￥=1內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別過橢圓的焦點(diǎn)F,F，求該平行四邊形面積的最大值.122解：把xoy平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3倍，得到x'o'y'平面，如圖6.于是橢圓—+—=1還原成圓C':x'2+y'2=4，先求x'o'y'平面上相應(yīng)平行四邊形A'BCD面積的最43大值。x'顯然A'B'C'D'面積等于4個三角形O'A'B'的面積S，x'作A'B'邊上的高ON，設(shè)IO'N'I=dS=d\：4-d2(0<d2<1)顯然當(dāng)d=1時，S取最大值J3，所以A'B'C'D'面積最大值為4J3，相應(yīng)橢圓平行四邊形面積最大值為6。評注：把橢圓還原成圓后并可得到以半徑為腰的等腰三角形例7.(2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽)以原點(diǎn)O為圓心，分別以a,b(a>b>0)為直徑作兩個圓。點(diǎn)Q是大圓半徑OP與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作AN丄Ox垂足為N，過點(diǎn)Q作QM丄PN，垂足為M，記當(dāng)半徑OP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的軌跡為曲線E。(1)求曲線E的方程;

（2）設(shè)A,B,C為曲線E上三點(diǎn)，且滿足OA+OB+OC=0,求4ABC的面積。解：（1）易得曲線E的方程為—=1；a2b2（2）把xoy平面上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?，得到x'o'y'平面,b于是橢圓*+*=1還原成圓x'2+y'2=a2，如圖工F1-1-■+■因?yàn)镺A+OB+OC=0，所以△ABC的重心是原點(diǎn)O,相應(yīng)的，△A'BC'的重心是原點(diǎn)O'，由垂徑定理得△A'B'C'是正三角形，所以△A'B'C'得面積為3:3a