漫談高等代數(shù)中一類具有共性的問題

漫談高等代數(shù)中一類具有共性的問題摘要：本文通過幾個小的命題闡述了高等代數(shù)中一類具有共性的問題的證明方法.討論了一種解題的思路.關(guān)鍵詞：共性；平凡；過渡；一般；背景；根本元序言經(jīng)過大學(xué)本科一年對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，如今回過頭再重新審視它，我發(fā)現(xiàn)散落在各個章節(jié)的問題中有一類具有共同的指導(dǎo)思想，現(xiàn)擇其一二，整理成文，以饗讀者，聊以為一年來的學(xué)習(xí).正文很多時候，我們發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)的證明很難，拿到題目根本不知從何下手，經(jīng)過一年來的經(jīng)歷積累以及對相關(guān)概念的深化認(rèn)識，對于一類題目我找到了一套行之有效的方法.對于一些比較難的證明題，往往從其最平凡的方面入手，我們可以得到很好的結(jié)論，然后再由平凡過渡到一般，對命題加以證明，而這種過渡往往又是很普通的，不外乎此問題的背景所遵循的那一套平凡的原那么，經(jīng)過這樣一種平凡到一般的過渡，一個貌似困難的命題就得到了證明，我把這套方法稱之為“退一步海闊天空〞.多看類似的問題不僅可以加深對問題的認(rèn)識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時也可以進步對知識掌握的純熟度和運用的靈敏度.各種滋味就在本文中漸漸體會吧.類似的命題類似的命題：抽象以上所有命題我可以用一個命題進展歸納演繹〔對個別問題需做適當(dāng)調(diào)整〕：設(shè)A為所研究問題背景下固定的一個元素，假設(shè)對背景下的任意元素B，條件F(A，B)均成立，那么A必滿足條件G〔A〕.為了表達方便，在證明開始之前，我先引進一個概念“根本元〞.所謂根本元，是指可以完全反映我所問題背景的一個或者一組元素，即根本元是我所研究問題背景下最本質(zhì)的東西，比方基底就是我研究空間時的根本元，并且問題背景下的元素對于根本元滿足線性運算.基于此，我開始我的證明.證明：特別的，對于根本元，條件F(A，)成立，對條件F進展等價變形的我可以得到A滿足條件G〔A〕.到此為止我額外的得到了一系列結(jié)論.一般地說來，由于問題背景下的元素B對于根本元滿足線性運算，而F(A，B)往往對于條件F(A，)也是滿足線性運算的〔此滿足線性運算與我們所知的滿足線性運算有些許差異，否那么另行考慮證明方法〕，經(jīng)由簡單的演繹，B對條件F(A，B)成立，到此為止我已證明整個結(jié)論.從而得到結(jié)論A滿足條件G〔A〕.最后我給上研究問題時我用到的最本質(zhì)的思想：A對背景下的任意元素B成立條件F〔A，B〕當(dāng)且僅當(dāng)A對背景下的根本元成立條件F〔A，B〕.正是在此思想的指導(dǎo)下，我才可能把一個困難的問題變得簡單化此思想的證明由于是很平凡的，在此不再給與證明.結(jié)尾以上所列舉的幾個命題僅是高等代數(shù)天空中的幾顆渺小的星星，在浩瀚的高等代數(shù)天空中有無數(shù)的課題等待著我們?nèi)パ芯?，去發(fā)現(xiàn).當(dāng)我們研究這些問題的時候，需要特別注意問題背景下的根本元，如矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)型，向量組的極大無關(guān)組，線性空間的標(biāo)準(zhǔn)基底，等等.把握這些根本元不僅是我們學(xué)習(xí)時需要注意的，而且也是解決困難題的一大方法，愿各位讀者能從本文中獲取些許東西，這正是我想送給大家的.[2]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解〔上下冊〕[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2022.[4]楊子胥.高等代數(shù)精選題解[M].北京：高等教育出版社，2022.[5]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)〔第三版〕[M].北京：高等教育